还剩10页未读，
继续阅读
2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第七章第一节 不等式的性质及一元二次不等式
展开
第七章 不等式
第一节 不等式的性质及一元二次不等式
[考纲要求]
1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用．
4．会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型．
5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
突破点一 不等式的性质
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.②a<0b>0,0.④0
若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 若<<0，则<. ( )
(2)若>，则a>b.( )
(3)若a>b，c>d，则ac>bd.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
二、填空题
1．若a
2．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)
1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M>N B．M≥N
C．M
2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a>b⇒ac>bc；②a>b⇒<；③a>b>0，c>d>0⇒>；④a>b>1，c<0⇒ac
C．3个 D．4个
解析：选B 当c＝0时，①不正确．
当a>0>b时，②不正确．
由于c>d>0，所以>>0，
又a>b>0，所以>>0，③正确．
由于a>b>1，当x<0时，ax
解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
4．已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________．
解析：设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比较两边系数得得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤.
答案：
1．比较两个数(式)大小的两种方法
2．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
突破点二 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集．( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立，则其判别式Δ≤0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
二、填空题
1．不等式≥－1的解集是________________．
解析：原不等式可化为≥0，
即x(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤0.
答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集是________________．
答案：(－∞，a)∪
3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
答案：－14
4．若不等式ax2－ax＋1<0的解集为∅，则实数a的取值范围为________．
答案：[0,4]
考法一 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法和步骤
[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是( )
A．{x|－13或x<－1}
C．{x|－31或x<－3}
(2)(2019·深圳月考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．(－2,1) D．(－1,2)
[解析] (1)原不等式变形为x2－2x－3<0，
即(x－3)(x＋1)<0，解得－1
∴函数f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
∴f(2－a2)>f(a)等价于2－a2>a，即a2＋a－2<0，
解得－2
[答案] (1)A (2)C
[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
[解] ∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，解集为xx<－，或x>；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为xx<，或x>－.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为xx<－，或x>；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围
考向一 在实数集R上恒成立
[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2] D．(－2,2)
[解析] 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0时，则有解得－2
考向二 在某区间上恒成立
[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有( )
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m<0 D．m≥－4
[解析] 令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时f(x)取得最小值，为－3，∴m≤－3，故选A.
[答案] A
解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．
1.如果关于x的不等式x2
C．－64 D．64
解析：选B 不等式x2
A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[－1,3] D．[－3,1]
解析：选D 关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1，故选D.
3.若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，
所以只需
即解得－
[课时跟踪检测]
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．下列结论正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a2>b2，则a>b
C．若a>b，c<0，则a＋c
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.
3．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3,1) D．(1，＋∞)
解析：选A 依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.
4．(2019·江淮十校联考)|x|·(1－2x)>0的解集为( )
A．(－∞，0)∪ B．
C. D．
解析：选A 原不等式等价于解不等式组可得实数x的取值范围是(－∞，0)∪.
5．(2019·遂宁诊断)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋>b＋ B．>
C．a－>b－ D．>
解析：选A 不妨取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)不一定成立，因此a－>b－⇔a＋>b＋，故选A.
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2019·郑州模拟)已知p：>，q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由>得00，必有或则0≤a<4，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D．∪
解析：选A ∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为－，－，∴－＝－－，＝，∴a＝－6，b＝5，又x2－bx－a<0，∴x2－5x＋6<0，∴(x－2)(x－3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．
3．(2019·深圳中学模拟)已知a>b>0，c<0，下列不等关系中正确的是( )
A．ac>bc B．ac>bc
C．loga(a－c)>logb(b－c) D．>
解析：选D 因为c<0，a>b，所以ac0，所以>成立，故D正确．选D.
4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
解析：选C 由题意得解得a＝－1，c＝－2.则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，由二次函数的图象可知选C.
6．(2019·绵阳诊断)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动．一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券A：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%；
优惠券B：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；
优惠券C：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.
若顾客想使用优惠券C，并希望比使用优惠券A或B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( )
A．300元 B．400元
C．500元 D．600元
解析：选B 设购买的商品的标价为x元，则(x－200)×20%>x·10%，且(x－200)×20%>30，解得x>400，选B.
7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－2,1)
C．(－2,0) D．(－，)
解析：选A 记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得0
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0,2)
解析：选A 因为定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3，化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析：选B ∵a>b>1，∴0<<，又c<0，∴>，∴①正确；∵a>b>1，c<0，∴不妨取a＝3，b＝2，c＝－4，此时ln(a＋c)>ln(b＋c)不成立，∴②错误；易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a－c>b－c>0，c<0，∴(a－c)c<(b－c)c，∴③正确；令y＝(x≠0)，则y′＝，令y′＝0，得x＝1，令y′>0，得x>1，故函数y＝在(1，＋∞)上单调递增，∵a>b>1，∴>，即bea>aeb，∴④正确，故选B.
