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2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第18讲 平抛运动的规律及应用
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第18讲 平抛运动的规律及应用
基础命题点 平抛运动的基本规律
1．抛体运动
定义：以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受重力作用，这时的运动叫做抛体运动。
2．平抛运动
(1)定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
(3)平抛运动的条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
(4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
3．平抛运动的规律：如图所示，以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t。
(2)竖直方向做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2。
(3)合运动
①合速度v＝，方向与水平方向夹角为α，则tanα＝＝。
②合位移x合＝，方向与水平方向夹角为θ，则tanθ＝＝。
4．平抛运动的规律应用
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度v＝＝ ，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tanα＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ。
6．斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)
(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动。
(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
解析 画出平抛运动分解图，如图所示，由tanθ＝可得，小球平抛的初速度大小为v0＝，A正确；由tanα＝＝＝＝tanθ可知，α≠，B错误；小球做平抛运动的时间t＝，与小球初速度无关，C错误；由tanθ＝可知，v0越大，θ越小，D正确。
答案 AD
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。
1．(教科版必修2 P18·T2)一投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的
答案 C
解析 4包物资落地前水平速度与飞机相同，竖直方向做自由落体运动，所以总在飞机的正下方排成竖直的直线，水平速度相同，下落高度相同，落点是等间距的，C正确，A、B、D错误。
2．(2019·湖北高考模拟)如图所示，上、下两个完全相同的圆弧轨道分别固定在竖直板上的不同高度处，轨道的末端水平。在两轨道相对于各自轨道末端高度相同的位置上各安装一个电磁铁，两个电磁铁由同一个开关控制，通电后，两电磁铁分别吸住相同小铁球A、B，断开开关，两个小球同时开始运动。离开圆弧轨道后，A球做平抛运动，B球进入一个光滑的水平轨道。若某次两个小球相碰的位置恰在水平轨道上的P点处。已知固定在竖直板上的方格纸的正方形小格边长均为9 cm，则可计算出A球刚到达P点的速度大小为(g取10 m/s2)( )
A．4.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
答案 A
解析 A球做平抛运动，则竖直方向：h＝9L＝gt2，vy＝gt，水平方向：9L＝v0t，A到达P点的速度为：v＝，将L＝9 cm＝0.09 m代入，解得：v＝4.5 m/s，故A正确。
3．(2019·河南六市高三联合一模)如图甲所示的“襄阳砲”是古代军队攻打城池的装置，其实质就是一种大型抛石机，图乙是其工作原理的简化图。将质量m＝10 kg的石块，装在与转轴O相距L＝5 m的长臂末端口袋中，最初静止时长臂与水平面的夹角α＝30°，发射时对短臂施力使长臂转到竖直位置时立即停止运动，石块靠惯性被水平抛出，落在水平地面上。若石块落地位置与抛出位置间的水平距离s＝20 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．石块抛出后运动时间为 s
B．石块被抛出瞬间的速度大小为 m/s
C．石块即将落地时重力的瞬时功率为500 W
D．石块落地的瞬时速度大小为15 m/s
答案 C
解析 石块被抛出后做平抛运动，h＝L＋Lsinα，竖直方向：h＝gt2，可得：t＝ s，故A错误；石块被抛出后做平抛运动，水平方向：s＝v0t，可得：v0＝ m/s，故B错误；石块即将落地时重力的瞬时功率为：P＝mgvy＝mg·gt＝500 W，故C正确；石块落地的瞬时速度大小为：v＝＝ m/s，故D错误。
能力命题点一 有约束条件的平抛运动
1．概述
做平抛运动的物体常见的是落在水平面上的某一点(如投弹)，当落在竖直面上(射箭)、斜面上(滑雪、投弹)或一定形状的曲面上时，平抛运动会受到这些几何形状的约束，如下图所示。
解决这类问题不仅要掌握平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际的约束条件分析其中的物理情景。
2．典型模型：斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。常见的模型如下：
斜面
解题方法
内容
分解速度，构建速度三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
合速度：v＝
tanθ＝
分解位移，构建位移三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：s＝
