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2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第4章第2讲 平抛运动的规律及应用
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第2讲 平抛运动的规律及应用
主干梳理 对点激活
对应学生用书P076
知识点 抛体运动 Ⅱ
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿水平方向。
②只受重力作用。
2．斜抛运动
(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿斜向上方或斜向下方。
②只受重力作用。
知识点 抛体运动的基本规律 Ⅱ
1．平抛运动
(1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(2)基本规律(如图所示)
①速度关系
②位移关系
③轨迹方程：y＝x2。
2．斜抛运动
(1)研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。
(2)基本规律(以斜向上抛为例，如图所示)
①水平方向
v0x＝v0cosθ，x＝v0tcosθ。
②竖直方向
v0y＝v0sinθ，y＝v0tsinθ－gt2。
3．类平抛运动的分析
所谓类平抛运动，就是受力特点和运动特点类似于平抛运动，即受到一个恒定的外力且外力与初速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动。
(1)受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(2)运动特点：沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动。
一 堵点疏通
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
2．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。( )
3．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量相同。( )
4．平抛运动的时间由高度决定。( )
5．平抛运动是匀变速曲线运动，速度不断变大。( )
6．斜抛运动是匀变速曲线运动。( )
7．类平抛运动的合力可以是变力。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×
二 对点激活
1. (人教版必修2·P10·做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
答案 BC
解析 小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动。A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，也做自由落体运动，因此两球同时落地。实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论。本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故B、C正确，A、D错误。
2．(人教版必修2·P9·例题1改编)将一个物体以10 m/s的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)，下列说法正确的是( )
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/s
C．落地时速度方向与地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
答案 A
解析 由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝＝10 m/s，故B错误；落地时速度方向与地面夹角的正切值tanθ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝v0t＝20 m，位移为20 m，故D错误。
考点细研 悟法培优
对应学生用书P077
考点1 平抛运动的基本规律
1.关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量
相关分析
飞行时间(t)
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程(x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度的改变量(Δv)
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tanθ＝＝＝。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图乙所示。其推导过程为tanθ＝＝＝＝2tanα。
例1 (多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平初速度比b的小
D．b的水平初速度比c的大
(1)平抛的时间取决于什么？
提示：取决于下落高度。
(2)平抛的水平射程与初速度有关吗？
提示：有，时间相同的情况下，初速度越大水平射程越大。
尝试解答 选BD。
根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝，因此平抛运动的时间只由下落高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此A错误，B正确；又因为xa>xb，而tavc，即b的水平初速度比c的大，D正确。
1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用
根据运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：
(1)水平方向的匀速直线运动；
(2)竖直方向的自由落体运动。
2．对多体平抛问题的四点提醒
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
[变式1－1] “套圈”是游戏者站在界线外将圆圈水平抛出，套中前方水平地面上的物体。某同学在一次“套圈”游戏中，从P点以某一速度水平抛出的圆圈越过了物体正上方落在地面上(如图所示)。为套中物体，下列做法可行的是(忽略空气阻力)( )
