昆明三中、昆明滇池中学2019—2020学年上学期期中考试初三数学试卷及答案

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一、填空题（每小题4分，共24分）
1、点P在⊙O外 2、 （-1，-3） 3、83π 4、3 5、 52 6、 15
二、选择题（每小题3分，共24分）
三、解答题（共72分）
15. （6分）
解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；……………（2分）
A'(1,2)，B'(0,3) ………………………………………（2分）
（2）AC边扫过的部分的图形为扇形CA A'，根据勾股定理，CA=22+12=5，
∴S扇形CAA'=90π×52360=54π．………………………………………（6分）
16. （6分）
(1)证明：∵△=(−2m)2−4×1×(m2+3)=4m2−4m2−12=−12<0，…………………………（2分）
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；…………………………（3分）
(2) 解：y=x2−2mx+m2+3=(x−m)2+3，
把函数y=(x−m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x−m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0)，……………………………………………（5分）
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以,把函数y=x2−2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点。……………………………………………（6分）
17. （8分）解：（1）PA=PB，理由如下：………………（1分）
连接OP，
∵大圆的弦AB切小圆于点P，∴OP⊥AB于P ………（3分）
又∵OP过圆心∴PA=PB …………………………（4分）
（2）连接OA，
∵由（1）得PA=PB，∴PA=PB=12AB=4，…………………（5分）
在Rt△OAP中，OA2﹣OP2=AP2∴OA2﹣OP2=16，……………………（7分）
∴S圆环=πOA2﹣πOP2=（OA2﹣OP2）π=16π，…………………………（8分）
答：圆环的面积为16π．
18. （8分）
解：由题意可知,抛物线经过点(0,209)，顶点坐标是(4,4)，…………………………（1分）
设抛物线的解析式是y=a(x−4)2+4， …………………………（2分）
∵抛物线经过点(0,209)，∴209=16a+4，…………………………（3分）
解得：a=-19， ∴抛物线解析式为y=-19 (x−4)2+4. …………………………（4分）
∵篮圈中心的坐标是(7,3). ∴当x=7时,y=-19×(7−4)2+4=3，…………………………（5分）
∴篮圈的中心点在抛物线上，∴能够投中。…………………………（6分）
(2)∵当x=1时，y=-19×(1−4)2+4=3<3.1，…………………………（7分）
∴能够盖帽拦截成功。…………………………（8分）
19. （10分）(1)证明：连接OT；
∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ于T，…………………………（1分）
∴∠OTP=∠OTC=90°
又∵AC⊥PQ，∴∠ACT =90°
∵∠OTP=∠ACT =90°
∴OT∥AC，…………………………（2分）
∴∠TAC=∠ATO；…………………………（3分）
又∵OT=OA，∴∠ATO=∠OAT，…………………………（4分）
∴∠OAT=∠TAC， 即AT平分∠BAC. …………………………（5分）
(2)过点O作OM⊥AC于M，…………………………（6分）
∴AM=MD=AD2=1；…………………………（7分）
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90∘，
∴四边形OTCM为矩形，…………………………（8分）
∴OM=TC=3，…………………………（9分）
∴在Rt△AOM中，
AO=OM2+AM2=3+1=2；…………………………（10分）
答：⊙O的半径为2.
20. （10分）解：(1)由题意得： y=(x−40)[500−10(x−50)]
y=−10x2+1400x−40000； …………………………（3分）
(2)令y=8000,则8000=−10x2+1400x−40000 …………………（4分）
解得x1=60，x2=80. …………………（6分）
当x=60时，月销售量为500-60-50×10=400（千克），
则成本价为40×400=16000(元)，超过了3000元，不合题意，舍去；…………………（7分）
当x=80时，月销售量为500-80-50×10=200（千克），
则成本价为40×200=8000(元)，超过了3000元，不合题意，舍去；…………………（8分）
故无解；
(3)y=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000 …………………（9分）
∵a=-10<0，y有最大值.
∴当x=70时，y最大值=9000 …………………（10分）
答：当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润为9000元.
21. （10分）解：(1)如图，连接OD，
∵OD=OA， ∴∠A=∠ODA，…………………（1分）
∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB，…………………（2分）
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，…………………（3分）
∴∠ODE= 180°−（∠ODA+∠EDB）=180°−90°=90°，…（4分）
∴OD⊥DE于E又∵OD是⊙O的半径
∴直线DE与⊙O相切；…………………（5分）
（2）∵∠B=30°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°
∵OD=OA ∴△OAD是等边三角形…………………（6分）
在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=2x，
AC2+BC2=AB2，即x2+432=2x2解得x=4，∴AC=4，则AB=8 ………………（8分）
设AD =m,则DF=BF=2m，
∵AB=AD+2DF即m+4m=8，得m=85 …………………………………………………（9分）
∴OA=AD=85，2OA =165 …………………………………………………（10分）
答：⊙O的直径为165
22. （14分） (1)∵以E(3,0)为圆心，以5为半径的E与x轴交于A，B两点，
∴A(−2,0)，B(8,0).
如图所示，连接CE.
在Rt△OCE中，OC=CE2-OE2=25-9=4∴C(0,−4). …（3分）
(2)∵点A(−2,0),B(8,0)在抛物线上，
∴可设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x−8).
∵点C(0,−4)在抛物线上，∴−4=a×2×(−8),解得a=14.
∴抛物线的解析式为：y=14 (x+2)(x−8)= 14x2− 32x−4 ………（5分）
即y==14 (x−3)2-254
∴顶点F的坐标为(3, -254). ……………………………（7分）
(3)①∵△ABC中，底边AB上的高OC=4，
∴若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件：|yM|=4.
(I)若yM=4,则14x2− 32x−4=4，解得x=3+41或x=3-41.
∴点M的坐标为(3+41,4)或(3-41,4)；
(II)若yM=−4,则14x2− 32x−4=−4，解得x=6或x=0(与点C重合,故舍去).
∴点M的坐标为(6,−4).
综上所述,满足条件的点M的坐标为：(3+41,4),(3-41,4)或(6,−4). ……………（10分）
②直线MF与⊙E相切。理由如下：
由题意可知,M(6,−4).
如图所示，连接EM，MF，过点M作MG⊥EF于点G，
MG=xM- xE= 3，EG=|yM|=4.
在Rt△MEG中,由勾股定理得：ME=MG2+EG2=9+16=5，
∴点M在E上。 …………………………………………………………………（12分）
由(2)知,顶点F的坐标(3, -254),∴EF=254，
∴FG=EF−EG=94.
在Rt△MGF中,由勾股定理得：MF=MG2+FG2=154.
在△EFM中,∵EM2+MF2=EF2
∴△EFM为直角三角形,∠EMF=90°.
∵点M在E上,且EM⊥MF于M，
∴直线MF与⊙E相切。…………………………………………………………………（14分）题号
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
A
C
B
C
A
B
A
D