tanθ＝
如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．P、Q间距是原来间距的3倍
解析 由图可知，tan(α＋θ)＝＝，而tanθ＝＝＝，可得tan(α＋θ)＝2tanθ，则知α大小与初速度大小无关，α不变，A错误，B正确；斜面倾角的正切值tanθ＝，得t＝，若初速度变为原来的3倍，其运动时间变为原来的3倍，C错误；P、Q间距s＝＝，若初速度变为原来的3倍，则时间t变为原来的3倍，则P、Q间距变为原来的9倍，D错误。
答案 B
有约束条件的平抛运动问题求解的关键
(1)运动的分解
①以分解速度为突破口
对于一个做平抛运动的物体来说，若已知某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanα＝＝(α为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
②以分解位移为突破口
对于一个做平抛运动的物体来讲，若已知某时刻的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tanθ＝(θ为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)灵活运用平抛运动的两个推论，特别是tanα＝2tanθ，可简化求解过程。
1．如图所示，以9.8 m/s的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g＝9.8 m/s2)( )
A． s B． s
C． s D．2 s
答案 A
解析 物体做平抛运动，垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，其速度与斜面垂直，把物体的速度分解，如图所示。由图可知，此时物体在竖直方向上的分速度大小为vy＝，由vy＝gt可得运动的时间t＝＝＝ s，故A正确。
2．(2019·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0,6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)( )
A．(3 m,3 m) B．(2 m,4 m)
C．(1 m,1 m) D．(1 m,2 m)
答案 C
解析 设小球经过时间t打在曲面上M(x，y)点，则水平方向：x＝v0t，竖直方向上：6 m－y＝gt2，又因为y＝x2，联立解得：x＝1 m，y＝1 m，故C正确。
能力命题点二 平抛运动中的临界问题
1．平抛运动受到某种条件的约束时(如乒乓球台的大小和球网对乒乓球运动的约束)，经常会出现临界问题，其约束条件一般有水平位移和竖直高度两种，如乒乓球、排球的过网、越界问题。求解这类问题的关键是确定临界轨迹。
2．临界问题的判别
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“至多”“至少”“最大”“最小”等字眼，往往也存在临界问题。
如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高，如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起并垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( )
A．H＝h B．H＝h
C．H＝h D．H＝h
解析 将排球水平击出后，排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故C正确。
答案 C
解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。
1．(多选)在一场足球比赛中，小明将界外球掷给小华，他将足球水平掷出时的照片如图所示，掷出后的足球可视为做平抛运动。掷出点的实际高度为1.8 m，小华的高度为1.6 m，根据照片进行估算，下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．为使球恰好落在小华头顶，则小明掷足球的初速度应约为30 m/s
B．若小明减小掷出点的实际高度，则球落点一定在小华前面
C．若小明增大掷出足球的初速度，则球落点一定在小华后面
D．为使球恰好落在小华脚下，则小明掷足球的初速度应约为10 m/s
答案 AD
解析 由平抛运动的公式h＝gt2得足球在空中的运动时间为t＝，为使球恰好落在小华头顶，则t1＝
s＝0.2 s，由图可估算出足球与小华的水平距离x约为抛出点高度的3.3倍，约6.0 m，若足球恰好落在小华头顶，则足球的初速度约为v1＝＝30 m/s，故A正确；水平位移x＝v0t＝v0，由高度和初速度共同决定，故B、C错误；若足球恰好落在小华脚下，则足球在空中的运动时间为t2＝ s＝0.6 s，所以足球的初速度约为v2＝＝10 m/s，故D正确。
2．(2019·山东德州二模)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是( )
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若初速度为v0，则L＜v0＜3L
答案 C
解析 根据h＝gt2可得，小面圈在空中运动的时间t＝ ，则所有小面圈在空中运动的时间都相同，故A正确；根据Δv＝gΔt可得所有小面圈的速度的变化量都相同，故B正确；因为水平位移的范围为L＜x＜L＋2L＝3L，则最小水平初速度为vmin＝＝L，最大水平初速度为：vmax＝＝3L，则水平初速度的范围为：L＜v0＜3L，故D正确；落入锅中时，最大速度为：vmax′＝＝ ，最小速度为vmin′＝＝，故C错误。题目要求选说法错误的，故选C。
3．如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0．2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v>2.3 m/s
C．3 m/s