A．从P点正前方，以原速度水平抛出
B．从P点正下方，以原速度水平抛出
C．从P点正上方，以原速度水平抛出
D．从P点正上方，以更大速度水平抛出
答案 B
解析 由于抛出的圆圈做平抛运动，由平抛运动的规律可知，圆圈在竖直方向做自由落体运动，则h＝gt2，水平方向做匀速直线运动，则x＝vt，解得x＝v ，由题意圆圈越过了物体正上方落在地面上，欲使圆圈套中物体，应减小水平方向的位移。若从P点的正前方以原速度水平抛出，则圆圈仍越过物体正上方落在地面上，A错误；降低圆圈抛出点的高度以原速度水平抛出，圆圈的运动时间减少，则圆圈可能套中物体，B正确；如果增加抛出点的高度，欲使圆圈套中物体，则应减小水平抛出时的速度，C、D错误。
[变式1－2] (多选)如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2.5h，B点离地面高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在P点相遇，P点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则( )
A．两个小球一定同时抛出
B．两个小球抛出的时间间隔为(－)
C．两个小球抛出的初速度之比＝
D．两个小球抛出的初速度之比＝
答案 BD
解析 平抛运动竖直方向为自由落地运动，由y＝gt2知，t＝ ，A到P点高度较大，故A点先抛出，A错误；两小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝ － ＝(－) ，B正确；由x＝v0t得v0＝x ，x相等，＝ ＝ ，C错误，D正确。
考点2 斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比。
(4)位移与初速度的二次方成正比。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
2．常见的模型
模型
方法
分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系
分解速度，构建速度的矢量三角形
分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
基本
规律
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝
方向：tanθ＝
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝
方向：tanθ＝
水平：x＝v0t
竖直：y＝gt2
合位移：
s＝
方向：tanθ＝
运动
时间
由tanθ＝＝得t＝
由tanθ＝＝得t＝
由tanθ＝
＝得
t＝
例2 (多选)如图所示，D点为固定斜面AC的中点。在A点和D点分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果两球均落在斜面的底端C。空气阻力不计。设两球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则下列关系式正确的是( )
A.＝2 B.＝
C.＝ D.＝
(1)平抛的时间由哪个物理量决定？
提示：下落高度。
(2)速度偏转角的正切如何求解？
提示：tanθ＝。
尝试解答 选BC。
由题意知两小球做平抛运动的竖直位移之比为2∶1，由平抛运动规律h＝gt2可知，＝，A项错误；又水平位移之比也为2∶1，由平抛运动规律x＝v0t，知两球初速度之比为＝，B项正确；两小球竖直方向的速度可由vy＝gt计算，则＝＝，又＝，由v＝，可得＝，C项正确；由tanθ＝，结合C项的分析，可知v1、v2与水平方向的夹角θ1、θ2的正切值相等，D项错误。
有约束条件的平抛运动
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
[变式2] 如图所示，固定在水平地面上的倾角θ＝30°的斜面长为L，小球从斜面顶端A处以初速度v0水平抛出，刚好落在距斜面顶端处。若将小球从同一点以2v0水平抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起。小球两次在空中运动过程中的( )
A．时间之比为1∶2
B．速度的变化量之比为1∶
C．水平位移之比为1∶
D．竖直位移之比为1∶4
答案 B
解析 小球从斜面顶端平抛，若落在斜面上，则x＝v0t，y＝gt2，tanθ＝，得到t＝，当速度变成2v0时，若仍能落到斜面上，则t变成原来的2倍，y变成原来的4倍，因斜面长L，第一次以v0平抛时落点距斜面顶端，所以以2v0平抛时将落在地面上，竖直位移之比为1∶3，则时间之比为1∶，由Δv＝gt得速度变化量之比为1∶，由x＝v0t得水平位移之比为1∶2，故B正确，A、C、D错误。
考点3 类平抛运动的分析
1.类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；类平抛运动的初速度不一定水平，但合外力与初速度方向垂直且为恒力，a＝。
2．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
例3 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2
B．P→Q所用的时间t＝
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
(1)物块类平抛的加速度是多少？
提示：a＝gsinθ。
(2)物块沿初速度方向和沿加速度方向的位移分别是多少？
提示：b，l。
尝试解答 选C。
物块的加速度为：a＝gsinθ。根据l＝at2，得：t＝，故A、B错误；初速度v0＝＝b，故C正确，D错误。
求解类平抛运动问题的关键
(1)对研究对象受力分析，找到合外力的大小、方向，正确求出加速度。例题中，物体受重力、支持力作用，合外力沿斜面向下。
(2)确定是研究速度，还是研究位移。
(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。
[变式3] A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图所示，下列比较P1、P2在x轴上远近关系的判断正确的是( )
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2等远 D．A、B两项都有可能
答案 B
