（山东专用）2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念与运算学案（含解析）

第一章　集合与常用逻辑用语

第一讲　集合的概念与运算

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　集合的基本概念

一组对象的全体构成一个集合．

(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．

(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一．

(3)常见集合的符号表示.

(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法．

(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．

知识点二　集合之间的基本关系

注意：(1)空集用∅表示．

(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．

知识点三　集合的基本运算

1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.

2．A∪A＝A，A∪∅＝A．

3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．

4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

题组一　走出误区

1．(多选题)下列命题错误的是(　ABCD　)

A．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.

B．方程＋(y＋2 021)2＝0的解集为{2 020，－2 021}．

C．若A∩B＝A∩C，则B＝C．

D．设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁UA＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．

题组二　走进教材

2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝45，则(　D　)

A．a∈P  B．{a}∈P

C．{a}⊆P  D．a∉P

[解析]　452＝2 025>2 021，∴a∉P，故选D．

3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(　B　)

A．A＝B  B．AB

C．AB  D．A⊆B

[解析]　因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以AB，故选B．

题组三　考题再现

4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝(　C　)

A．{1,6}  B．{1,7}

C．{6,7}  D．{1,6,7}

[解析]　依题意得∁UA＝{1,6,7}，故B∩∁UA＝{6,7}．故选C．

5．(2019·北京，5分)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝(　C　)

A．(－1,1)  B．(1,2)

C．(－1，＋∞)  D．(1，＋∞)

[解析]　由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．

6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　A　)

A．(－∞，1)  B．(－2,1)

C．(－3，－1)  D．(3，＋∞)

[解析]　因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　集合的基本概念——自主练透

例1 (1)(多选题)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　ABD　)

A．－2∈A  B．2 021∉A

C．3k2＋1∉A  D．－35∈A

(2)(2019·华师大第二附中10月月考)已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为(　C　)

A．2  B．3

C．4  D．5

(3)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2 020a的值为1；若1∉A，则a不可能取得的值为－2，－1，0，，.

[解析]　(1)当－2＝3k＋1时，k＝－1∈Z，故A正确；当2 021＝3k＋1时，k＝673∉Z，故B正确；当－35＝3k＋1时，k＝－12∈Z，故D正确．故选A、B、D．

(2)∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3.又∵x∈Z，∴x的取值为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C．

(3)若a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，当a＝－2时，A＝{0,1,1}，不合题意；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不合题意；因此a＝0，所以2 0200＝1.

∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1解得a≠－1，－2.又∵a＋2、(a＋1)2、a2＋3a＋3互不相等，∴a＋2≠(a＋1)2得a≠；a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2；

综上a的值不可以为－2，－1,0，，.

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(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

考点二　集合之间的基本关系——师生共研

例2 (1)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{x|x∈A}，则集合A与集合B的关系为(　C　)

A．A⊆B  B．B⊆A

C．A＝B  D．不能确定

(2)(2020·江西赣州五校协作体期中)已知集合A＝{x|x＝sin ，n∈Z}，且B⊆A，则集合B的个数为(　C　)

A．3  B．4

C．8  D．15

(3)(多选题)设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则下面不正确的是(　ACD　)

A．M＝N  B．MN

C．NM  D．M∩N＝∅

(4)已知集合A＝{x|x2－2 020x＋2 019<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[2_019，＋∞).

[解析]　(1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选C．

(2)∵集合A＝{x|x＝sin ，n∈Z}＝{0，，－}，且B⊆A，∴集合B的个数为23＝8，故选C．

(3)解法一：(列举法)，由题意知

M＝{…－，－，，，，，…}

N＝{…－，0，，，，，，…}

显然MN，故选A、C、D．

解法二：(描述法)

M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}

∵2k＋1表示所有奇数，而k＋4表示所有整数(k∈Z)

∴MN，故选A、C、D．

(4)A＝{x|1<x<2 019}，∵A⊆B，

∴借助数轴可得a≥2 019，

∴a的取值范围为[2 019，＋∞)．

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判断集合间关系的3种方法

〔变式训练1〕

(1)(2020·辽宁锦州质检(一))集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系是(　D　)

A．M⊆N  B．N⊆M

C．M∩N＝∅  D．MN且NM

(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝()x，x∈R}，则下列不正确的是(　ABD　)

A．M＝N  B．N⊆M

C．M＝∁RN  D．(∁RN)∩M＝∅

(3)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若A⊆B，则m的取值范围是(－2,5).