解析 小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝vmaxt，h＝gt2，代入数据解得vmax＝7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，此时有L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s
课时作业
1．(多选)对做平抛运动的物体，在已知重力加速度g的情况下，给出下列4组条件，其中能求出平抛的初速度大小的是( )
A．下落高度和水平位移
B．水平位移和落地时的速度方向
C．位移方向及水平位移
D．竖直位移大小及落地时的竖直速度大小
答案 ABC
解析 由h＝gt2，x＝v0t，得v0＝x，可知，知道下落高度和水平位移，可以确定初速度，故A正确；已知水平位移和落地时的速度方向，根据x＝v0t，tanα＝，可以求出初速度，故B正确；已知位移方向及水平位移，根据gt2＝xtanθ，x＝v0t能求出初速度，故C正确；根据分运动的独立性，由竖直分运动的量不能求出初速度，故D错误。
2．如图所示，A球在B球的斜上方，两球相向水平抛出，若要使两球在与两球抛出的距离相等的竖直线上相遇，则( )
A．A球要先抛出
B．B球要先抛出
C．A球抛出时的速度大于B球抛出时的速度
D．A球抛出时的速度与B球抛出时的速度大小相等
答案 A
解析 由公式h＝gt2可知，要使A球和B球在同一高度相遇，由于A球下落的高度比B大，A运动的时间更大，故小球A先抛出，A正确，B错误；相遇前两球在水平方向上的位移相等，由公式v0＝可知，甲的初速度比乙的初速度更小，故C、D错误。
3．在竖直墙壁上悬挂一镖靶，某人站在离墙壁一定距离的某处，先后将两只飞镖A、B由同一位置水平掷出，两只飞镖落在靶上的状态如图所示(侧视图)，若不计空气阻力，下列说法中正确的是( )
A．A、B两镖在空中运动时间相同
B．B镖掷出时的初速度比A镖掷出时的初速度小
C．A、B镖的速度变化方向可能不同
D．A镖的质量一定比B镖的质量小
答案 B
解析 飞镖B下落的高度大于飞镖A下落的高度，根据h＝gt2得t＝ ，B下降的高度大，则B镖的运动时间长，故A错误；因为水平位移相等，B镖的运动时间长，则B镖的初速度小，故B正确；因为A、B镖都做平抛运动，速度变化的方向与加速度方向相同，均竖直向下，故C错误；平抛运动的时间与质量无关，本题无法比较两飞镖的质量，故D错误。
4．如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方。不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以( )
A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
答案 B
解析 设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，则有：h＝gt2，得平抛运动的时间为：t＝ ，则水平位移为：x＝v0t＝v0。增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不可能抛进小桶中，故A错误；减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能抛进小桶中，故B正确；保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不可能抛进小桶中，故C错误；保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不可能抛进小桶中，D错误。
5．如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是( )
A．小球通过B点的速度为12 m/s
B．小球的抛出速度为5 m/s
C．小球从A点运动到B点的时间为1 s
D．A、B之间的距离为6 m
答案 C
解析 由平抛运动规律知v0＝vAsin60°，v0＝vBsin30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，故A、B错误；竖直速度vAy＝vAcos60°，vBy＝vBcos30°，vBy＝vAy＋gt，联立解得t＝1 s，故C正确；由v－v＝2gh，解得h＝10 m，A、B间距s＝＝ m＝5 m，故D错误。
6．如图所示，斜面倾角为θ，从斜面的P点分别以v0和2v0的速度水平抛出A、B两个小球，不计空气阻力，若两小球均落在斜面上且不发生反弹，则( )
A．A、B两球的水平位移大小之比为1∶2
B．A、B两球飞行时间之比为1∶4
C．A、B两球下落的高度之比为1∶3
D．A、B两球落到斜面上的速度大小之比为1∶2
答案 D
解析 根据tanθ＝得，运动的时间t＝，因为初速度之比为1∶2，则运动的时间之比为1∶2，根据x＝v0t知，水平位移之比为1∶4，故A、B错误；运动的时间之比为1∶2，根据h＝gt2知，A、B下落的高度之比为1∶4，故C错误；落在斜面上的竖直分速度vy＝gt＝2v0tanθ，根据平行四边形定则知，落在斜面上的速度v＝＝v0，可知落在斜面上的速度之比为1∶2，故D正确。
7.如图所示，战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上等间距的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，不计空气阻力，则( )
A．t1
答案 A
解析 A、B、C三点为山坡上等间距的三个点，由几何关系可知，AA′、BB′的竖直高度差相同，设A′到A的时间为t1，B′到B的时间为t2，由于平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动，越往下竖直分速度越大，结合自由落体运动的特点可知：tAA′＜tBB′，而击中A、B两点的时间间隔为t1，击中B、C两点的时间间隔为t2，则t2＞t1，故A正确。
8．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是( )
A.
