2019年河北省张家口市中考数学一模试卷


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2019年河北省张家口市中考数学一模试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. 的绝对值是　　
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是　　
A. B.
C. D.
3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法表示为　　
A. B. C. D.
4. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　

A. B. C. D.
5. 如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为．

A． B． C． D．
6. 关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
7. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了　　

A. B. C. D.
8. 甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时．则所列方程是（　　）
A.
B. = +20
C. =
D. =
9. 如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为．

A． B． C． D．
10. 如图，矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值等于　　

A. B. C. D.
11. 如图，方格纸上有条线段，请你再画条线段，使图中的条线段组成一个轴对称图形，最多能画　　条线段．

A. B. C. D.
12. 若关于x的一元二次方程（k+2）x-3x+1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＜ 且k≠-2
B. k
C. k≤ 且k≠-2
D. k
13. 一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（　　）
A. cm B. cm
C. 3cm D. cm
14. 如图，△ABC中，BC=4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（　　）

A. 8 B. 10 C. 13 D. 14
15. 如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点，，，的坐标分别是，，，，则点的坐标是　　

A. B. C. D.
16. 锐角中，，，两动点，分别在边，上滑动，且，，得矩形，设的长为，矩形的面积为，则关于的函数图象大致形状是　　

A.
B.
C.
D.

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. 若代数式有意义，则的取值范围是 ．
18. 把3m3-6m2n+3mn2分解因式的结果是______．
19. 我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如=+，=+，=+，…，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b-a=______（用含n的式子表示）

评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. “小组合作制”正在七年级如火如茶地开展，旨在培养七年级学生的合作学习的精神和能力，学会在合作中自主探索．数学课上，吴老师在讲授“角平分线”时，设计了如下四种教学方法：① 教师讲授，学生练习；② 学生合作交流，探索规律；③ 教师引导学生总结规律，学生练习；④ 教师引导学生总结规律，学生合作交流，吴老师将上述教学方法作为调研内容发到七年级所有同学手中要求每位同学选出自己最喜欢的一种，然后吴老师从所有调查问卷中随机抽取了若干份调查问卷作为样本，统计如下：

序号① ② ③ ④ 代表上述四种教学方法，图二中，表示① 部分的扇形的中心角度数为36°，请回答问题：
（1）在后来的抽样调查中，吴老师共抽取______位学生进行调查；并将条形统计图补充完整；
（2）图二中，表示③ 部分的扇形的中心角为多少度？
（3）若七年级学生中选择④ 种教学方法的有540人，请估计七年级总人数约为多少人？
22. 如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接；
判断与的位置关系并说明理由．
若的半径为，，求的长．

23. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线交，分别于点，，反比例函数的图象经过点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．

24. 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是______；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
① 判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
② 若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．

25. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上．点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，1cm半径作⊙O．点P与点D同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s） （0≤t≤）．
（1）如图1，连接DQ，若DQ平分∠ BDC，则t的值为______s；
（2）如图2，连接CM，设△CMQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）在运动过程中，当t为何值时，⊙O与MN第一次相切？

26. 随着信息技术的快速发展，“互联网”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了，两种上网学习的月收费方式：
收费方式
月使用费元
包时上网时间
超时费元








设每月上网学习时间为小时，方案，的收费金额分别为，．
如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空： ______ ； ______
写出与之间的函数关系式．
选择哪种方式上网学习合算，为什么？


参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】解：，
的绝对值是，
故选D．
根据计算绝对值的方法可以得到的绝对值，本题得以解决．
本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的含义．
2. 【答案】C
【解析】解：、，错误；
B、，错误，；
C、，正确；
D、，错误；
故选C．
此题只需根据整式加减的运算法则对各选项中的等式进行判断．
本题考查了整式的加减，比较简单，容易掌握注意不是同类项的不能合并．
3. 【答案】B
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4. 【答案】C
【解析】解：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为
．
故选：．
根据四边形内角和为可得，再根据直角三角形的性质可得，进而可得的和．
考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．
5. 【答案】B
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
“”与“”是相对面，
“”与“”是相对面，
“”与“”是相对面，
相对的面上的数字或代数式互为相反数，
，
，
解得，
，
．
故选
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6. 【答案】D
【解析】解：​​x+2y=3m①​x-y=9m②​​，
① -② 得，3y=-6m，
解得，y=-2m，
把y=-2m代入② 得，x=7m，
由题意得，3×7m-2×2m=34，
解得，m=2，
故选：D．
利用加减消元法解出二元一次方程组，根据题意得到关于m的一元一次方程，解方程即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法和二元一次方程的解的定义，灵活运用加减消元法解出二元一次方程组是解题的关键．
7. 【答案】A
【解析】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故选：．
根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
8. 【答案】C
【解析】解：设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时，
根据题意得：+=．
故选：C．
设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前20分钟到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】解：，，，
，
为直角三角形，
的内切圆半径，
，
，
小鸟落在花圃上的概率．
故选
由，，，得到，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，于是得到的内切圆半径，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同时也考查了勾股定理的逆定理．
10. 【答案】A
【解析】解：，
设，则，
，
，
∽，∽，
，
，，
，，
，
∽，
，
故选A．
根据已知条件设，则，由勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．
11. 【答案】D
【解析】解：如图所示，共有条线段．

