2019年河北省唐山市路南区中考数学一模试卷


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2019年河北省唐山市路南区中考数学一模试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. （3分）下列四个数中，与的和为的数是．
A． B． C． D．
2. （3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是．
A．
B．
C．
D．
3. （3分）一个整数用科学记数法表示为8.010×105，则原数为（　　）
A. 80100 B. 801000 C. 8010 D. 8010000
4. （3分）如图，已知P为直线l外一点，点A、B、C、D在直线l上，且PA＞PB＞PC＞PD，下列说法正确的是（　　）

A. 线段PD的长是点P到直线l的距离
B. 线段PC可能是△PAB的高
C. 线段PD可能是△PBC的高
D. 线段PB可能是△PAC的高
5. （3分）若分式的值为，则的值为　　
A. B. C. D.
6. （3分）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为．

A． B． C． D．
7. （3分）下列说法正确的是（　　）
A. 调查某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查
B. “若m、n互为相反数，则mn=0”，这一事件是必然事件
C. 小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1
D. “1，3，2，1的中位数一定是2”，这一事件是不可能事件
8. （3分）如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b-ab2的值为（　　）

A. 60 B. 50 C. 25 D. 15
9. （3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列结论不正确的是（　　）

A. ∠ CBD=30°
B. sin2A+sin2D=1
C. 点C是△ABD的外心
D.
10. （3分）某校初三班名同学为“希望工程”捐款，共捐款元，捐款情况如表：
捐款元




人数人




表格中捐款元和元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚．
若设捐款元的有名同学，捐款元的有名同学，根据题意，可得方程组　　
A.
B.
C.
D.
11. （2分）如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的值可能是（　　）

A. 3.2 B. 3.5 C. 3.6 D. 3.8
12. （2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值不可能是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13. （2分）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD=AO，OE=BO，OF=CO，得△DEF，有下列说法：
① △ABC与△DEF是位似图形；
② △ABC与△DEF是相似图形；
③ △DEF与△ABC的周长比为1：3；
④ △DEF与△ABC的面积比为1：6．
则正确的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14. （2分）根据图中① 所示的程序，得到了y与x的函数图象图中② ，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q，连结OP、OQ，则下列结论正确的是（　　）

A. △OPQ的面积为45
B. x＜0时，
C. x＞0时，y随x的增大而增大
D. ∠ POQ可能等于90°
15. （2分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为
．
A. B. C. D.
16. （2分）小明同学在寻找上面图中小圆圈个数的规律时，利用了下面图中“分块计数法”根据小明的方法，猜想并判断下列说法不正确的是（　　）

A. 第5个图形有61个小圆圈
B. 第6个图形有91个小圆圈
C. 某个图小圆圈的个数可以为271
D. 某个图小圆圈的个数可以为621

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. （3分）计算=______．
18. （3分）若实数a、b满足，则ab=______．
19. （6分）在数学活动课中我们学习过平面镶嵌，若给出下面一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙，围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，则共拼出______种不同的图案；其中所拼的图案中最大的周长为______．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. （8分）已知有理数-3，1．
（1）在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A、B表示；
（2）若|m|=2，在数轴上表示数m的点介于点A、B之间；表示数n的点在点A右侧且到点B距离为6．
① 计算m+n-mn；
② 解关于x的不等式mx+3＜n，并把解集表示在所给数轴上．

21. （9分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调査结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，求一共调查了多少名学生；
（2）通过计算，补全条形统计图；
（3）若该校爱好运动的学生共有600名，求该校共有学生大约有多少人?
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，求选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是多少?
22. （9分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）求证：AD与BE互相平分；
（3）若BF=5，FC=4，直接写出EO的长．

23. （10分）如图，直线l1：y=2x+1与x轴、y轴交于点D、A，直线l2：y=mx+4与x轴、y轴分别交于点C、B，两直线相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）求S△PDC-S△PAB的值．
（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点M，N，若线段MN长为2，求a的值．