解析 当乒乓球恰好能落到球台角上时发射速度最大，有vmaxt1＝，3h＝gt，解得vmax＝ 。当乒乓球平行球台边缘运动且刚过网时发射速度最小，有vmint2＝，2h＝gt，解得vmin＝ ，D正确。
9．如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端？
答案 (1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s
解析 (1)由题意可知，小球落到斜面上并刚好沿斜面下滑，说明落在斜面上时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，
所以vy＝v0tan53°，v＝2gh
解得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s。
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m。
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin53°，初速度v＝＝5 m/s，则
＝vt2＋at，解得t2＝2 s或t2＝－ s不合题意舍去，所以t＝t1＋t2＝2.4 s。
10．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
11．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的水平初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
12．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 将乒乓球的平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据在竖直方向h＝gt2、vy＝gt，知在竖直方向下降相同的高度时，两球所用时间相同、竖直方向上的速度相同，故A、B、D错误；乒乓球在水平方向做匀速直线运动，有x＝v0t，则速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少，C正确。
13．(2019·山东济宁一模)(多选)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．初速度越大，小球运动时间越长
B．初速度不同，小球运动时间可能相同
C．小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D．小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
答案 BD
解析 平抛运动的时间由高度决定，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点为关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点时，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为平抛运动中同一位置的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，由此可知落到轨道的瞬间，小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。
14．(2019·山东青岛高三一模)随着北京冬奥会的临近，滑雪项目成为了人们非常喜爱的运动项目。如图，运动员从高为h的A点由静止滑下，到达B点水平飞出后经过时间t落到长直滑道上的C点，不计滑动过程的摩擦和空气阻力，关于运动员的运动，下列说法正确的是( )
A．若h加倍，则水平飞出的速度v加倍
B．若h加倍，则在空中运动的时间t加倍
C．若h加倍，运动员落到斜面上的速度大小不变
D．若h加倍，运动员落到斜面上的速度方向不变
答案 D
解析 根据机械能守恒定律，可得v＝，h加倍，则水平飞出的速度v变为v，故A错误；运动员落到斜面上，位移满足＝＝tanθ，t＝＝，h加倍，则在空中运动的时间t变为原来的倍，故B错误；运动员落到斜面上的速度为vt＝＝，h加倍，运动员落到斜面上的速度大小变为原来的倍，故C错误；运动员落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值tanβ＝＝＝2tanθ为定值，则可知速度方向保持不变，故D正确。
15．(2019·宜昌市夷陵中学高考模拟)(多选)如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，斜面的倾角为30°，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球打到斜面上的时间为
B．要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h和v0成正比关系
C．要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h和v0的平方成正比关系
D．若高度h一定，现小球以不同的v0平抛，落到斜面上的速度最小值为
答案 ACD
解析 设小球打到斜面上的时间为t，恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得tan60°＝＝，解得t＝，故A正确；要让小球始终垂直打到斜面上，小球平抛运动的水平位移x＝v0t，y＝gt2，小球落在斜面上，根据几何关系得：tan30°＝，代入t＝，解得：h＝，h和v0的平方成正比关系，故B错误，C正确；小球落在斜面上时的竖直分速度vy＝，v0＝＝x，由于tan30°＝，速度v＝，联立解得：v＝ ，根据数学知识可知，积一定，当二者相等时和有最小值，故vmin＝ ，故D正确。
16．(2019·广东佛山高三一模)(多选)在2018年俄罗斯世界杯某场比赛中，一个球员在球门中心正前方某处高高跃起，将足球以水平速度v0顶出，恰落在球门的右下方死角P点。假设球门宽为L，守门员作出准确判断的时间为Δt，扑球的时间为t，将足球看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．若球员顶球点的高度为h，则守门员扑球时间t必须小于－Δt才可能成功防守