10．(2019·启东中学调研)已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为________．
解析：由已知及三角形的三边关系得
∴∴
两式相加得，0<2×<4，∴的取值范围为(0,2)．
答案：(0,2)
11．(2019·青岛模拟)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，由条件可得a>1，b>0，则a＋b>1，又a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，所以a－b<1，故①正确．对于②，令a＝2，b＝，则－＝1，但a－b＝>1，故②错．对于③，令a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3>1，故③错．对于④，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由条件可得，a，b中至少有一个大于等于1，则a2＋ab＋b2>1，则|a－b|<1，故④正确．综上，真命题有①④.
答案：①④
12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以令f(x)＝0，有Δ<0或解得1
13．(2019·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是________．
解析：容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为k(x－4)<0，等价于(x－4)<0，依题意应有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.
答案：[1,4]
14．(2019·南昌模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋3)＝2f(x)，当x∈[－1,2)时，f(x)＝若存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，则实数t的取值范围是__________________________________________________________________．
解析：由题意知f(x)＝f(x＋3)．当x∈[－1,0)时，f(x)＝x2＋x＝2－∈；当x∈[0,2)时，f(x)＝－|x－1|∈.所以当x∈[－1,2)时，f(x)min＝－1.故当x∈[－4，－1)时，x＋3∈[－1,2)，所以f(x＋3)min＝－1，此时f(x)min＝×(－1)＝－.由存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，可得t2－3t≥4×，解得t≤1或t≥2.
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
15．(2019·南昌摸底)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.
解：(1)由题意知a<0，且－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根，则∴
(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(ax－a＋2)(x＋1)，
∵a>0，∴f(x)>0可化为(x＋1)>0，
①当≥－1，即a≥1时，
不等式的解集为；
②当<－1，即0
16．(2018·正定中学二模)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
解：(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1(x∈[－1,1])，
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，得a>－，所以a∈∅；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－
综上，a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)<0，
因为1－＝，
所以当－
当a＝－时，(x－1)2<0，解集为∅；
当a<－时，1>－，解集为.
第一节 不等式的性质及一元二次不等式
[考纲要求]
1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用．
4．会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型．
5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
突破点一 不等式的性质
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.②a<0
若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 若<<0，则<. ( )
(2)若>，则a>b.( )
(3)若a>b，c>d，则ac>bd.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
二、填空题
1．若a
2．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)
1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M>N B．M≥N
C．M
2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a>b⇒ac>bc；②a>b⇒<；③a>b>0，c>d>0⇒>；④a>b>1，c<0⇒ac
C．3个 D．4个
解析：选B 当c＝0时，①不正确．
当a>0>b时，②不正确．
由于c>d>0，所以>>0，
又a>b>0，所以>>0，③正确．
由于a>b>1，当x<0时，ax
解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
4．已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________．
解析：设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比较两边系数得得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤.
答案：
1．比较两个数(式)大小的两种方法
2．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
突破点二 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集．( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立，则其判别式Δ≤0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
二、填空题
1．不等式≥－1的解集是________________．
解析：原不等式可化为≥0，
即x(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤0.
答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集是________________．
答案：(－∞，a)∪
3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
答案：－14
4．若不等式ax2－ax＋1<0的解集为∅，则实数a的取值范围为________．
答案：[0,4]
考法一 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法和步骤
[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是( )
A．{x|－1
C．{x|－3
(2)(2019·深圳月考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．(－2,1) D．(－1,2)
[解析] (1)原不等式变形为x2－2x－3<0，
即(x－3)(x＋1)<0，解得－1
∴函数f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
∴f(2－a2)>f(a)等价于2－a2>a，即a2＋a－2<0，
解得－2
[答案] (1)A (2)C
[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
[解] ∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，解集为xx<－，或x>；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为xx<，或x>－.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为xx<－，或x>；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围
考向一 在实数集R上恒成立
[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2] D．(－2,2)
[解析] 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0时，则有解得－2
考向二 在某区间上恒成立
[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有( )
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m<0 D．m≥－4
[解析] 令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时f(x)取得最小值，为－3，∴m≤－3，故选A.
[答案] A
解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．
1.如果关于x的不等式x2
C．－64 D．64
解析：选B 不等式x2
A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[－1,3] D．[－3,1]
解析：选D 关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1，故选D.