解析 A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsinθ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动，在沿斜面向下方向上＝gsinθ·t。A的水平位移x1＝v0t1，B的水平位移x2＝v0t2，由于t2>t1，所以x2>x1，P2较远。故选B。
满分指导1 平抛运动中的临界问题
对应学生用书P079
【案例剖析】
(16分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶①水平飞出②落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度③v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的④最小速度。
[审题 抓住信息，准确推断]
关键信息
信息挖掘
题干
①水平飞出
说明小球做平抛运动
②落在围墙外的空地上
说明小球既要飞出墙外，又要落在空地上
问题
③v0的大小范围
可由平抛运动规律知，当小球恰好越过墙的边缘时确定v0的最小速度，恰好落到空地的右侧边缘时确定v0的最大速度
④最小速度
小球下落高度一定，落地时竖直分速度一定，当水平速度最小时，小球落地速度最小
[破题 形成思路，快速突破]
(1)设小球恰好落到空地边缘时的水平初速度为v1，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＋x＝v1t1；
②竖直方向：H＝gt。
(2)设小球恰好越过墙的边缘时的水平初速度为v2，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＝v2t2；
②竖直方向：H－h＝gt。
(3)请写出v0的取值范围。
提示：v0的取值范围为v2≤v0≤v1。
(4)在v0的取值范围内落地速度最小时，对应的初速度是多少？
提示：v0对应最小值v2时，小球落地速度最小。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，则小球的水平位移：
L＋x＝v1t1(2分)
小球的竖直位移：
H＝gt(2分)
解以上两式得：
v1＝(L＋x) ＝13 m/s(1分)
设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，则此过程中小球的水平位移：
L＝v2t2(2分)
小球的竖直位移：
H－h＝gt(2分)
解以上两式得：
v2＝L＝5 m/s(1分)
小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s(1分)
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向：
v＝2gH(2分)
又有：vmin＝(2分)
解得：vmin＝5 m/s。(1分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
(1)常见的思维障碍：不理解小球落在墙外的空地上的含义，不能挖掘出当小球恰好越过墙的边缘时v0有最小速度，恰好落到空地边缘时v0有最大速度这两个临界状态，导致无法求出结果。
(2)因解答不规范导致的失分：
①解题时不用题中所给字母列方程，导致失分；
②解出两个临界速度后，没有补充说明v0的取值范围，导致失分。
高考模拟 随堂集训
对应学生用书P080
1．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
2．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，且弹出小球的水平初速度相同，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
3．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。由v2＝2gh知，选项B错误。在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。
4．(2017·江苏高考) 如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B.t
C. D.
答案 C
解析 设A、B两小球分别以速度vA、vB水平抛出时，经过时间t相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有
vAt＋vBt＝d①
(d为两小球间的水平距离)
设当A、B两小球速度都变为原来的2倍时，经过时间t′相遇，则2vAt′＋2vBt′＝d②
联立①②解得t′＝，选项C正确。
5．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其vt图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案 BD
解析 vt图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中vt图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；vt图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
6. (2016·江苏高考)有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
A．① B．②
C．③ D．④
答案 A
解析 不计空气阻力，A、B两球运动过程中的加速度a＝g，以相同速率沿同一方向抛出，都做斜上抛运动，故两球运动轨迹相同，A正确。
7．(2019·河南省郑州市一模)甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度v1与乒乓球击打乙的球拍的速度v2之比为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的分速度大小vx保持不变，竖直方向的分速度不断变化，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲的球拍处：vx＝v1sin45°，在乙的球拍处：vx＝v2sin30°，所以：＝＝。故C正确，A、B、D错误。
8. (2019·山东高考模拟)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是( )
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若初速度为v0，则L