B．球员要成功破门，球员顶球点的高度必须大于g(t＋Δt)2
C．球员到球门的距离为s，则球员要成功破门，球的最小初速度v0＝
D．若球员到P点的水平距离小于v0(t＋Δt)，则可能成功破门
答案 AD
解析 球落地时间为t1＝ ，守门员作出准确判断的时间为Δt，则守门员扑球时间t必须小于－Δt才可能成功防守，故A正确；球员要成功破门，球的运动时间必须小于t＋Δt，球员顶球点的高度必须小于g(t＋Δt)2，故B错误；球员到球门的距离为s，则球员要成功破门，球的最小初速度v0＝，故C错误；若球员到P点的水平距离小于v0(t＋Δt)，则球运动的时间小于t＋Δt，可能成功破门，故D正确。
第18讲 平抛运动的规律及应用
基础命题点 平抛运动的基本规律
1．抛体运动
定义：以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受重力作用，这时的运动叫做抛体运动。
2．平抛运动
(1)定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
(3)平抛运动的条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
(4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
3．平抛运动的规律：如图所示，以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t。
(2)竖直方向做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2。
(3)合运动
①合速度v＝，方向与水平方向夹角为α，则tanα＝＝。
②合位移x合＝，方向与水平方向夹角为θ，则tanθ＝＝。
4．平抛运动的规律应用
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度v＝＝ ，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tanα＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ。
6．斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)
(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动。
(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
解析 画出平抛运动分解图，如图所示，由tanθ＝可得，小球平抛的初速度大小为v0＝，A正确；由tanα＝＝＝＝tanθ可知，α≠，B错误；小球做平抛运动的时间t＝，与小球初速度无关，C错误；由tanθ＝可知，v0越大，θ越小，D正确。
答案 AD
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。
1．(教科版必修2 P18·T2)一投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的
答案 C
解析 4包物资落地前水平速度与飞机相同，竖直方向做自由落体运动，所以总在飞机的正下方排成竖直的直线，水平速度相同，下落高度相同，落点是等间距的，C正确，A、B、D错误。
2．(2019·湖北高考模拟)如图所示，上、下两个完全相同的圆弧轨道分别固定在竖直板上的不同高度处，轨道的末端水平。在两轨道相对于各自轨道末端高度相同的位置上各安装一个电磁铁，两个电磁铁由同一个开关控制，通电后，两电磁铁分别吸住相同小铁球A、B，断开开关，两个小球同时开始运动。离开圆弧轨道后，A球做平抛运动，B球进入一个光滑的水平轨道。若某次两个小球相碰的位置恰在水平轨道上的P点处。已知固定在竖直板上的方格纸的正方形小格边长均为9 cm，则可计算出A球刚到达P点的速度大小为(g取10 m/s2)( )
A．4.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
答案 A
解析 A球做平抛运动，则竖直方向：h＝9L＝gt2，vy＝gt，水平方向：9L＝v0t，A到达P点的速度为：v＝，将L＝9 cm＝0.09 m代入，解得：v＝4.5 m/s，故A正确。
3．(2019·河南六市高三联合一模)如图甲所示的“襄阳砲”是古代军队攻打城池的装置，其实质就是一种大型抛石机，图乙是其工作原理的简化图。将质量m＝10 kg的石块，装在与转轴O相距L＝5 m的长臂末端口袋中，最初静止时长臂与水平面的夹角α＝30°，发射时对短臂施力使长臂转到竖直位置时立即停止运动，石块靠惯性被水平抛出，落在水平地面上。若石块落地位置与抛出位置间的水平距离s＝20 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．石块抛出后运动时间为 s
B．石块被抛出瞬间的速度大小为 m/s
C．石块即将落地时重力的瞬时功率为500 W
D．石块落地的瞬时速度大小为15 m/s
答案 C
解析 石块被抛出后做平抛运动，h＝L＋Lsinα，竖直方向：h＝gt2，可得：t＝ s，故A错误；石块被抛出后做平抛运动，水平方向：s＝v0t，可得：v0＝ m/s，故B错误；石块即将落地时重力的瞬时功率为：P＝mgvy＝mg·gt＝500 W，故C正确；石块落地的瞬时速度大小为：v＝＝ m/s，故D错误。
能力命题点一 有约束条件的平抛运动
1．概述
做平抛运动的物体常见的是落在水平面上的某一点(如投弹)，当落在竖直面上(射箭)、斜面上(滑雪、投弹)或一定形状的曲面上时，平抛运动会受到这些几何形状的约束，如下图所示。
解决这类问题不仅要掌握平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际的约束条件分析其中的物理情景。
2．典型模型：斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。常见的模型如下：
斜面
解题方法
内容