24. （10分）如图，在矩形中，，，是的中点，以为圆心在的下方作半径为的半圆，交于、．
思考：连接，交半圆于、，求的长；
探究：将线段连带半圆绕点顺时针旋转，得到半圆，设其直径为，旋转角为．
设到的距离为，当时，求的取值范围；
若半圆与线段、相切时，设切点为，求​F'R​的长．
，结果保留

25. （11分）如图，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．

求绳子最低点离地面的距离；
因实际需要，在离为米的位置处用一根立柱撑起绳子如图，使左边抛物线的最低点距为米，离地面米，求的长；
将立柱的长度提升为米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为，抛物线的顶点离地面距离为，当时，求的取值范围．
26. （9分）已知代数式，
求；
当，时，求的值；
若的值与的取值无关，求的值．

参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】解：下列四个数中，与的和为的数是，
故选
找出的相反数即为所求．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2. 【答案】B
【解析】解：、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形．
故选
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3. 【答案】B
【解析】解：8.010×105表示的原数为801000，
故选：B．
把8.010×105写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
4. 【答案】C
【解析】解：A．线段PD的长不一定是点P到直线l的距离，故本选项错误；
B．线段PC不可能是△PAB的高，故本选项错误；
C．线段PD可能是△PBC的高，故本选项正确；
D．线段PB不可能是△PAC的高，故本选项错误；
故选：C．
点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段，根据垂线段最短进行判断即可．
本题主要考查了三角形的高一级点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
5. 【答案】C
【解析】解：分式的值为，
，
解得：．
故选：．
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
6. 【答案】B
【解析】解：由题意可得：，，
，
，
．
故选
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．
7. 【答案】D
【解析】解：A、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，故错误；
B、“若m、n互为相反数，则mn=0”，这一事件是随机事件，故错误；
C、小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是，故错误；
D、“1，3，2，1的中位数一定是2”，这一事件是不可能事件，正确，
故选：D．
利用调查的方式、随机事件、概率公式等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了调查的方式、随机事件、概率公式等知识，属于基础性的题目，比较简单．
8. 【答案】B
【解析】解：由题意可得：a-b=5，ab=10，
则a2b-ab2=ab（a-b）=50．
故选：B．
直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
9. 【答案】D
【解析】解：由作法得CA=CB=CD=AB，
∴ 点B在以AD为直径的圆上，
∴ ∠ ABD=90°，
∴ 点C是△ABD的外心，
在Rt△ABC中，sin∠ D==，
∴ ∠ D=30°，∠ A=60°，
∴ sin2A+sin2D=1，
∵ CB=CD，
∴ ∠ CBD=∠ D=30°，
∵ BD=AB，
∴ S△BDC=S△ABD=××AB×AB=AB2．
故选：D．
由作法得CA=CB=CD=AB，根据圆周角定理得到∠ ABD=90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠ D=30°，则∠ A=60°，利用特殊角的三角函数值得到sin2A+sin2D=1，利用等腰三角形的性质得∠ CBD=∠ D=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD=AB，然后利用三角形面积公式得到S△BDC=S△ABD=AB2，从而可对各选项进行判断．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
10. 【答案】A
【解析】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故选A．
根据题意和表格可以列出相应的方程组，从而可以的打哪个选项是正确的．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11. 【答案】A
【解析】解：∵ AP+PB=AB，
∴ PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，
由垂线段最短可知PM⊥CD时，PA+PB+PM的值最小值，
最小值为1+2=3．
当P在B点时，PA+PB+PM=AB+BM=2+≈3.4
∴ PA+PB+PM的值范围为3≤PA+PB+PM＜3.4，
故选：A．
根据AP+PB=AB，然后判断出PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，再根据垂线段最短解答．
本题考查了矩形的性质，垂线段最短的性质，熟记各性质并判断出最小值的情况是解题的关键．
12. 【答案】A
【解析】解：∵ 直线y=2x与线段AB有公共点，
