【数学】河北省鸡泽县第一中学2019-2020学年高二12月月考试题

河北省鸡泽县第一中学2019-2020学年高二12月月考试题

一．选择题（共12小题）

1．函数y＝cos（2x+1）的导数是（　　）

A．y′＝sin（2x+1） B．y′＝﹣2xsin（2x+1） 

C．y′＝﹣2sin（2x+1） D．y′＝2xsin（2x+1）

2．已知i为虚数单位，若复数（1+i）z＝3﹣i，则|z|＝（　　）

A．1 B．2 C． D．

3．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

4．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：

由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（    ）    

A．26.2         B．27 C．27.6         D．28.2

5．已知椭圆的焦距为，则实数（    ）

A．或    B．      C．        D．或

6．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ）

 A．       B．     C．     D．

7．对函数f（x）＝x•lnx，下列结论正确的是（　　）

A．有最小值 B．有最小值 

C．有最大值 D．有最大值

8．函数f（x）＝x2+1﹣lnx的值域为（　　）

A．（0，+∞） B． 

C．[+ln2，+∞） D．

9．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．函数y＝的部分图象大致为（　　）

A．B． C． D．

11．已知函数f（x）在x＞0上可导且满足f'（x）﹣f（x）＞0，则下列一定成立的为（　　）

A．e2f（2）＞e3f（3） B．e2f（3）＜e3f（2） 

C．e3f（2）＜e2f（3） D．e2f（2）＜e3f（3）

12．已知函数f（x）＝x2的在x＝1处的切线与函数g（x）＝的图象相切，则实数a＝（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

13．已知函数的最小值为1，则m＝　   　．

14．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a﹣b＝　   　．

15．若f（x）＝x3﹣f′（1）x2+x+，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是　   　．

16．若函数f（x）＝mx2+lnx﹣x在定义域内有递减区间，则实数m的取值范围是　   　．

三．解答题（共6小题）

17．过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，，，，，并整理得到频率分布直方图：

（1）求图中的a值；

（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中，各抽取多少人；

（3）由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄．

18．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若m＜0，函数f（x）在区间[0，﹣]上的最大值与最小值差为1，求m的值．

19．f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2（a∈R）．

（1）若g（x）的单调递减区间为，求a的值．

（2）若不等式2f（x）≤g'（x）+2恒成立，求a的取值范围．

20．抛物线y2＝4x的焦点为F，斜率为正的直线l过点F交抛物线于A、B两点，满足．

（1）求直线l的斜率；

（2）过焦点F与l垂直的直线交抛物线于C、D两点，求四边形ACBD的面积．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点．

（1）证明：MO∥平面PAB；

（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．

22．已知函数，，

（1）当时，求函数的最小值．

（2）当时，对于两个不相等的实数，，有，求证：．

参考答案

一．选择题（共12小题）

1-5．C DB CD    6-10 .CBCCA    11-12.CB

10． 解：设g（x）＝（x∈R），则g′（x）＝＝，

又∵f′（x）﹣f（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在定义域上单调递增，

所以g（2）＜g（3），即＜，即e3f（2）＜e2f（3），故选：C．

11．解：由f（x）＝x2，得f′（x）＝2x，则f′（1）＝2．

∴函数f（x）＝x2的在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1；

设直线y＝2x﹣1与函数g（x）＝的图象相切于（），

则g′（x0）＝，，联立解得，a＝．  故选：B．

12．解：令xlnx﹣kx+1＝0，则k＝；

令；   ；

∴当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x∈[1，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

∴当x＝1时，有g（x）min＝1；  又∵，；

∴ ；   ∵f（x）在上只有一个零点；

∴g（x）＝k只有一个解；  ∴k＝1或；  故选：D．

二．填空题     13． ln2．  14. 15．     15.  3x﹣3y+1＝0． 16.（﹣∞，]．

三．解答题（共6小题）

17．（1）（2）三个组依次抽取的人数为2，4，2

（3）被调查人员的平均年龄为47岁

18． 解：（1）f′（x）＝6x2+2mx＝2x（3x+m）；

 当 m＜0时，由  f′（x）＞0，得 ，或 x＜0；

 由 f′（x）＜0，得  0＜x＜﹣

此时f（x）在（﹣∞，0），上单调递增，在上单调递减；

当m＝0，时   f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；

当 m＞0时，由  f′（x）＞0，得 ，或x＞0；

 由 f′（x）＜0，得  ＜x＜0，

此时f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）可知，m＜0 时，

 f（x）在[﹣单调递减，在上单调递增；

所以；

又f（0）＝m+1，；所以 f（x）max＝m+1；

故，则m＝﹣3．

19． 解：（1）∵g（x）＝x3+ax2﹣x+2，∴g′（x）＝3x2+2ax﹣1，

又g（x）的单调递减区间为（），∴是方程g′（x）＝0的两个根，

∴，解得a＝﹣1．

（2）不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，即2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2＝3x2+ax+1恒成立，

∵x＞0，∴a≥lnx﹣在（0，+∞）上恒成立，

令h（x）＝lnx﹣，x＞0

则a≥h（x）最大值，

又h′（x）＝；

则当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0；

∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）最大值为h（1）＝﹣2；

∴a取值范围为a≥﹣2．

20．解：（1）依题意知F（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1；

将直线AB的方程与抛物线的方程联立；

消去x得y2＝4my+4．设A（x1，y1），B（x2，y2）；

所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4；    ①    因为，得 y1＝﹣2y2；   ②

联立①和②，消去y1，y2，得．，又m＞0，则  m＝；

故直线AB的斜率是；

（2）由条件有AB⊥CD， ∴直线CD的斜率 ；

则直线CD的方程；

将直线CD的方程与抛物线的方程联立； 得：x2﹣34x+1＝0；

设C（x3，y3），D（x4，y4），   ∴x3+x4＝34；

∴|CD|＝x3+x4+p＝34+2＝36；

 由（1）知 ； ∴x1+x2＝m（y1+y2）+2＝；

   ； 所以，

四边形ACBD的面积为 81．

21．解：（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．

∴O是BD中点，∴OM∥PB，

∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴OM∥平面PAB；

（2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，

∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD且PO＝4，

∴四边形ABCD是菱形，

以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，4），M（0，﹣，2），

＝（﹣1，﹣，2），

平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设直线AM与平面ABCD所成角为θ，

则sinθ＝＝＝．

∴直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为．

22．（1）当时，，

∴，由得；由得；

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴.