2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第一章第一讲　集合的概念与运算


第一章　集合与常用逻辑用语
第一讲　集合的概念与运算
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　集合的基本概念
一组对象的全体构成一个集合．
(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一．
(3)常见集合的符号表示.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*
Z
Q
R
(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法．
(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．
知识点二　集合之间的基本关系
关系
定义
表示
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中的任意一个元素都是B中的元素
A⊆B
真子集
A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A
AB
注意：(1)空集用∅表示．
(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．
知识点三　集合的基本运算
符号
语言
交集A∩B
并集A∪B
补集∁UA
图形语言



意义
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.
2．A∪A＝A，A∪∅＝A．
3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．
4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题错误的是(　ABCD　)
A．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.
B．方程＋(y＋2 021)2＝0的解集为{2 020，－2 021}．
C．若A∩B＝A∩C，则B＝C．
D．设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁UA＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．
题组二　走进教材
2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝45，则(　D　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
[解析]　452＝2 025>2 021，∴a∉P，故选D．
3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(　B　)
A．A＝B B．AB
C．AB D．A⊆B
[解析]　因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以AB，故选B．
题组三　考题再现
4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝(　C　)
A．{1,6} B．{1,7}
C．{6,7} D．{1,6,7}
[解析]　依题意得∁UA＝{1,6,7}，故B∩∁UA＝{6,7}．故选C．
5．(2019·北京，5分)已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝(　C　)
A．(－1,1) B．(1,2)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析]　由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．
6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　A　)
A．(－∞，1) B．(－2,1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
[解析]　因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A．


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　集合的基本概念——自主练透
例1 (1)(多选题)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　ABD　)
A．－2∈A B．2 021∉A
C．3k2＋1∉A D．－35∈A
(2)(2019·华师大第二附中10月月考)已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为(　C　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(3)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2 020a的值为1；若1∉A，则a不可能取得的值为－2，－1，0，，.
[解析]　(1)当－2＝3k＋1时，k＝－1∈Z，故A正确；当2 021＝3k＋1时，k＝673∉Z，故B正确；当－35＝3k＋1时，k＝－12∈Z，故D正确．故选A、B、D．
(2)∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3.又∵x∈Z，∴x的取值为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C．
(3)若a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，当a＝－2时，A＝{0,1,1}，不合题意；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不合题意；因此a＝0，所以2 0200＝1.
∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1解得a≠－1，－2.又∵a＋2、(a＋1)2、a2＋3a＋3互不相等，∴a＋2≠(a＋1)2得a≠；a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2；
综上a的值不可以为－2，－1,0，，.

名师点拨 ☞
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
考点二　集合之间的基本关系——师生共研
例2 (1)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{x|x∈A}，则集合A与集合B的关系为(　C　)
A．A⊆B B．B⊆A
C．A＝B D．不能确定
(2)(2020·江西赣州五校协作体期中)已知集合A＝{x|x＝sin ，n∈Z}，且B⊆A，则集合B的个数为(　C　)
A．3 B．4
C．8 D．15
(3)(多选题)设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则下面不正确的是(　ACD　)
A．M＝N B．MN
C．NM D．M∩N＝∅
(4)已知集合A＝{x|x2－2 020x＋2 019<0}，B＝{x|x [解析]　(1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选C．
(2)∵集合A＝{x|x＝sin ，n∈Z}＝{0，，－}，且B⊆A，∴集合B的个数为23＝8，故选C．
(3)解法一：(列举法)，由题意知
M＝{…－，－，，，，，…}
N＝{…－，0，，，，，，…}
显然MN，故选A、C、D．
解法二：(描述法)
M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}
∵2k＋1表示所有奇数，而k＋4表示所有整数(k∈Z)
∴MN，故选A、C、D．
(4)A＝{x|1 ∴借助数轴可得a≥2 019，

