湖南省益阳市中考数学模拟试卷（解析版）（解析版）

这是一份湖南省益阳市中考数学模拟试卷（解析版）（解析版），共24页。试卷主要包含了﹣1的相反数是，下列运算结果正确的是等内容，欢迎下载使用。

2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．﹣1的相反数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
2．从1978年12月18日党的十一届三中全会决定改革开放到如今已经40周年了，我国GDP（国内生产总值）从1978年的1495亿美元到2017年已经达到了122400亿美元，全球排名第二，将122400用科学记数法表示为（　　）
A．12.24×104 B．1.224×105 C．0.1224×106 D．1.224×106
3．下列运算结果正确的是（　　）
A．a3+a4＝a7 B．a4÷a3＝a C．a3•a2＝2a3 D．（a3）3＝a6
4．对正整数n，记n!＝1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
5．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）

A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm
6．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）

A． B． C．4 D．2+
7．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4
8．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（　　）
A．图象必经过（﹣2，1）
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限
D．当x＞时，y＜0
9．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）

A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．因式分解：9a2﹣12a+4＝　 　．
12．使得代数式有意义的x的取值范围是　 　．
13．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　 　．
14．掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数是偶数的概率为　 　．
15．京津城际铁路由北京南站至天津站，全长120公里，据报道，8月8日开始，京津城际铁路实施全新列车运行图，复兴号动车组在京津城际铁路实现提速运行，时速比原来快35公里/小时．运行图调整后，北京南站至天津站列车运行时间将减少5分钟（小时）．求京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速．设京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速为x公里/小时．依题意，可列方程为　 　．
16．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m＝　 　．
17．如图：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D、E，则∠DCB＝　 　．

18．如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是　 　．

三．解答题（共8小题，满分78分）
19．计算：|﹣|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．
20．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3．
21．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．

22．某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
23．钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率．
24．如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝600米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）

25．如图，已知正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224，求点P的坐标．

26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．


2019年湖南省益阳市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．﹣1的相反数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣1的相反数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．
2．从1978年12月18日党的十一届三中全会决定改革开放到如今已经40周年了，我国GDP（国内生产总值）从1978年的1495亿美元到2017年已经达到了122400亿美元，全球排名第二，将122400用科学记数法表示为（　　）
A．12.24×104 B．1.224×105 C．0.1224×106 D．1.224×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：122400＝1.224×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算结果正确的是（　　）
A．a3+a4＝a7 B．a4÷a3＝a C．a3•a2＝2a3 D．（a3）3＝a6
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a3+a4≠a7，
∴选项A不符合题意；

∵a4÷a3＝a，
∴选项B符合题意；

∵a3•a2＝a5，
∴选项C不符合题意；

∵（a3）3＝a9，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．
4．对正整数n，记n!＝1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
【分析】根据n!＝1×2×3×…×n得到1!＝1，2!＝1×2＝2，3!＝1×2×3＝6，4!＝1×2×3×4＝24，且5!、…、10!的数中都含有2与5的积，则5!、…、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．
【解答】解：∵1!＝1，2!＝1×2＝2，3!＝1×2×3＝6，4!＝1×2×3×4＝24，
而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，
∴5!、…、10!的末尾数都是0，
∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过特殊数字的变化规律探讨一般情况下的数字变化规律．
5．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）

A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和．
【解答】解：由题意得：S⑤＝S四边形ABCD﹣（S①+S②+S③+S④）＝4cm2，
∴S菱形EFGH＝14+4＝18cm2，
又∵∠F＝30°，
设菱形的边长为x，则菱形的高为sin30°x＝，
根据菱形的面积公式得：x•＝18，
解得：x＝6，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和＝2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）＝2（EF+FG+GH+HE）＝48cm．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质及平行四边形的知识，难度较大，关键是求出菱形的面积，解答本题需要用到平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
6．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）

