2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第18讲　平抛运动的规律及应用


第18讲　平抛运动的规律及应用

基础命题点　平抛运动的基本规律


1．抛体运动
定义：以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受重力作用，这时的运动叫做抛体运动。
2．平抛运动
(1)定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
(3)平抛运动的条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
(4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
3．平抛运动的规律：如图所示，以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：

(1)水平方向做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t。
(2)竖直方向做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2。
(3)合运动
①合速度v＝，方向与水平方向夹角为α，则tanα＝＝。
②合位移x合＝，方向与水平方向夹角为θ，则tanθ＝＝。
4．平抛运动的规律应用
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度v＝＝ ，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tanα＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。

5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ。
6．斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)
(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动。

(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)

A．小球水平抛出时的初速度大小为
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
解析　画出平抛运动分解图，如图所示，由tanθ＝可得，小球平抛的初速度大小为v0＝，A正确；由tanα＝＝＝＝tanθ可知，α≠，B错误；小球做平抛运动的时间t＝，与小球初速度无关，C错误；由tanθ＝可知，v0越大，θ越小，D正确。

答案　AD

分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。

1．(教科版必修2 P18·T2)一投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前(　　)
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的
答案　C
解析　4包物资落地前水平速度与飞机相同，竖直方向做自由落体运动，所以总在飞机的正下方排成竖直的直线，水平速度相同，下落高度相同，落点是等间距的，C正确，A、B、D错误。
2．(2019·湖北高考模拟)如图所示，上、下两个完全相同的圆弧轨道分别固定在竖直板上的不同高度处，轨道的末端水平。在两轨道相对于各自轨道末端高度相同的位置上各安装一个电磁铁，两个电磁铁由同一个开关控制，通电后，两电磁铁分别吸住相同小铁球A、B，断开开关，两个小球同时开始运动。离开圆弧轨道后，A球做平抛运动，B球进入一个光滑的水平轨道。若某次两个小球相碰的位置恰在水平轨道上的P点处。已知固定在竖直板上的方格纸的正方形小格边长均为9 cm，则可计算出A球刚到达P点的速度大小为(g取10 m/s2)(　　)

A．4.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
答案　A
解析　A球做平抛运动，则竖直方向：h＝9L＝gt2，vy＝gt，水平方向：9L＝v0t，A到达P点的速度为：v＝，将L＝9 cm＝0.09 m代入，解得：v＝4.5 m/s，故A正确。
3．(2019·河南六市高三联合一模)如图甲所示的“襄阳砲”是古代军队攻打城池的装置，其实质就是一种大型抛石机，图乙是其工作原理的简化图。将质量m＝10 kg的石块，装在与转轴O相距L＝5 m的长臂末端口袋中，最初静止时长臂与水平面的夹角α＝30°，发射时对短臂施力使长臂转到竖直位置时立即停止运动，石块靠惯性被水平抛出，落在水平地面上。若石块落地位置与抛出位置间的水平距离s＝20 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。以下判断正确的是(　　)

A．石块抛出后运动时间为 s
B．石块被抛出瞬间的速度大小为 m/s
C．石块即将落地时重力的瞬时功率为500 W
D．石块落地的瞬时速度大小为15 m/s
答案　C
解析　石块被抛出后做平抛运动，h＝L＋Lsinα，竖直方向：h＝gt2，可得：t＝ s，故A错误；石块被抛出后做平抛运动，水平方向：s＝v0t，可得：v0＝ m/s，故B错误；石块即将落地时重力的瞬时功率为：P＝mgvy＝mg·gt＝500 W，故C正确；石块落地的瞬时速度大小为：v＝＝ m/s，故D错误。

能力命题点一　有约束条件的平抛运动
　

1．概述
做平抛运动的物体常见的是落在水平面上的某一点(如投弹)，当落在竖直面上(射箭)、斜面上(滑雪、投弹)或一定形状的曲面上时，平抛运动会受到这些几何形状的约束，如下图所示。



解决这类问题不仅要掌握平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际的约束条件分析其中的物理情景。
2．典型模型：斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。常见的模型如下：
斜面
解题方法
内容

分解速度，构建速度三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
合速度：v＝
tanθ＝

分解位移，构建位移三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：s＝
tanθ＝

如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　)

