湖南省邵阳市新宁县中考数学模拟试题（一）（解析版）

2019年湖南省邵阳市新宁县中考数学模拟试题（一）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 对描述错误的一项是　　

A. 面积为2的正方形的边长 B. 它是一个无限不循环小数
C. 它是2的一个平方根 D. 它的小数部分大于

【答案】D

【解析】解：A、面积为2的正方形的边长为，故本选项正确；
B、由于式无理数，所以它是一个无限不循环小数，故本选项正确；
C、由于，所以是2的一个平方根，故本选项正确；
D、的小数部分等于，故本选项错误．
故选：D．
根据无理数的概念、平方根及正方形的性质对各选项进行逐一解答即可．
本题考查的是无理数的概念、平方根及正方形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

2. 下列调查中，适合进行普查的是　　

A. 一个班级学生的体重 B. 我国中学生喜欢上数学课的人数
C. 一批灯泡的使用寿命 D. 新闻联播电视栏目的收视率

【答案】A

【解析】解：A、调查一个班级学生的体重，人数较少，容易调查，因而适合普查，故选项正确；
B、调查我国中学生喜欢上数学课的人数，因为人数太多，不容易调查，因而适合抽查，故选项错误；
C、调查一批灯泡的使用寿命，调查具有普坏性，因而适合抽查，故选项错误；
D、调查结果不是很重要，且要普查要用大量的人力、物力，因而不适合普查，应用抽查，故选项错误．
故选：A．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A.  B.
C.  D.

【答案】A

【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；
D、是不轴对称图形，也是中心对称图形故错误．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

4. 一次函数经过第一、三、四象限，则下列正确的是　　

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B

【解析】解：由一次函数的图象经过第一、三、四象限，
又由时，直线必经过一、三象限，故知．
再由图象过三、四象限，即直线与y轴负半轴相交，所以．
故选：B．
根据一次函数的图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系时，直线必经过一、三象限时，直线必经过二、四象限时，直线与y轴正半轴相交时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
 

5. 将一条两边沿平行的纸带如图折叠，若，则等于　　

A.
B.
C.
D.
 

【答案】B

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：B．
先根据可求出，根据可知，，进而可求出的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
 

6. 如图，直线，，则的度数是　　

A.
B.
C.
D.


 

【答案】B

【解析】解：直线，
，
，
，
，
故选：B．
根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行计算即可．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

7. 如图，菱形纸片ABCD中，，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在为AB中点所在的直线上，得到经过点D的折痕则的大小为　　
   
    

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：连接BD，
四边形ABCD为菱形，，
为等边三角形，，，
为AB的中点，
为的平分线，即，
，
由折叠的性质得到，
在中，．
故选：B．
连接BD，由菱形的性质及，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
此题考查了翻折变换折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
 

8. 若关于x的一元二次方程有实数根、，且，有下列结论：
   ，；；二次函数的图象与x轴交点的坐标为和．
   其中，正确结论的个数是　　

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】解：一元二次方程化为一般形式得：，
方程有两个不相等的实数根、，
，
解得：，故选项正确；
一元二次方程实数根分别为、，
，，
而选项中，，只有在时才能成立，故选项错误；
二次函数，
令，可得，
解得：或3，
抛物线与x轴的交点为或，故选项正确．
综上所述，正确的结论有2个：．
故选：C．
将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为，这只有在时才能成立，故选项错误；将选项中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项进行判断．
此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．
 

9. 2022年将在北京张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示：则下列说法中正确的是　　

A. ，应该选取B选手参加比赛
B. ，应该选取A选手参加比赛
C. ，应该选取B选手参加比赛
D. ，应该选取A选手参加比赛

【答案】B

【解析】解：根据统计图可得出：，
则应该选取A选手参加比赛；
故选：B．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

10. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是　　
     

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】解：根据题意，设，则．
在中，根据勾股定理得：，即
解得，
，，
，
故选：D．
折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
 

11. 如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：，，，
，
为直角三角形，
的内切圆半径，
，
，
小鸟落在花圃上的概率，
故选：B．
由，，，得到，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，于是得到的内切圆半径，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半同时也考查了勾股定理的逆定理．
 

12. 如图，在、中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若，，则为　　

A.
B.
C.
D.
 

【答案】B

【解析】解：，
，，
，
，
，
，
，
故选：B．
先根据等腰三角形的性质得出，，再利用三角形的内角和进行分析解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是利用等边对等角和三角形内角和分析解答．
 

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13. 的倒数是______．

【答案】

【解析】解：，
的倒数是，
故答案为：．
根据倒数的定义，即可解答．
本题考查了倒数，解决本题的关键是熟记倒数的定义．
 

14. 写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程______．

【答案】

【解析】解：根据题意，设该一元二次方程为：；
该方程的一个根是3，
该一元二次方程可以是：．
即
故答案是：．
本题根据一元二次方程的根的定义，确定一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的解的定义，利用待定系数法求出方程式．
 

15. 若关于x的不等式的解集是，则实数m的值为______．

【答案】

【解析】解：解，得
．
由不等式的解集，得
．
解得．
故答案为：．
根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键．
 

16. 如图，在中，，，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则为______．
    
    
     