故选：．
根据轴对称的性质画出所有线段即可．
本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
12. 【答案】C
【解析】解：∵ 关于x的一元二次方程（k+2）x-3x+1=0有实数根，
∴ k+2≠0且△=（-3）-4（k+2）•1≥0，
解得：k且k≠-2，
故选：C．
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）-4（k+2）•1≥0，求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
13. 【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得2πr=，
解得r=．
故选：B．
设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14. 【答案】C
【解析】解：连接PE、PF、PG，AP，
由题意可知：∠ PEC=∠ PFA=PGA=90°，
∴ S=BC•PE=×4×2=4，
∴ 由切线长定理可知：S+S=S=4，
∴ S=S+S+S+S=5+4+4=13，
∴ 由切线长定理可知：S=S=，
∴ =×AG•PG，
∴ AG=，
由切线长定理可知：CE=CF，BE=BG，
∴ △ABC的周长为AC+AB+CE+BE
=AC+AB+CF+BG
=AF+AG
=2AG
=13，
故选：C．
根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．
本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．

15. 【答案】C
【解析】解：点坐标为，
点在该平面直角坐标系的轴上，
点、的坐标为，，
点、关于轴对称，
正五边形是轴对称图形，
该平面直角坐标系经过点的轴是正五边形的一条对称轴，
点、也关于轴对称，
点的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
由题目中点坐标特征推导得出平面直角坐标系轴的位置，再通过、点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出点坐标了．
本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的轴．
16. 【答案】B
【解析】解：作于点，交于点，如下图所示，

锐角中，，，
，
解得，，
两动点，分别在边，上滑动，且，，得矩形，
，∽，

又的长为，矩形的面积为，

解得，，
，
，
矩形的面积，
关于的函数图象是二次函数，顶点坐标是，
故选：．
根据题意可以表示出矩形的面积与自变量之间的函数关系式，从而可以得到关于的函数图象，本题得以解决．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以列出相应的函数关系式，得到相应的函数的图象．
二、 填空题
17. 【答案】
【解析】解：由题意得，且，
解得且，
所以，．
故答案为
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
18. 【答案】3m（m-n）2
【解析】解：3m3-6m2n+3mn2
=3m（m2-2mn+n2）
=3m（m-n）2．
故答案为：3m（m-n）2．
首先提取公因式3m，再利用公式法分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
19. 【答案】n-1
【解析】解：根据已知得：
在=+，有6-3=2-1，在=+，有12-4=3-1，在=+，有20-5=4-1，…，
所以如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），
则b-a=n-1，
故答案为：n-1．
由已知可得：在=+，有6-3=2-1，在=+，有12-4=3-1，在=+，有20-5=4-1，…，如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b-a=n-1．
本题考查了数字变化规律，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
三、 解答题
20. 【答案】解：原式=×-2=-；
当x=2-，y=2-1时，
原式=-=4-3．
【解析】
本题可先把分式化简，然后将x，y的值代入化简后的式子求值即可．
本题为分式先化简再求值的问题，分母有理化时要仔细．
21. 【答案】60
【解析】解：（1）吴老师抽取的学生总人数为6÷=60人，
则方法④ 的人数为60-（6+9+18）=27人，
补全图形如下：

故答案为：60；

（2）表示③ 部分的扇形的中心角为360°×=108°；

（3）估计七年级总人数约为540÷=1200（人）．
（1）用方法① 的人数除以其圆心角占周角的比例可得总人数，根据各方法的人数之和等于总人数可得方法④ 的人数，从而补全条形图；
（2）用360°乘以方法③ 人数所占比例可得；
（3）用方法④ 的人数除以样本中其所占比例可得总人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 【答案】证明：连接，如图所示：
是直径，
，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的切线，
，
，
，
是的切线；
的半径为，，，