解析 根据h＝gt2可得运动的时间t＝，所有小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；根据Δv＝gt可得所有小面圈的速度的变化量都相同，B正确；因为小面圈的水平位移的范围为L
第2讲 平抛运动的规律及应用
主干梳理 对点激活
对应学生用书P076
知识点 抛体运动 Ⅱ
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿水平方向。
②只受重力作用。
2．斜抛运动
(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿斜向上方或斜向下方。
②只受重力作用。
知识点 抛体运动的基本规律 Ⅱ
1．平抛运动
(1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(2)基本规律(如图所示)
①速度关系
②位移关系
③轨迹方程：y＝x2。
2．斜抛运动
(1)研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。
(2)基本规律(以斜向上抛为例，如图所示)
①水平方向
v0x＝v0cosθ，x＝v0tcosθ。
②竖直方向
v0y＝v0sinθ，y＝v0tsinθ－gt2。
3．类平抛运动的分析
所谓类平抛运动，就是受力特点和运动特点类似于平抛运动，即受到一个恒定的外力且外力与初速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动。
(1)受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(2)运动特点：沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动。
一 堵点疏通
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
2．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。( )
3．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量相同。( )
4．平抛运动的时间由高度决定。( )
5．平抛运动是匀变速曲线运动，速度不断变大。( )
6．斜抛运动是匀变速曲线运动。( )
7．类平抛运动的合力可以是变力。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×
二 对点激活
1. (人教版必修2·P10·做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
答案 BC
解析 小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动。A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，也做自由落体运动，因此两球同时落地。实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论。本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故B、C正确，A、D错误。
2．(人教版必修2·P9·例题1改编)将一个物体以10 m/s的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)，下列说法正确的是( )
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/s
C．落地时速度方向与地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
答案 A
解析 由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝＝10 m/s，故B错误；落地时速度方向与地面夹角的正切值tanθ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝v0t＝20 m，位移为20 m，故D错误。
考点细研 悟法培优
对应学生用书P077
考点1 平抛运动的基本规律
1.关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量
相关分析
飞行时间(t)
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程(x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度的改变量(Δv)
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tanθ＝＝＝。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图乙所示。其推导过程为tanθ＝＝＝＝2tanα。
例1 (多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平初速度比b的小
D．b的水平初速度比c的大
(1)平抛的时间取决于什么？
提示：取决于下落高度。
(2)平抛的水平射程与初速度有关吗？
提示：有，时间相同的情况下，初速度越大水平射程越大。
尝试解答 选BD。
根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝，因此平抛运动的时间只由下落高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此A错误，B正确；又因为xa>xb，而ta
1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用
根据运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：
(1)水平方向的匀速直线运动；
(2)竖直方向的自由落体运动。
2．对多体平抛问题的四点提醒
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
[变式1－1] “套圈”是游戏者站在界线外将圆圈水平抛出，套中前方水平地面上的物体。某同学在一次“套圈”游戏中，从P点以某一速度水平抛出的圆圈越过了物体正上方落在地面上(如图所示)。为套中物体，下列做法可行的是(忽略空气阻力)( )
A．从P点正前方，以原速度水平抛出
B．从P点正下方，以原速度水平抛出
C．从P点正上方，以原速度水平抛出
D．从P点正上方，以更大速度水平抛出
答案 B