3.若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，
所以只需
即解得－
[课时跟踪检测]
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．下列结论正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a2>b2，则a>b
C．若a>b，c<0，则a＋c
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.
3．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3,1) D．(1，＋∞)
解析：选A 依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.
4．(2019·江淮十校联考)|x|·(1－2x)>0的解集为( )
A．(－∞，0)∪ B．
C. D．
解析：选A 原不等式等价于解不等式组可得实数x的取值范围是(－∞，0)∪.
5．(2019·遂宁诊断)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋>b＋ B．>
C．a－>b－ D．>
解析：选A 不妨取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)不一定成立，因此a－>b－⇔a＋>b＋，故选A.
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2019·郑州模拟)已知p：>，q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由>得0
2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D．∪
解析：选A ∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为－，－，∴－＝－－，＝，∴a＝－6，b＝5，又x2－bx－a<0，∴x2－5x＋6<0，∴(x－2)(x－3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．
3．(2019·深圳中学模拟)已知a>b>0，c<0，下列不等关系中正确的是( )
A．ac>bc B．ac>bc
C．loga(a－c)>logb(b－c) D．>
解析：选D 因为c<0，a>b，所以ac
4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
解析：选C 由题意得解得a＝－1，c＝－2.则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，由二次函数的图象可知选C.
6．(2019·绵阳诊断)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动．一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券A：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%；
优惠券B：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；
优惠券C：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.
若顾客想使用优惠券C，并希望比使用优惠券A或B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( )
A．300元 B．400元
C．500元 D．600元
解析：选B 设购买的商品的标价为x元，则(x－200)×20%>x·10%，且(x－200)×20%>30，解得x>400，选B.
7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－2,1)
C．(－2,0) D．(－，)
解析：选A 记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得0
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0,2)
解析：选A 因为定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3，化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析：选B ∵a>b>1，∴0<<，又c<0，∴>，∴①正确；∵a>b>1，c<0，∴不妨取a＝3，b＝2，c＝－4，此时ln(a＋c)>ln(b＋c)不成立，∴②错误；易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a－c>b－c>0，c<0，∴(a－c)c<(b－c)c，∴③正确；令y＝(x≠0)，则y′＝，令y′＝0，得x＝1，令y′>0，得x>1，故函数y＝在(1，＋∞)上单调递增，∵a>b>1，∴>，即bea>aeb，∴④正确，故选B.
10．(2019·启东中学调研)已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为________．
解析：由已知及三角形的三边关系得
∴∴
两式相加得，0<2×<4，∴的取值范围为(0,2)．
答案：(0,2)
11．(2019·青岛模拟)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，由条件可得a>1，b>0，则a＋b>1，又a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，所以a－b<1，故①正确．对于②，令a＝2，b＝，则－＝1，但a－b＝>1，故②错．对于③，令a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3>1，故③错．对于④，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由条件可得，a，b中至少有一个大于等于1，则a2＋ab＋b2>1，则|a－b|<1，故④正确．综上，真命题有①④.
答案：①④
12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以令f(x)＝0，有Δ<0或解得1
13．(2019·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是________．
解析：容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为k(x－4)<0，等价于(x－4)<0，依题意应有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.
答案：[1,4]
14．(2019·南昌模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋3)＝2f(x)，当x∈[－1,2)时，f(x)＝若存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，则实数t的取值范围是__________________________________________________________________．
解析：由题意知f(x)＝f(x＋3)．当x∈[－1,0)时，f(x)＝x2＋x＝2－∈；当x∈[0,2)时，f(x)＝－|x－1|∈.所以当x∈[－1,2)时，f(x)min＝－1.故当x∈[－4，－1)时，x＋3∈[－1,2)，所以f(x＋3)min＝－1，此时f(x)min＝×(－1)＝－.由存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，可得t2－3t≥4×，解得t≤1或t≥2.
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
15．(2019·南昌摸底)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.
解：(1)由题意知a<0，且－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根，则∴
(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(ax－a＋2)(x＋1)，
∵a>0，∴f(x)>0可化为(x＋1)>0，
①当≥－1，即a≥1时，
不等式的解集为；
②当<－1，即0
16．(2018·正定中学二模)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
解：(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1(x∈[－1,1])，
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，得a>－，所以a∈∅；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－
综上，a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)<0，
因为1－＝，
所以当－
当a＝－时，(x－1)2<0，解集为∅；
当a<－时，1>－，解集为.
相关资料
更多