A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．P、Q间距是原来间距的3倍
解析　由图可知，tan(α＋θ)＝＝，而tanθ＝＝＝，可得tan(α＋θ)＝2tanθ，则知α大小与初速度大小无关，α不变，A错误，B正确；斜面倾角的正切值tanθ＝，得t＝，若初速度变为原来的3倍，其运动时间变为原来的3倍，C错误；P、Q间距s＝＝，若初速度变为原来的3倍，则时间t变为原来的3倍，则P、Q间距变为原来的9倍，D错误。

答案　B

有约束条件的平抛运动问题求解的关键
(1)运动的分解
①以分解速度为突破口
对于一个做平抛运动的物体来说，若已知某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanα＝＝(α为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
②以分解位移为突破口
对于一个做平抛运动的物体来讲，若已知某时刻的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tanθ＝(θ为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)灵活运用平抛运动的两个推论，特别是tanα＝2tanθ，可简化求解过程。

1．如图所示，以9.8 m/s的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g＝9.8 m/s2)(　　)

A． s B． s
C． s D．2 s
答案　A
解析　物体做平抛运动，垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，其速度与斜面垂直，把物体的速度分解，如图所示。由图可知，此时物体在竖直方向上的分速度大小为vy＝，由vy＝gt可得运动的时间t＝＝＝ s，故A正确。

2．(2019·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0,6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)(　　)

A．(3 m,3 m) B．(2 m,4 m)
C．(1 m,1 m) D．(1 m,2 m)
答案　C
解析　设小球经过时间t打在曲面上M(x，y)点，则水平方向：x＝v0t，竖直方向上：6 m－y＝gt2，又因为y＝x2，联立解得：x＝1 m，y＝1 m，故C正确。

能力命题点二　平抛运动中的临界问题


1．平抛运动受到某种条件的约束时(如乒乓球台的大小和球网对乒乓球运动的约束)，经常会出现临界问题，其约束条件一般有水平位移和竖直高度两种，如乒乓球、排球的过网、越界问题。求解这类问题的关键是确定临界轨迹。
2．临界问题的判别
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“至多”“至少”“最大”“最小”等字眼，往往也存在临界问题。

如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高，如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起并垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　)

A．H＝h B．H＝h
C．H＝h D．H＝h
解析　将排球水平击出后，排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故C正确。
答案　C

解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。

1．(多选)在一场足球比赛中，小明将界外球掷给小华，他将足球水平掷出时的照片如图所示，掷出后的足球可视为做平抛运动。掷出点的实际高度为1.8 m，小华的高度为1.6 m，根据照片进行估算，下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2)(　　)

A．为使球恰好落在小华头顶，则小明掷足球的初速度应约为30 m/s
B．若小明减小掷出点的实际高度，则球落点一定在小华前面
C．若小明增大掷出足球的初速度，则球落点一定在小华后面
D．为使球恰好落在小华脚下，则小明掷足球的初速度应约为10 m/s
答案　AD
解析　由平抛运动的公式h＝gt2得足球在空中的运动时间为t＝，为使球恰好落在小华头顶，则t1＝
s＝0.2 s，由图可估算出足球与小华的水平距离x约为抛出点高度的3.3倍，约6.0 m，若足球恰好落在小华头顶，则足球的初速度约为v1＝＝30 m/s，故A正确；水平位移x＝v0t＝v0，由高度和初速度共同决定，故B、C错误；若足球恰好落在小华脚下，则足球在空中的运动时间为t2＝ s＝0.6 s，所以足球的初速度约为v2＝＝10 m/s，故D正确。
2．(2019·山东德州二模)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是(　　)

A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若初速度为v0，则L＜v0＜3L
答案　C
解析　根据h＝gt2可得，小面圈在空中运动的时间t＝ ，则所有小面圈在空中运动的时间都相同，故A正确；根据Δv＝gΔt可得所有小面圈的速度的变化量都相同，故B正确；因为水平位移的范围为L＜x＜L＋2L＝3L，则最小水平初速度为vmin＝＝L，最大水平初速度为：vmax＝＝3L，则水平初速度的范围为：L＜v0＜3L，故D正确；落入锅中时，最大速度为：vmax′＝＝ ，最小速度为vmin′＝＝，故C错误。题目要求选说法错误的，故选C。
3．如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0．2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是(　　)

A．v>7 m/s B．v>2.3 m/s
C．3 m/s