A． B． C．4 D．2+
【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．
【解答】解：如图：BC＝AB＝AC＝1，
∠BCB′＝120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．
7．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3
∴x2+2x+1＝1+3
∴（x+1）2＝4
故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（　　）
A．图象必经过（﹣2，1）
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限
D．当x＞时，y＜0
【分析】根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
【解答】解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
A、x＝﹣2时，y＝﹣2×﹣2+1＝5，故图象必经过（﹣2，5），故错误，
B、k＜0，则y随x的增大而减小，故错误，
C、k＝﹣2＜0，b＝1＞0，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
D、当x＞时，y＜0，正确；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系．
9．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
10．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）

A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm
【分析】利用互补计算出∠ACA′＝120°，根据旋转的性质，得到顶点A从开始到结束所经过的路径为以点C为圆心，CA为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴顶点A从开始到结束所经过的路径长＝＝10π（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．因式分解：9a2﹣12a+4＝　（3a﹣2）2　．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
12．使得代数式有意义的x的取值范围是　x＞3　．
【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
13．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　12　．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
14．掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数是偶数的概率为　　．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵骰子共有6个面，有3个面上时偶数，
∴掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数是偶数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
15．京津城际铁路由北京南站至天津站，全长120公里，据报道，8月8日开始，京津城际铁路实施全新列车运行图，复兴号动车组在京津城际铁路实现提速运行，时速比原来快35公里/小时．运行图调整后，北京南站至天津站列车运行时间将减少5分钟（小时）．求京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速．设京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速为x公里/小时．依题意，可列方程为　﹣＝　．
【分析】设京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速为x公里/小时，则提速后的运行时速为（x+35）公里/小时，根据时间＝路程÷速度结合提速后比提速前少用小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速为x公里/小时，则提速后的运行时速为（x+35）公里/小时，
根据题意得：﹣＝．
故答案为：﹣＝．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m＝　﹣4　．
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣（2m+1），AO•BO＝（m2﹣4）；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．
【解答】解：由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣（2m+1），AO•BO＝m2﹣4，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）＝25，
整理得：m2+4m﹣8＝0，
解得：m＝﹣4或2．
又∵△＞0，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣4）＞0，
解得m＞﹣
m＝2或﹣4都符合，
最后：当m＝2时，方程化为x2+5x＝0，x1＝﹣5，x2＝0，所得的两个解都不符合作为边的长度，
m＝2不合题意；
当m＝﹣4时，同理化简方程解得x1＝4，x2＝3，符合题意
故答案是：﹣4．

【点评】本题考查了菱形的性质、根与系数的关系以及勾股定理．将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
17．如图：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D、E，则∠DCB＝　36°　．

【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根据等边对等角的性质，可求得∠ACB的度数，又由AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D、E，根据线段垂直平分线的性质，可求得∠ACD的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是　　．

【分析】过P作PH⊥DC于H，交AB于G，由正方形的性质得到AD＝AB＝BC＝DC＝2；∠D＝∠C＝90°；再根据折叠的性质有PA＝PB＝2，∠FPA＝∠EPB＝90°，可判断△PAB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB＝60°，PG＝AB＝，于是∠EPF＝120°，PH＝HG﹣PG＝2﹣，得∠HEP＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE，得到EF，最后利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：过P作PH⊥DC于H，交AB于G，如图，
则PG⊥AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2；∠D＝∠C＝90°，
又∵将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于形内点P处，
∴PA＝PB＝2，∠FPA＝∠EPB＝90°，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠APB＝60°，PG＝AB＝，
∴∠EPF＝120°，PH＝HG﹣PG＝2﹣，
∴∠HEP＝30°，
∴HE＝PH＝（2﹣）＝2﹣3，
∴EF＝2HE＝4﹣6，
∴△EPF的面积＝FE•PH＝（2﹣）（4﹣6）
＝7﹣12．
故答案为7﹣12．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．计算：|﹣|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+1﹣2×+＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3．
【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x＝3代入求出即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷，
＝×，
＝×，
＝，
当x＝3时，原式＝＝1．
【点评】本题综合考查了分式的加减法则、乘除法则，约分等知识点的应用，关键是考查学生的运算能力，培养学生的解决问题的能力，题目比较典型，是一道很好的题目．
21．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．