∴ 2n≥3，
∴ n≥．
∵ 1＜，
∴ n的值不可能是1，
故选：A．
由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围即可判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．
13. 【答案】C
【解析】解：∵ 任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，OD=AO，OE=BO，OF=CO，
∴ △DEF与△ABC的相似比为：1：3，
∴ ① △ABC与△DEF是位似图形，正确；
② △ABC与△DEF是相似图形，正确；
③ △DEF与△ABC的周长比为1：3，正确；
④ △DEF与△ABC的面积比为1：9，故此选项错误．
故选：C．
直接利用位似图形的性质以及相似图形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，正确把握相关定义是解题关键．
14. 【答案】D
【解析】解：由题意得出：当x＜0，y=-，当x＞0时，y=，
∴ 故选项B不正确；
设P（a，b），Q（c，d），
则ab=-3，cd=6，
∴ △OPQ的面积是（-a）b+cd=4.5，
∴ 故选项A不正确；
∵ 当x＞0时，y=，
∴ 当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴ 故选项C不正确；
设PM=-a，则OM=-．则PO2=PM2+OM2=（-a）2+（-）2=a2+，
QO2=MQ2+OM2=（-2a）2+（-）2=4a2+，
当PQ2=PO2+QO2=a2++4a2+=5a2+=9a2
整理得：a4=，
∵ a有解，
∴ ∠ POQ=90°可能存在，
∴ 故选项D正确；
故选：D．
根据题意得到当x＜0，y=-，当x＞0时，y=；设P（a，b），Q（c，d），求出ab=-3，cd=6，求出△OPQ的面积是4.5；x＞0时，y随x的增大而减小；利用勾股定理判断出∠ POQ=90°，根据结论即可判断答案．
本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．
15. 【答案】C
【解析】解：如图所示：
，
，
大正方形的面积为，
，
小正方形的面积为．
故选
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
16. 【答案】D
【解析】解：设第n个图形中小圆圈的个数为an个（n为正整数）．
观察图形，可知：a1=1，a2=7=2×3+1，a3=19=3×6+1，a4=37=4×9+1，…，
∴ an=n•3（n-1）+1=3n2-3n+1（n为正整数）．
当n=5时，a5=3×52-3×5+1=61；
当n=6时，a6=3×62-3×6+1=91；
当3n2-3n+1=271时，解得：n1=-9（舍去），n2=10；
当3n2-3n+1=621时，解得：n1=（舍去），n2=．
故选：D．
设第n个图形中小圆圈的个数为an个（n为正整数），根据给定几个图形中小圆圈数量的变化可找出变化规律“an=3n2-3n+1（n为正整数）”，分别代入n=5，n=6，an=271，an=621求出an（或n）即可得出结论．
本题考查了规律型：图形的变化类以及解一元二次方程，根据图形中小圆圈数量的变化找出变化规律“an=3n2-3n+1（n为正整数）”是解题的关键．
二、 填空题
17. 【答案】3
【解析】解：原式==3，
故答案为：3
原式利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
18. 【答案】1
【解析】解：∵ ，
∴ a=-，b=0，
∴ ab=1．
故答案为：1．
直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而利用零指数幂的性质得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
19. 【答案】2 10
【解析】解：∵ 正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，
∴ 围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，则共拼出① 2×120°+2×60°或120+60+120+60，② 120°+4×60°3种不同的图案；
其中所拼的图案中最大的周长为① 1×10=10，
故答案为：3，10．
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
三、 解答题
20. 【答案】解：（1）如图1，
；
（2）由题意得，m=-2，n=7，
① m+n-mn=-2+7-（-2）×7
=5-（-14）
=19；
② -2x+3＜7，
-2x＜7-3，
-2x＜4，
x＞-2，
表示在数轴上如图2：
．
【解析】
（1）利用数轴表示出A，B点位置；
（2）根据题意得出m=-2，n=7，
① 代入计算即可；
② 利用不等式的基本性质解不等式即可．
本题考查的是数轴、解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
21. 【答案】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%
∴ 共调查人数为：40÷40%=100
（2）爱好上网的人数所占百分比为10%
∴ 爱好上网人数为：100×10%=10，
∴ 爱好阅读人数为：100-40-20-10=30，
补全条形统计图，如图所示，
（3）爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，
∴ 该校共有学生大约有：600÷40%=1500人；
（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，
∴ 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为；