解析 由于抛出的圆圈做平抛运动，由平抛运动的规律可知，圆圈在竖直方向做自由落体运动，则h＝gt2，水平方向做匀速直线运动，则x＝vt，解得x＝v ，由题意圆圈越过了物体正上方落在地面上，欲使圆圈套中物体，应减小水平方向的位移。若从P点的正前方以原速度水平抛出，则圆圈仍越过物体正上方落在地面上，A错误；降低圆圈抛出点的高度以原速度水平抛出，圆圈的运动时间减少，则圆圈可能套中物体，B正确；如果增加抛出点的高度，欲使圆圈套中物体，则应减小水平抛出时的速度，C、D错误。
[变式1－2] (多选)如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2.5h，B点离地面高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在P点相遇，P点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则( )
A．两个小球一定同时抛出
B．两个小球抛出的时间间隔为(－)
C．两个小球抛出的初速度之比＝
D．两个小球抛出的初速度之比＝
答案 BD
解析 平抛运动竖直方向为自由落地运动，由y＝gt2知，t＝ ，A到P点高度较大，故A点先抛出，A错误；两小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝ － ＝(－) ，B正确；由x＝v0t得v0＝x ，x相等，＝ ＝ ，C错误，D正确。
考点2 斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比。
(4)位移与初速度的二次方成正比。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
2．常见的模型
模型
方法
分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系
分解速度，构建速度的矢量三角形
分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
基本
规律
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝
方向：tanθ＝
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝
方向：tanθ＝
水平：x＝v0t
竖直：y＝gt2
合位移：
s＝
方向：tanθ＝
运动
时间
由tanθ＝＝得t＝
由tanθ＝＝得t＝
由tanθ＝
＝得
t＝
例2 (多选)如图所示，D点为固定斜面AC的中点。在A点和D点分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果两球均落在斜面的底端C。空气阻力不计。设两球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则下列关系式正确的是( )
A.＝2 B.＝
C.＝ D.＝
(1)平抛的时间由哪个物理量决定？
提示：下落高度。
(2)速度偏转角的正切如何求解？
提示：tanθ＝。
尝试解答 选BC。
由题意知两小球做平抛运动的竖直位移之比为2∶1，由平抛运动规律h＝gt2可知，＝，A项错误；又水平位移之比也为2∶1，由平抛运动规律x＝v0t，知两球初速度之比为＝，B项正确；两小球竖直方向的速度可由vy＝gt计算，则＝＝，又＝，由v＝，可得＝，C项正确；由tanθ＝，结合C项的分析，可知v1、v2与水平方向的夹角θ1、θ2的正切值相等，D项错误。
有约束条件的平抛运动
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
[变式2] 如图所示，固定在水平地面上的倾角θ＝30°的斜面长为L，小球从斜面顶端A处以初速度v0水平抛出，刚好落在距斜面顶端处。若将小球从同一点以2v0水平抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起。小球两次在空中运动过程中的( )
A．时间之比为1∶2
B．速度的变化量之比为1∶
C．水平位移之比为1∶
D．竖直位移之比为1∶4
答案 B
解析 小球从斜面顶端平抛，若落在斜面上，则x＝v0t，y＝gt2，tanθ＝，得到t＝，当速度变成2v0时，若仍能落到斜面上，则t变成原来的2倍，y变成原来的4倍，因斜面长L，第一次以v0平抛时落点距斜面顶端，所以以2v0平抛时将落在地面上，竖直位移之比为1∶3，则时间之比为1∶，由Δv＝gt得速度变化量之比为1∶，由x＝v0t得水平位移之比为1∶2，故B正确，A、C、D错误。
考点3 类平抛运动的分析
1.类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；类平抛运动的初速度不一定水平，但合外力与初速度方向垂直且为恒力，a＝。
2．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
例3 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2
B．P→Q所用的时间t＝
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
(1)物块类平抛的加速度是多少？
提示：a＝gsinθ。
(2)物块沿初速度方向和沿加速度方向的位移分别是多少？
提示：b，l。
尝试解答 选C。
物块的加速度为：a＝gsinθ。根据l＝at2，得：t＝，故A、B错误；初速度v0＝＝b，故C正确，D错误。
求解类平抛运动问题的关键
(1)对研究对象受力分析，找到合外力的大小、方向，正确求出加速度。例题中，物体受重力、支持力作用，合外力沿斜面向下。
(2)确定是研究速度，还是研究位移。
(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。
[变式3] A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图所示，下列比较P1、P2在x轴上远近关系的判断正确的是( )
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2等远 D．A、B两项都有可能
答案 B
解析 A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsinθ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动，在沿斜面向下方向上＝gsinθ·t。A的水平位移x1＝v0t1，B的水平位移x2＝v0t2，由于t2>t1，所以x2>x1，P2较远。故选B。
满分指导1 平抛运动中的临界问题