[解析]　(1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M，所以MN且NM，故选D．

(2)由题意得y＝x－|x|＝

∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁RN.故选A、B、D．

(3)化简A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，当m>0时，x>－，因为A⊆B，所以－<－2，解得m<5，所以0<m<5.当m<0时，x<－，因为A⊆B，所以－>5，解得m>－2，所以－2<m<0.当m＝0时，B＝R，符合A⊆B．综上所述，所求的m的取值范围是(－2,5)．

考点三　集合的基本运算——多维探究

角度1　集合的运算

例3 (1)(2019·天津，5分)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　D　)

A．{2}  B．{2,3}

C．{－1,2,3}  D．{1,2,3,4}

(2)(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　C　)

A．{x|－4<x<3}  B．{x|－4<x<－2}

C．{x|－2<x<2}  D．{x|2<x<3}

(3)(2020·百校联考)已知集合A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝x＋，x≥1}，则∁BA＝(　C　)

A．[，]∪[3，＋∞)  B．[，)∪(3，＋∞)

C．[，]∪(3，＋∞)  D．[，)∪[3，＋∞)

[解析]　(1)由条件可得A∩C＝{1,2}，故(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}．

(2)方法一：∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C．

方法二：由题可得N＝{x|－2<x<3}．∵－3∉N，∴－3∉M∩N，排除A，B；∵2.5∉M，∴2.5∉M∩N，排除D．故选C．

(3)因为A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝x＋，x≥1}，所以A＝(，3]，B＝[，＋∞)，故∁BA＝[，]∪(3，＋∞)．故选C．

角度2　利用集合的运算求参数

例4 (1)已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1<22－x<4}，若A∩B＝{1,2m}，则实数m的取值范围是(　C　)

A．(0，)  B．(，1)

C．(0，)∪(，1)  D．(0,1)

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为[2,3].

[解析]　(1)B＝{x|0<2－x<2}＝{x|0<x<2}，∵A∩B＝{1,2m}，∴0<2m<2且2m≠1，即0<m<1且m≠，故选C．

(2)由A∩B＝B知，B⊆A．

又B≠∅，则解得2≤m≤3，

则实数m的取值范围为[2,3]．

[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？

[解析]　应对B＝∅和B≠∅进行分类．

①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.

②若B≠∅，由例得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．

[引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解析]　由A∪B＝B，即A⊆B得

即不等式组无解，故不存在实数m，使A∪B＝B．

[引申3]本例(2)中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，AB，则m的取值范围为(－∞，－3].

[解析]　由题意可知解得m≤－3.

名师点拨 ☞

集合的基本运算的关注点

1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(　A　)

A．{－1}  B．{0,1}

C．{－1,2,3}  D．{－1,0,1,3}

(2)(角度1)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝(　D　)

A．(2,3]  B．(－∞，1]∪(2，＋∞)

C．[1,2)  D．(－∞，0)∪[1，＋∞)

(3)(角度2)设集合M＝{x|y＝}，N＝{x|x≥a}，若M∪N＝N，则实数a的取值范围是(　B　)

A．[0,2]  B．(－∞，0]

C．[2，＋∞)  D．(－∞，2]

[解析]　(1)由题意可得∁UA＝{－1,3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A．

(2)∁UA＝{x|x<0或x>2}，则(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}，故选D．

(3)M＝{x|0≤x≤2}，∵M∪N＝N，∴M⊆N，∴a≤0，故选B．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛┃·素养提升

集合中的新定义问题

例5 (2020·江西九江联考)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知M＝{y|y＝－x2＋2x，0<x<2}，N＝{y|y＝2x－1，x>0}，则M⊗N＝(0，]∪(1，＋∞).

[解析]　M＝{y|y＝－x2＋2x,0<x<2}＝(0,1]，N＝{y|y＝2x－1，x>0}＝(，＋∞)，则M∪N＝(0，＋∞)，M∩N＝(，1]，所以M⊗N＝(0，]∪(1，＋∞)．

名师点拨 ☞

集合新定义问题的“3定”

(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．

(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．

(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．

〔变式训练3〕

　对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝(　C　)

A．(－，0]

B．[－，0)

C．(－∞，－)∪[0，＋∞)

D．(－∞，－]∪(0，＋∞)

[解析]　A＝{y|y≥－}，B＝{y|y<0}，A－B＝{y|y≥0}，B－A＝{y|y<－}，(A－B)∪(B－A)＝{y|y≥0或y<－}，故选C．