，，
，的面积，
，
解得：，
．

【解析】
连接，先证出，由证明≌，得对应角相等，再根据切线的性质得出，证出，即可得出结论；
先由勾股定理求出，再由三角形的面积求出，根据垂径定理得出．
本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23. 【答案】（1）反比例函数的解析式是
（2）点的坐标是或
【解析】解：（1），四边形是矩形，
，
将代入得：，
，
将代入得：，
，
把的坐标代入得：，
反比例函数的解析式是；
（2）由题意可得：


；
的面积与四边形的面积相等，
，
，
，
点的坐标是或．
（1）求出，将代入求出，得出的坐标，进而将代入得：，求出点坐标，把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）利用，再求出的值，即可求出的坐标．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，注意分类讨论得出点坐标是解题关键．
24. 【答案】BG=AE
【解析】解：（1）BG=AE．
理由：如图1，∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ BAC=90°，点D是BC的中点，
∴ AD⊥BC，BD=CD，
∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°．
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
，
∴ △ADE≌△BDG（SAS），
∴ BG=AE．
故答案为：BG=AE；
（2）① 成立BG=AE．
理由：如图2，连接AD，
∵ 在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴ AD=BD，AD⊥BC，
∴ ∠ ADG+∠ GDB=90°．
∵ 四边形EFGD为正方形，
∴ DE=DG，且∠ GDE=90°，
∴ ∠ ADG+∠ ADE=90°，
∴ ∠ BDG=∠ ADE．
在△BDG和△ADE中，
，
∴ △BDG≌△ADE（SAS），
∴ BG=AE；
② ∵ BG=AE，
∴ 当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．
∵ BC=DE=4，
∴ BG=2+4=6．
∴ AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF==，
∴ AF=2．

（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2）① 如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
② 由① 可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

25. 【答案】1
【解析】解：（1）∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD=6cm、AD=BC=8cm，
则DB=10cm，
∵ 四边形PQMN为正方形，
∴ ∠ BPQ=∠ C=90°，
∵ ∠ PBQ=∠ CBD，
∴ △BPQ∽△BCD，
∴ ==，即==，
则BQ=5t、PQ=3t，
∴ CQ=BC-BQ=8-5t，
∵ DQ平分∠ BDC，
∴ QP=QC，即3t=8-5t，
解得：t=1，
故答案为：1；

（2）如图a，过点M作MH⊥BC于点H，

∴ ∠ MHQ=∠ QPB=∠ MQP=90°，
则∠ HMQ+∠ HQM=∠ PQB+∠ HQM=90°，
∴ ∠ HMQ=∠ PQB，
∴ △HMQ∽△PQB，
∴ =，即=，
则MH=t，
∴ S=×（8-5t）•t=-t+t；

（3）如图b，设⊙O与MN相切于点E，连接OE，作OF⊥BD于点F，

则四边形OENF为矩形，
∴ OE=FN=1，∠ DFO=∠ C=90°，
∵ ∠ FDO=∠ CDB，
∴ △DFO∽△DCB，
∴ =，即=，
解得：t=．
（1）证△BPQ∽△BCD得==，据此得BQ=5t、PQ=3t、CQ=BC-BQ=8-5t，再由DQ平分∠ BDC知QP=QC，即3t=8-5t，解之可得；
（2）过点M作MH⊥BC于点H，证△HMQ∽△PQB得=，求得MH=t，再根据三角形的面积公式可得；
（3）设⊙O与MN相切于点E，连接OE，作OF⊥BD于点F，据此知OE=FN=1，再证△DFO∽△DCB得=，即=，解之可得．
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定和性质等知识点．
26. 【答案】；
【解析】解：由图象知：，；

与之间的函数关系式为：
当时，，
当时，，
，
；

与之间函数关系为：当时，，
当时，，
当0​<​x⩽25​时，，，
∴​yA​<​​yB​，
选择方式上网学习合算，
当25​<​x⩽50​时，即，解得；，
当25​<​x​<​30​时，，选择方式上网学习合算，
当时，，选择哪种方式上网学习都行，
当30​<​x⩽50​，，选择方式上网学习合算，
当时，，，，选择方式上网学习合算，
综上所述：当时，，选择方式上网学习合算，
当时，，选择哪种方式上网学习都行，
当时，，选择方式上网学习合算．
由图象知：，；
根据已知条件即可求得与之间的函数关系式为：当时，；当时，，
先求出与之间函数关系为：当时，；当时，；然后分段求出哪种方式上网学习合算即可．
本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．