【数学】四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试试题

四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年

高二上学期开学考试试题

一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．不等式的解集为（    ）

A．或 B． C．或 D．

2．设，且，则下列不等式成立的是（    ）

A．      B．      C．         D．

3．已知外接圆的半经为，则等于（    ）

A．　　　     B．　　　     C．　　　     D．不确定

4. 已知平面向量的夹角为，，，则（    ）

A． B． C． D．

5. 已知等差数列的前项和为， ，则当取得最小值时，的值为（    ）

A． B．  C． D．

6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（    ）

A.          B．16π       C．9π        D.

7.在中，内角的对边分别是，已知，则此三角形的解的情况是（    ）

A．无解 B．一解  C．两解 D．无法确定

8．等比数列的前项和为，已知，则等于（    ）

A．81              B．17             C．24             D．73

9. 用篱笆围一个面积为矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　）

A. 30 B. 36 C. 40 D. 50

10. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为(　　)

A. 8     B.  C.         D. 4

11.在中，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(步的距离为个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（    ）

A．                   B．

. D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若向量，，且，则实数的值为        ．

14．已知数列成等差数列，且，则         

15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.

16．设的内角所对的边分别为，已知，则的

最大值为         

三、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

在等差数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列是公比为2的等比数列，求数列的前项和.

18．（本小题满分12分）

如图，在边长为1的正六边形中，为边上一点，且满足，设，.

（1）若，试用，表示和；

（2）若，求的值.

19. (本题满分12分)

在中，内角的对边分别为.已知：.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，,求的面积.

20. (本题满分12分)

已知函数.

(Ⅰ) 求的最小值及相应的值；

(Ⅱ) 解关于的不等式：.

21．（本题满分12分）

已知三边是连续的三个自然数．

（Ⅰ）求最小边的取值范围；

（Ⅱ）是否存在这样的，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）

已知数列满足，，其中．

(1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

二、填空题（每题5分，满分20分）

13.2                             14.

15.                       16.

三、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共计70分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 解：（1）设公差为，由

             ………………………………………….（3分）

     ………………………（4分）

（2）由题：

∴           ………………….（6分）

    …………….（8分）

       …………….（10分）

18．解：记正六边形的中心为点，连结，在平行四边形中，，在平行四边形中=………………………………………………………4分

……………6分

若，

……………………………8分

又因为

，所以……………………………………..12分

19.解：（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,

即,所以……………………………………… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即,又因为,所以由余弦定理得：

，即,解得,所以。

又因为，

故的面积为………………………………………12分

20.解：(Ⅰ)

故

等号成立条件：

故当时,……………………………. 6分

(Ⅱ)

(1)当时,解集为；

(2)当时,解集为……………………………………. 12分

21. 解：（Ⅰ）设角所对的边分别是，且，

由题意，

所以，所以最小边的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（II）由题意，三个角中最大角为，最小角为．

由正弦定理得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又

解得(舍去) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以三角形的三边分别为 ……………………………………………11分

所以存在唯一同时满足以下两条件:三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

另解:

，

三个角中最大角为，最小角为．则,

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

由余弦定理得

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

代入上式化简得

,,解得,

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以三角形的三边分别为

所以存在唯一同时满足以下两条件:三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍.

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22.解：（1）

∴数列是以为首项，为公差的等差数列.………………4分

…………………………………5分

∴，解得  …………………………6分

（2）由（1）得.    

∴……………………………………7分

∴

       ……………………………………9分

∴，解得或，………………………10分

∵      ∴.

∵，且为正整数.

∴，且

∴存在正整数，使得对于恒成立，的最小值为.………12分