分解速度，构建速度三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
合速度：v＝
tanθ＝
分解位移，构建位移三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：s＝
tanθ＝
如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．P、Q间距是原来间距的3倍
解析 由图可知，tan(α＋θ)＝＝，而tanθ＝＝＝，可得tan(α＋θ)＝2tanθ，则知α大小与初速度大小无关，α不变，A错误，B正确；斜面倾角的正切值tanθ＝，得t＝，若初速度变为原来的3倍，其运动时间变为原来的3倍，C错误；P、Q间距s＝＝，若初速度变为原来的3倍，则时间t变为原来的3倍，则P、Q间距变为原来的9倍，D错误。
答案 B
有约束条件的平抛运动问题求解的关键
(1)运动的分解
①以分解速度为突破口
对于一个做平抛运动的物体来说，若已知某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanα＝＝(α为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
②以分解位移为突破口
对于一个做平抛运动的物体来讲，若已知某时刻的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tanθ＝(θ为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)灵活运用平抛运动的两个推论，特别是tanα＝2tanθ，可简化求解过程。
1．如图所示，以9.8 m/s的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g＝9.8 m/s2)( )
A． s B． s
C． s D．2 s
答案 A
解析 物体做平抛运动，垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，其速度与斜面垂直，把物体的速度分解，如图所示。由图可知，此时物体在竖直方向上的分速度大小为vy＝，由vy＝gt可得运动的时间t＝＝＝ s，故A正确。
2．(2019·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0,6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)( )
A．(3 m,3 m) B．(2 m,4 m)
C．(1 m,1 m) D．(1 m,2 m)
答案 C
解析 设小球经过时间t打在曲面上M(x，y)点，则水平方向：x＝v0t，竖直方向上：6 m－y＝gt2，又因为y＝x2，联立解得：x＝1 m，y＝1 m，故C正确。
能力命题点二 平抛运动中的临界问题
1．平抛运动受到某种条件的约束时(如乒乓球台的大小和球网对乒乓球运动的约束)，经常会出现临界问题，其约束条件一般有水平位移和竖直高度两种，如乒乓球、排球的过网、越界问题。求解这类问题的关键是确定临界轨迹。
2．临界问题的判别
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“至多”“至少”“最大”“最小”等字眼，往往也存在临界问题。
如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高，如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起并垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( )
A．H＝h B．H＝h
C．H＝h D．H＝h
解析 将排球水平击出后，排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故C正确。
答案 C
解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。
1．(多选)在一场足球比赛中，小明将界外球掷给小华，他将足球水平掷出时的照片如图所示，掷出后的足球可视为做平抛运动。掷出点的实际高度为1.8 m，小华的高度为1.6 m，根据照片进行估算，下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．为使球恰好落在小华头顶，则小明掷足球的初速度应约为30 m/s
B．若小明减小掷出点的实际高度，则球落点一定在小华前面
C．若小明增大掷出足球的初速度，则球落点一定在小华后面
D．为使球恰好落在小华脚下，则小明掷足球的初速度应约为10 m/s
答案 AD
解析 由平抛运动的公式h＝gt2得足球在空中的运动时间为t＝，为使球恰好落在小华头顶，则t1＝
s＝0.2 s，由图可估算出足球与小华的水平距离x约为抛出点高度的3.3倍，约6.0 m，若足球恰好落在小华头顶，则足球的初速度约为v1＝＝30 m/s，故A正确；水平位移x＝v0t＝v0，由高度和初速度共同决定，故B、C错误；若足球恰好落在小华脚下，则足球在空中的运动时间为t2＝ s＝0.6 s，所以足球的初速度约为v2＝＝10 m/s，故D正确。
2．(2019·山东德州二模)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是( )
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若初速度为v0，则L＜v0＜3L
答案 C
解析 根据h＝gt2可得，小面圈在空中运动的时间t＝ ，则所有小面圈在空中运动的时间都相同，故A正确；根据Δv＝gΔt可得所有小面圈的速度的变化量都相同，故B正确；因为水平位移的范围为L＜x＜L＋2L＝3L，则最小水平初速度为vmin＝＝L，最大水平初速度为：vmax＝＝3L，则水平初速度的范围为：L＜v0＜3L，故D正确；落入锅中时，最大速度为：vmax′＝＝ ，最小速度为vmin′＝＝，故C错误。题目要求选说法错误的，故选C。
3．如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0．2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v>2.3 m/s
C．3 m/s
解析 小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝vmaxt，h＝gt2，代入数据解得vmax＝7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，此时有L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s
课时作业
1．(多选)对做平抛运动的物体，在已知重力加速度g的情况下，给出下列4组条件，其中能求出平抛的初速度大小的是( )
A．下落高度和水平位移
B．水平位移和落地时的速度方向
C．位移方向及水平位移
D．竖直位移大小及落地时的竖直速度大小
答案 ABC
解析 由h＝gt2，x＝v0t，得v0＝x，可知，知道下落高度和水平位移，可以确定初速度，故A正确；已知水平位移和落地时的速度方向，根据x＝v0t，tanα＝，可以求出初速度，故B正确；已知位移方向及水平位移，根据gt2＝xtanθ，x＝v0t能求出初速度，故C正确；根据分运动的独立性，由竖直分运动的量不能求出初速度，故D错误。
2．如图所示，A球在B球的斜上方，两球相向水平抛出，若要使两球在与两球抛出的距离相等的竖直线上相遇，则( )
A．A球要先抛出
B．B球要先抛出
C．A球抛出时的速度大于B球抛出时的速度
D．A球抛出时的速度与B球抛出时的速度大小相等
答案 A
解析 由公式h＝gt2可知，要使A球和B球在同一高度相遇，由于A球下落的高度比B大，A运动的时间更大，故小球A先抛出，A正确，B错误；相遇前两球在水平方向上的位移相等，由公式v0＝可知，甲的初速度比乙的初速度更小，故C、D错误。
3．在竖直墙壁上悬挂一镖靶，某人站在离墙壁一定距离的某处，先后将两只飞镖A、B由同一位置水平掷出，两只飞镖落在靶上的状态如图所示(侧视图)，若不计空气阻力，下列说法中正确的是( )
A．A、B两镖在空中运动时间相同
B．B镖掷出时的初速度比A镖掷出时的初速度小
C．A、B镖的速度变化方向可能不同
D．A镖的质量一定比B镖的质量小
答案 B
解析 飞镖B下落的高度大于飞镖A下落的高度，根据h＝gt2得t＝ ，B下降的高度大，则B镖的运动时间长，故A错误；因为水平位移相等，B镖的运动时间长，则B镖的初速度小，故B正确；因为A、B镖都做平抛运动，速度变化的方向与加速度方向相同，均竖直向下，故C错误；平抛运动的时间与质量无关，本题无法比较两飞镖的质量，故D错误。
4．如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方。不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以( )
A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
答案 B
解析 设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，则有：h＝gt2，得平抛运动的时间为：t＝ ，则水平位移为：x＝v0t＝v0。增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不可能抛进小桶中，故A错误；减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能抛进小桶中，故B正确；保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不可能抛进小桶中，故C错误；保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不可能抛进小桶中，D错误。
5．如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是( )
A．小球通过B点的速度为12 m/s
B．小球的抛出速度为5 m/s
C．小球从A点运动到B点的时间为1 s
D．A、B之间的距离为6 m
答案 C
解析 由平抛运动规律知v0＝vAsin60°，v0＝vBsin30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，故A、B错误；竖直速度vAy＝vAcos60°，vBy＝vBcos30°，vBy＝vAy＋gt，联立解得t＝1 s，故C正确；由v－v＝2gh，解得h＝10 m，A、B间距s＝＝ m＝5 m，故D错误。
6．如图所示，斜面倾角为θ，从斜面的P点分别以v0和2v0的速度水平抛出A、B两个小球，不计空气阻力，若两小球均落在斜面上且不发生反弹，则( )
A．A、B两球的水平位移大小之比为1∶2
B．A、B两球飞行时间之比为1∶4
C．A、B两球下落的高度之比为1∶3
D．A、B两球落到斜面上的速度大小之比为1∶2
答案 D
解析 根据tanθ＝得，运动的时间t＝，因为初速度之比为1∶2，则运动的时间之比为1∶2，根据x＝v0t知，水平位移之比为1∶4，故A、B错误；运动的时间之比为1∶2，根据h＝gt2知，A、B下落的高度之比为1∶4，故C错误；落在斜面上的竖直分速度vy＝gt＝2v0tanθ，根据平行四边形定则知，落在斜面上的速度v＝＝v0，可知落在斜面上的速度之比为1∶2，故D正确。
7.如图所示，战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上等间距的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，不计空气阻力，则( )
A．t1
答案 A
解析 A、B、C三点为山坡上等间距的三个点，由几何关系可知，AA′、BB′的竖直高度差相同，设A′到A的时间为t1，B′到B的时间为t2，由于平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动，越往下竖直分速度越大，结合自由落体运动的特点可知：tAA′＜tBB′，而击中A、B两点的时间间隔为t1，击中B、C两点的时间间隔为t2，则t2＞t1，故A正确。
8．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是( )
A.
