2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章第三节圆的方程


第三节圆的方程

1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)❶
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)❷
圆心：，
半径：

如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.
当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[熟记常用结论]
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、选填题
1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D　由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2,3) B.(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．
3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B.(0,1)
C. D.
解析：选D　由(2a)2＋(a－2)2＜5，得－＜a＜1.
4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.
答案：
5．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是________．
解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：x2＋(y－2)2＝1


[典例精析]
[例1]　已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A.2＋y2＝　　 B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
[解析]　法一：(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.
法二：(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|＝ ＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
[答案]　C
[例2]　圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________________________．
[解析]　法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
[答案]　(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
[解题技法]
1．求圆的方程的两种方法
几何法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定系数法
①根据题意，选择标准方程与一般方程；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程

[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[过关训练]
1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
分别代入A，B，C三点坐标，
得解得
所以A，B，C三点确定的圆的方程为
x2＋y2－4x－y－5＝0.
因为D(a,3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.
所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.
答案：7
2．已知圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线x＋y－2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
则解得
所以r＝ ＝.
故所求圆的方程为2＋2＝.
答案：2＋2＝

[考法全析]
考法(一)　斜率型最值问题
[例1]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
考法(二)　截距型最值问题
[例2]　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x＋y的最大值与最小值．
[解]　(转化为截距的最值问题求解)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．
由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
考法(三)　距离型最值问题
[例3]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
考法(四)　利用对称性求最值
[例4]　已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
[解析]　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝的圆．
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
故解得故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
[答案]　2
[规律探求]

看个性
考法(一)是形如μ＝型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题＝表示过坐标原点的直线的斜率．
考法(二)是求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是：
(1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；
(2)把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值.
考法(三)是求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.
考法(四)是形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
找共性
求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：


[过关训练]
1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A．2,2－　　　　　　　 B．2＋，2－
C.，4－ D.＋1，－1
解析：选B　由题意知|AB|＝＝，
lAB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，
∴圆心到直线lAB的距离d＝＝.
∴S△PAB的最大值为××＝2＋，
S△PAB的最小值为××＝2－.
2．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.
答案：

[典例精析]
已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解]　(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[解题技法]
求与圆有关轨迹问题的3种方法
(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．
(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．
(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．
[过关训练]
1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0　　　　　 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，整理得
又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.

一、题点全面练
1．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5　 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
解析：选C　由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.
2．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.
3．(2019·成都模拟)若抛物线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析：选D　抛物线y＝x2－2x－3关于直线x＝1对称，与坐标轴的交点为A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－3)，设圆心为M(1，b)，半径为r，则|MA|2＝|MC|2＝r2，即4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2，解得b＝－1，r＝，∴由交点确定的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，故选D.
4．(2019·银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(　　)
A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋)2＝2
C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2
解析：选C　设线段AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝＝|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x－)2＋(y－1)2＝2，故选C.
5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
6．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝4，
∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4＞2.
所以点Q在圆C外，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
因为直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．一个椭圆 B.一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析：选D　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.
2．(2019·海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)
A．(－2，4) B.[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
解析：选B　x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，
则即
解得m∈[－2，4]．
3．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4] B.[－4,6]
C．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D．[6，＋∞)
解析：选D　|3x－4y－9|表示点P到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|表示点P到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，即点P到直线l1，l2的距离之和与点P的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以≥1，且a＞0，解得a≥6，故选D.
4．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为______________________．
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
答案：x2＋2＝
5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案：74
(二)交汇专练——融会巧迁移
6．[与不等式交汇]已知圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．2 B.
C．4 D.
解析：选D　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，
∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.
7．[与线性规划交汇]已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．
解析：如图，不等式表示的平面区域是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，
∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
8．[与函数交汇]如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，那么的取值范围为________．
解析：易知函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)过定点(－1，2)，∴a＋b＝7，①
又定点(－1,2)在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，∴a2＋b2≤25，②
由①②解得3≤a≤4，∴≤≤，
∴＝＝－1∈.
答案：
9．[与向量交汇]已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解：(1)设圆C的圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，
则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，
将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x0，y0)，则x＋y＝2，
·＝(x0－1，y0－1)·(x0＋2，y0＋2)
＝x＋y＋x0＋y0－4＝x0＋y0－2.
令x0＝cos θ，y0＝sin θ，
所以·＝x0＋y0－2
＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
又min＝－1，
所以·的最小值为－4.
(三)难点专练——适情自主选
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，
半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为2＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.