∴a的取值范围为[2 019，＋∞)．

名师点拨 ☞
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(1)、(2)题)
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题)
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第(4)题)
〔变式训练1〕
(1)(2020·辽宁锦州质检(一))集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系是(　D　)
A．M⊆N B．N⊆M
C．M∩N＝∅ D．MN且NM
(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝()x，x∈R}，则下列不正确的是(　ABD　)
A．M＝N B．N⊆M
C．M＝∁RN D．(∁RN)∩M＝∅
(3)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若A⊆B，则m的取值范围是(－2,5).
[解析]　(1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M，所以MN且NM，故选D．
(2)由题意得y＝x－|x|＝
∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁RN.故选A、B、D．
(3)化简A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，当m>0时，x>－，因为A⊆B，所以－<－2，解得m<5，所以05，解得m>－2，所以－2 考点三　集合的基本运算——多维探究
角度1　集合的运算
例3 (1)(2019·天津，5分)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　D　)
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
(2)(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合M＝{x|－4 A．{x|－4 C．{x|－2 (3)(2020·百校联考)已知集合A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝x＋，x≥1}，则∁BA＝(　C　)
A．[，]∪[3，＋∞) B．[，)∪(3，＋∞)
C．[，]∪(3，＋∞) D．[，)∪[3，＋∞)
[解析]　(1)由条件可得A∩C＝{1,2}，故(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}．
(2)方法一：∵N＝{x|－2 方法二：由题可得N＝{x|－2 (3)因为A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝x＋，x≥1}，所以A＝(，3]，B＝[，＋∞)，故∁BA＝[，]∪(3，＋∞)．故选C．
角度2　利用集合的运算求参数
例4 (1)已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1<22－x<4}，若A∩B＝{1,2m}，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(0，) B．(，1)
C．(0，)∪(，1) D．(0,1)
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为[2,3].
[解析]　(1)B＝{x|0<2－x<2}＝{x|0 (2)由A∩B＝B知，B⊆A．

又B≠∅，则解得2≤m≤3，
则实数m的取值范围为[2,3]．
[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？
[解析]　应对B＝∅和B≠∅进行分类．
①若B＝∅，则2m－1 ②若B≠∅，由例得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
[引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　由A∪B＝B，即A⊆B得
即不等式组无解，故不存在实数m，使A∪B＝B．
[引申3]本例(2)中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，AB，则m的取值范围为(－∞，－3].
[解析]　由题意可知解得m≤－3.


名师点拨 ☞
集合的基本运算的关注点
1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(　A　)
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
(2)(角度1)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝(　D　)
A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
(3)(角度2)设集合M＝{x|y＝}，N＝{x|x≥a}，若M∪N＝N，则实数a的取值范围是(　B　)
A．[0,2] B．(－∞，0]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
[解析]　(1)由题意可得∁UA＝{－1,3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A．
(2)∁UA＝{x|x<0或x>2}，则(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}，故选D．
(3)M＝{x|0≤x≤2}，∵M∪N＝N，∴M⊆N，∴a≤0，故选B．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛┃·素养提升
集合中的新定义问题
例5 (2020·江西九江联考)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知M＝{y|y＝－x2＋2x，00}，则M⊗N＝(0，]∪(1，＋∞).
[解析]　M＝{y|y＝－x2＋2x,00}＝(，＋∞)，则M∪N＝(0，＋∞)，M∩N＝(，1]，所以M⊗N＝(0，]∪(1，＋∞)．

名师点拨 ☞
集合新定义问题的“3定”
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．
〔变式训练3〕
　对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝(　C　)
A．(－，0]
B．[－，0)
C．(－∞，－)∪[0，＋∞)
D．(－∞，－]∪(0，＋∞)
[解析]　A＝{y|y≥－}，B＝{y|y<0}，A－B＝{y|y≥0}，B－A＝{y|y<－}，(A－B)∪(B－A)＝{y|y≥0或y<－}，故选C．