2020高考数学一轮复习检测：第3章 第2节　简单的三角恒等变换(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·长沙质检)sin 163°sin 223°＋sin 253°·sin 313°等于(　　)

A．－　　　　　　　　 B．

C．－  D．

解析：选B.原式＝sin 163°sin 223°＋cos 163°·cos 223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝.

2．(2018·洛阳质检)已知tan＝，则的值为(　　)

A.  B．2

C．2  D．－2

解析：选B.由tan＝＝，解得tan α＝3，所以＝＝＝2，故选B.

3．(2018·九校联考)已知5sin 2α＝6cos α，α∈，则tan ＝(　　)

A．－  B．

C.  D．

解析：选B.由题意知，10sin αcos α＝6cos α，又α∈，∴sin α＝，cos α＝，

∴tan ＝＝＝＝＝.

4．(2018·韶关模拟)若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg a，且α－β＝，则实数a的值为(　　)

A．1  B．

C．1或  D．1或10

解析：选C.因为α－β＝，所以tan(α－β)＝1，

又因为tan α＝lg(10a)，tan β＝lg a，所以＝＝1，

所以lg2a＋lg a＝0，

所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.

5．(2018·苏州二模)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选D.cos 2α＝sin＝sin

＝2sincos

代入原式，得

6sincos＝sin，

∵α∈，∴cos＝，

∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.

6．化简：－sin 10°(－tan 5°)的值为________．

解析：原式＝－sin 10°

＝－sin 10°×

＝

＝＝＝.

答案：

7．(2018·江西名校联考)已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．

解析：∵cos＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，＝，sin＝，∴sin＝，∴sin＝－sin＝－.

答案：－

8．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝________．

解析：由＝，

又tan＝tan＝，

所以＝tan＝.

答案：

9．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

解：(1)由角α的终边过点P得sin α＝－，

所以sin(α＋π)＝－sin α＝.

(2)由角α的终边过点P得cos α＝－，

由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，

所以cos β＝－或cos β＝.

10．(2018·抚顺模拟)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，

所以10π＝，所以ω＝.

(2)由(1)知f(x)＝2cos.

又因为f＝－，

所以2cos＝2cos＝－，

所以sin α＝.

又因为f＝，

所以2cos＝2cos β＝，

所以cos β＝.

又因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.

B级　能力提升练

11．(2018·潍坊模拟)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)

A．α＜＜β  B．β＜＜α

C.＜α＜β  D．＜β＜α

解析：选B.∵α为锐角，sin α－cos α＝，∴α＞.

又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，

∴tan(α＋β)＝＝，∴α＋β＝，又α＞，∴β＜＜α，故选B.

12．(2018·成都质检)若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.  B．

C.或  D．或

解析：选A.∵sin 2α＝，α∈，

∴cos 2α＝－且α∈.

又∵sin (β－α)＝，β∈，

∴cos (β－α)＝－.

因此，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]

＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α

＝×－×＝，

又α＋β∈，∴α＋β＝.

13．已知sin＋2sin＝0，则tan＝________．

解析：sin＋2sin＝0⇒sin cos θ＋cos sin θ＋2＝0⇒sincos θ＋cos sin θ＋2＝0，

等式两边同时除以cos cos θ，得

tan ＋tan θ＋2＝0⇒＝2⇒tan(＋θ)＝2.

答案：2

14．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

解：解法一：(1)∵tan α＝，∴＝.

又sin2α＋cos2α＝1.

∴sin2α＝，cos2α＝.

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.

(2)cos 2α＝－，α为锐角⇒<α<⇒sin 2α>0⇒sin 2α＝.

∵cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，<α＋β<π，

∴sin(α＋β)＝.

∴cos(α－β)＝cos(2α－(α＋β))＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝.

∴sin(α－β)＝sin(2α－(α＋β))＝sin 2αcos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)＝－.

∴tan(α－β)＝＝－.

解法二：(1)cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.

(2)∵α为锐角，cos 2α＝－，∴2α∈(0，π)

∴sin 2α＝＝

∴tan 2α＝－

∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，

又∵cos(α＋β)＝－，

∴sin(α＋β)＝.

∴tan(α＋β)＝－2.

∴tan(α－β)＝tan(2α－(α＋β))＝＝＝－.

15．(2018·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．

(1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．

解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，

∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.

(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，

∴g(x)＝cos－2cos2x

＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，

∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.

∴－≤sin≤1，

∴－2≤2sin－1≤1，

故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2，1]．