解析 当乒乓球恰好能落到球台角上时发射速度最大，有vmaxt1＝，3h＝gt，解得vmax＝ 。当乒乓球平行球台边缘运动且刚过网时发射速度最小，有vmint2＝，2h＝gt，解得vmin＝ ，D正确。
9．如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端？
答案 (1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s
解析 (1)由题意可知，小球落到斜面上并刚好沿斜面下滑，说明落在斜面上时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，
所以vy＝v0tan53°，v＝2gh
解得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s。
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m。
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin53°，初速度v＝＝5 m/s，则
＝vt2＋at，解得t2＝2 s或t2＝－ s不合题意舍去，所以t＝t1＋t2＝2.4 s。
10．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
11．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的水平初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
12．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 将乒乓球的平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据在竖直方向h＝gt2、vy＝gt，知在竖直方向下降相同的高度时，两球所用时间相同、竖直方向上的速度相同，故A、B、D错误；乒乓球在水平方向做匀速直线运动，有x＝v0t，则速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少，C正确。
13．(2019·山东济宁一模)(多选)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．初速度越大，小球运动时间越长
B．初速度不同，小球运动时间可能相同
C．小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D．小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
答案 BD
解析 平抛运动的时间由高度决定，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点为关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点时，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为平抛运动中同一位置的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，由此可知落到轨道的瞬间，小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。
14．(2019·山东青岛高三一模)随着北京冬奥会的临近，滑雪项目成为了人们非常喜爱的运动项目。如图，运动员从高为h的A点由静止滑下，到达B点水平飞出后经过时间t落到长直滑道上的C点，不计滑动过程的摩擦和空气阻力，关于运动员的运动，下列说法正确的是( )
A．若h加倍，则水平飞出的速度v加倍
B．若h加倍，则在空中运动的时间t加倍
C．若h加倍，运动员落到斜面上的速度大小不变
D．若h加倍，运动员落到斜面上的速度方向不变
答案 D
解析 根据机械能守恒定律，可得v＝，h加倍，则水平飞出的速度v变为v，故A错误；运动员落到斜面上，位移满足＝＝tanθ，t＝＝，h加倍，则在空中运动的时间t变为原来的倍，故B错误；运动员落到斜面上的速度为vt＝＝，h加倍，运动员落到斜面上的速度大小变为原来的倍，故C错误；运动员落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值tanβ＝＝＝2tanθ为定值，则可知速度方向保持不变，故D正确。
15．(2019·宜昌市夷陵中学高考模拟)(多选)如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，斜面的倾角为30°，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球打到斜面上的时间为
B．要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h和v0成正比关系
C．要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h和v0的平方成正比关系
D．若高度h一定，现小球以不同的v0平抛，落到斜面上的速度最小值为
答案 ACD
解析 设小球打到斜面上的时间为t，恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得tan60°＝＝，解得t＝，故A正确；要让小球始终垂直打到斜面上，小球平抛运动的水平位移x＝v0t，y＝gt2，小球落在斜面上，根据几何关系得：tan30°＝，代入t＝，解得：h＝，h和v0的平方成正比关系，故B错误，C正确；小球落在斜面上时的竖直分速度vy＝，v0＝＝x，由于tan30°＝，速度v＝，联立解得：v＝ ，根据数学知识可知，积一定，当二者相等时和有最小值，故vmin＝ ，故D正确。
16．(2019·广东佛山高三一模)(多选)在2018年俄罗斯世界杯某场比赛中，一个球员在球门中心正前方某处高高跃起，将足球以水平速度v0顶出，恰落在球门的右下方死角P点。假设球门宽为L，守门员作出准确判断的时间为Δt，扑球的时间为t，将足球看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．若球员顶球点的高度为h，则守门员扑球时间t必须小于－Δt才可能成功防守
B．球员要成功破门，球员顶球点的高度必须大于g(t＋Δt)2
C．球员到球门的距离为s，则球员要成功破门，球的最小初速度v0＝
D．若球员到P点的水平距离小于v0(t＋Δt)，则可能成功破门
答案 AD
解析 球落地时间为t1＝ ，守门员作出准确判断的时间为Δt，则守门员扑球时间t必须小于－Δt才可能成功防守，故A正确；球员要成功破门，球的运动时间必须小于t＋Δt，球员顶球点的高度必须小于g(t＋Δt)2，故B错误；球员到球门的距离为s，则球员要成功破门，球的最小初速度v0＝，故C错误；若球员到P点的水平距离小于v0(t＋Δt)，则球运动的时间小于t＋Δt，可能成功破门，故D正确。
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