【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵∠ADE＝25°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝50°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣50°﹣90°＝40°；

（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
答：⊙O半径的长是3．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC和∠AOC的度数是解此题的关键．
22．某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
【分析】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数＝60；生产的螺栓的数量×2＝生产的螺母的数量．由此可列出方程组求解．
【解答】解：设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母．
由题意，得，
解这个方程组得：，
答：应安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
23．钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率．
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，
树状图如图所示：

由树状图知共有12种等可能结果，其中抽取的2人来自不同班级的有8种结果，
所以抽取的2人来自不同班级的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
24．如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝600米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）

【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，易求AD的长，再由BD＝MD可得BD的长，即M到AB的距离；
（2）过点N作NE⊥AB于点E，易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可求出，再根据MN＝AB﹣AD﹣BE计算即可．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA＝∠MDB＝90°，
∵∠MAB＝60°，∠MBA＝45°，
∴在Rt△ADM中，；
在Rt△BDM中，，
∴，
∵AB＝600m，
∴AD+BD＝600m，
∴，
∴，
∴，
∴点M到AB的距离．
（2）过点N作NE⊥AB于点E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD∥NE，
∵AB∥MN，
∴四边形MDEN为平行四边形，
∴，MN＝DE，
∵∠NBA＝53°，
∴在Rt△NEB中，，
∴，
∴．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的关键．
25．如图，已知正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224，求点P的坐标．

【分析】（1）先将x＝4代入正比例函数y＝2x，可得出y＝8，求得点A（4，8），再根据点A与B关于原点对称，得出B点坐标，即可得出k的值；
（2）正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值．
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即56．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POA的面积，由于△POA的面积为56，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝2x上，
∴把x＝4代入正比例函数y＝2x，
解得y＝8，∴点A（4，8），
把点A（4，8）代入反比例函数y＝，得k＝32；
（2）∵点A与B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣4，﹣8），
由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围，x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA＝S平行四边形APBQ＝×224＝56，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m，），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE＝S△AOF＝OE•PE＝m•＝16，
若0＜m＜4，如图，
∵S△POE+S梯形PEFA＝S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA＝S△POA＝56．
∴（8+）•（4﹣m）＝56．
∴m1＝﹣7+，m2＝﹣7﹣（舍去），
∴P（﹣7+，14+2）；
若m＞4，如图，
∵S△AOF+S梯形AFEP＝S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA＝S△POA＝56．
∴×（8+）•（m﹣4）＝56，
解得m1＝7+，m2＝7﹣（舍去），
∴P（7+，﹣14+2）．
∴点P的坐标是P（﹣7+，14+2）；或P（7+，﹣14+2）．


【点评】本题考查了应用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用EA＝EB和四边形AFBE为平行四边形得到四边形AFBE为菱形，则点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，所以F点坐标为（﹣1，﹣4）；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到EF＝AB＝4，则可确定F的横坐标，然后代入抛物线解析式得到F点的纵坐标．
【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，
得：，
解得：．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把点B（3，0）代入y＝kx+3中，
得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴点（1，0）在抛物线的图象上，
∴1＜m＜3．
∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．
（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．
当以AB为对角线，如图1，
∵四边形AFBE为平行四边形，EA＝EB，
∴四边形AFBE为菱形，
∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，
∴F点坐标为（2，﹣1）；
当以AB为边时，如图2，
∵四边形AFBE为平行四边形，
∴EF＝AB＝2，即F2E＝2，F1E＝2，
∴F1的横坐标为0，F2的横坐标为4，
对于y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；
当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3，
∴F点坐标为（0，3）或（4，3）．
综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．


【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）注意分类思想的运用．