对应学生用书P079
【案例剖析】
(16分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶①水平飞出②落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度③v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的④最小速度。
[审题 抓住信息，准确推断]
关键信息
信息挖掘
题干
①水平飞出
说明小球做平抛运动
②落在围墙外的空地上
说明小球既要飞出墙外，又要落在空地上
问题
③v0的大小范围
可由平抛运动规律知，当小球恰好越过墙的边缘时确定v0的最小速度，恰好落到空地的右侧边缘时确定v0的最大速度
④最小速度
小球下落高度一定，落地时竖直分速度一定，当水平速度最小时，小球落地速度最小
[破题 形成思路，快速突破]
(1)设小球恰好落到空地边缘时的水平初速度为v1，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＋x＝v1t1；
②竖直方向：H＝gt。
(2)设小球恰好越过墙的边缘时的水平初速度为v2，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＝v2t2；
②竖直方向：H－h＝gt。
(3)请写出v0的取值范围。
提示：v0的取值范围为v2≤v0≤v1。
(4)在v0的取值范围内落地速度最小时，对应的初速度是多少？
提示：v0对应最小值v2时，小球落地速度最小。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，则小球的水平位移：
L＋x＝v1t1(2分)
小球的竖直位移：
H＝gt(2分)
解以上两式得：
v1＝(L＋x) ＝13 m/s(1分)
设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，则此过程中小球的水平位移：
L＝v2t2(2分)
小球的竖直位移：
H－h＝gt(2分)
解以上两式得：
v2＝L＝5 m/s(1分)
小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s(1分)
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向：
v＝2gH(2分)
又有：vmin＝(2分)
解得：vmin＝5 m/s。(1分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
(1)常见的思维障碍：不理解小球落在墙外的空地上的含义，不能挖掘出当小球恰好越过墙的边缘时v0有最小速度，恰好落到空地边缘时v0有最大速度这两个临界状态，导致无法求出结果。
(2)因解答不规范导致的失分：
①解题时不用题中所给字母列方程，导致失分；
②解出两个临界速度后，没有补充说明v0的取值范围，导致失分。
高考模拟 随堂集训
对应学生用书P080
1．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
2．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，且弹出小球的水平初速度相同，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
3．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。由v2＝2gh知，选项B错误。在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。
4．(2017·江苏高考) 如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B.t
C. D.
答案 C
解析 设A、B两小球分别以速度vA、vB水平抛出时，经过时间t相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有
vAt＋vBt＝d①
(d为两小球间的水平距离)
设当A、B两小球速度都变为原来的2倍时，经过时间t′相遇，则2vAt′＋2vBt′＝d②
联立①②解得t′＝，选项C正确。
5．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其vt图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案 BD
解析 vt图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中vt图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；vt图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
6. (2016·江苏高考)有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
A．① B．②
C．③ D．④
答案 A
解析 不计空气阻力，A、B两球运动过程中的加速度a＝g，以相同速率沿同一方向抛出，都做斜上抛运动，故两球运动轨迹相同，A正确。
7．(2019·河南省郑州市一模)甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度v1与乒乓球击打乙的球拍的速度v2之比为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的分速度大小vx保持不变，竖直方向的分速度不断变化，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲的球拍处：vx＝v1sin45°，在乙的球拍处：vx＝v2sin30°，所以：＝＝。故C正确，A、B、D错误。
8. (2019·山东高考模拟)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是( )
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若初速度为v0，则L
解析 根据h＝gt2可得运动的时间t＝，所有小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；根据Δv＝gt可得所有小面圈的速度的变化量都相同，B正确；因为小面圈的水平位移的范围为L
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