【解析】
（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；
（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．
（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．
（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．
本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．
22. 【答案】（1）证明：如图，连接BD，AE，
∵ FB=CE，
∴ BC=EF，
又∵ AB∥ED，AC∥FD，
∴ ∠ ABC=∠ DEF，∠ ACB=∠ DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴ △ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵ △ABC≌△DEF，
∴ AB=DE，
又∵ AB∥DE，
∴ 四边形ABDE是平行四边形，
∴ AD与BE互相平分；
（3）解：∵ FB=CE=5，FC=4，
∴ BE=BF+FC+CE=14，
∵ BO=OE=BE=7．

【解析】
（1）如图，连接BD，AE，根据已知条件得到BC=EF，根据平行线的性质得到∠ ABC=∠ DEF，∠ ACB=∠ DFE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AB=DE，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）根据线段的和差得到BE=BF+FC+CE=14，根据线段中点的定义即可得到结论．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．
23. 【答案】解：（1）∵ 点P（1，b）在直线l1：y=2x+1上，
∴ b=2×1+1=3；
∵ 点P（1，3）在直线l2：y=mx+4上，
∴ 3=m+4，
∴ m=-1．
（2）∵ 直线l1：y=2x+1与x轴、y轴交于点D、A，
∴ D（-，0），A（0，1），
∵ 直线l2：y=-x+4与x轴、y轴分别交于点C、B，
∴ C（4，0），B（0，4），
∴ S△PDC-S△PAB=DC•yP-AB•xP=×（+4）×3-（4-1）×1=；
（3）当x=a时，yC=2a+1；
当x=a时，yD=4-a．
∵ CD=2，
∴ |2a+1-（4-a）|=2，
解得：a=或a=．
【解析】
（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；
（2）根据解析式求得A、B、C、D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；
（3）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据解析式求得与坐标轴的交点；（3）根据CD=2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
24. 【答案】解：思考：如图，过作于，

，
四边形是矩形，
，，
又，
，
，，
∽，
，
，
连接，
，
，
；
探究：如图，过作于，

当到的距离为时，有，
此时，
所以，
如图，当落在延长线时，

可求得，
所以当时，的取值范围为；

如图，当半圆与相切，切点为，连接，

，
，
，
，
∴F'R=​139∙π∙3180=​139π60​；
如图，当半圆与相切，切点为，过点作于，连接，

，
易得四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∴F'R=​41180π×3=​4160π​．
【解析】
思考：作，证∽得，据此求得，再根据勾股定理求得的长，继而由可得答案；
探究：过作于，分垂足落在线段上和线段延长线上两种情况，利用中，求得的度数即可得出的范围；
分半圆与相切和与相切两种情况求解，求出​F'R​所对圆心角度数即可得出答案．
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及切线的性质等知识点．
25. 【答案】解：，
抛物线顶点为最低点，
，
绳子最低点离地面的距离为：；

由可知，对称轴为，则，
令得，
，，
由题意可得：抛物线的顶点坐标为：，
设的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
抛物线为：，
当时，，
的长度为：；

，
根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上，
的横坐标为：，
抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
是关于的二次函数，
又由已知，在对称轴的左侧，
随的增大而增大，
当时，，
解得：，不符合题意，舍去，
当时，，
解得：，不符合题意，舍去，
的取值范围是：．
【解析】
直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
利用顶点式求出抛物线的解析式，进而得出时，的值，进而得出的长；
根据题意得出抛物线的解析式，得出的值，进而得出的取值范围．
此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，正确表示出函数解析式是解题关键．
26. 【答案】解：；
当，时，；
由可知
若的值与的取值无关，则，
解得：．
【解析】
把与代入中，去括号合并即可得到结果；
把与的值代入计算即可得到结果；
由与取值无关，确定出的值即可．
此题考查了整式的加减和化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．