【答案】

【解析】解：图中两个阴影部分的面积相等，
，即：，
又，
．
故答案为：．
若两个阴影部分的面积相等，那么和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度．
此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根据题意得到和扇形ADF的面积相等，是解决此题的关键，难度一般．
 

17. 如图，在中，，，P是内一点，且，则______．
    
     

【答案】

【解析】解：，
，
又，，
，
，
．
故答案为．
根据的条件，求出的度数，再根据，，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数．
此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．
 

18. 若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2称第1次操作，再将图2中的每一段类似变形，得到图3即第2次操作，按上述方法继续得到图4为第3次操作，则第4次操作后折线的总长度为______．

【答案】

【解析】解：由题意得：在图2中，折线的长度为：；
在图3中，折线的长度为：；
在图4中，折线的长度为：．
则第4次操作后折线的总长度为．
在图2中，折线的长度为：；在图3中，折线的长度为：；在图4中，折线的长度为：，从而可求出折线的总长度．
此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是读懂题意，找出规律解答．
 

19. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则其对应点Q的坐标为______．

【答案】

【解析】解：作图如右，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，
点坐标为，
故答案为．
首先求出，利用AAS证明≌，即可得到，，进而求出Q点坐标．
此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等．
 

20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为，，，，直线AB交x轴于点若与关于点P成中心对称，则点的坐标为______．
    
    
     

【答案】

【解析】解：如图：

点B，C的坐标为，，得
．
由，，
得，，
，
，
设AB的解析式为，将A，B点坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为，
当时，，即，
由中点坐标公式，得
，
，
．
故答案为：．
根据等腰直角三角形，可得AB的长，再根据锐角三角函数，可得AD，BD的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得P点坐标，根据中点坐标公式，可得答案．
本题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关键．
 

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

21. 计算：
    
    ．

【答案】解：原式
；
原式



．

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先变形得到原式，然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

22. 解方程：．

【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
经检验，是原分式方程的解．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根．
 

23. 已知如图在中，平分线与的外角平分线相交于点若，求的度数．

【答案】解：如图平分，PC平分

又，

同理，

 

【解析】想办法证明即可．
本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，记住本题的结论；
 

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

24. 如果，求的值．

【答案】解：，得
，．
．

【解析】根据整式的乘法，可得相等的整式，根据相等整式中同类项的系数相等，可得答案．
本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．
 

25. 如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为，米，又测得已知斜坡CD的坡度为：，求旗杆AB的高度，结果精确到个位．

【答案】解：延长BD，AC交于点E，过点D作于点F．
，
．
又，
．
．
在中，米，
，．
，
，
在中，
．
在中，米．
答：旗杆AB的高度约为16米．

【解析】延长BD，AC交于点E，过点D作于点构建直角和直角通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度即可．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

26. 如图已知直线AC的函数解析式为，点P从点A开始沿AO方向以1个单位秒的速度运动，点Q从O点开始沿OC方向以2个单位秒的速度运动如果P、Q两点分别从点A、点O同时出发，经过多少秒后能使的面积为8个平方单位？
    
    
     

【答案】解：直线AC的函数解析式为，
点，点．
设运动时间为t，则，，
根据题意，得：，
解得：，，舍去，．
经过2秒、4秒或秒后能使的面积为8个平方单位

【解析】根据直线AC的解析式可得出点A、C的坐标，设运动时间为t，则，，根据三角形的面积即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，根据三角形的面积找出关于t的一元二次方程是解题的关键．
 

27. 某水果店在两周内，将标价为10元斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元斤，并且两次降价的百分率相同．
    求该种水果每次降价的百分率；
    从第一次降价的第1天算起，第x天为整数的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为元斤，设销售该水果第天的利润为元，求y与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

在的条件下，若要使第15天的利润比中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

【答案】解：设该种水果每次降价的百分率是x，
，
或舍去，
答：该种水果每次降价的百分率是；
当时，第1次降价后的价格：，
，
，
随x的增大而减小，
当时，y有最大值，
元，
当时，第2次降价后的价格：元，
，
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y有最大值，
元，
综上所述，y与之间的函数关系式为：，
第10天时销售利润最大；
设第15天在第14天的价格基础上可降a元，
由题意得：，
，
，
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降元．

【解析】设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为元，可列方程求解；
根据两个取值先计算：当时和时销售单价，由利润售价进价销量费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；
设第15天在第14天的价格基础上可降a元，根据第15天的利润比中最大利润最多少元，列不等式可得结论．
本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．
 

28. 在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．
    如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；
    如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
    如图3，若点Q在线段BP上，设，，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
     

【答案】解：由题意，得，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；

的比值随点Q的运动没有变化，
如图1，

，
，，
，
，
，
、，
，
∽，
，
，，
，
的比值随点Q的运动没有变化，比值为；

如图2，延长BP交AD的延长线于点N，

，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，

又，，
，
，
如图3，当点R与点A重合时，PQ取得最大值，

、，
∽，
，即，
解得，
则它的定义域是．

【解析】先求出、、，再证∽得，据此可得；
证∽得，根据、知，据此可得答案；
由知，据此可得、，由、知，根据得，即，整理可得函数解析式，当点R与点A重合时，PQ取得最大值，根据∽知，求得，从而得出x的取值范围．
本题主要考查相似三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．