2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章第二节两条直线的位置关系2

第二节两条直线的位置关系


1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.
　
(3)平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离：d＝ .
　

[熟记常用结论]
1．过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0.
2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
4．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、选填题
1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　解方程组得
所以两直线的交点为.
2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．－3 B.－
C．2 D．3
解析：选D　直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，因为两直线垂直，所以－×＝－1，解得a＝3.
3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)
A．1 B.
C. D．2
解析：选B　由题意可知l1与l2平行，故l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.
4．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
解析：由题意得，＝1，
∴|a＋1|＝，∵a＞0，∴a＝－1.
答案：－1
5．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．
解析：由题意可得两点间的距离d＝＝ ≥，即最小值为.
答案：


[典例精析]
(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)
A．1或3　　　　　　　　　 B．1或5
C．3或5 D．1或2
(2)已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________．
[解析]　(1)由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．当k－3≠0时，由＝≠，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
(2)因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0＜＜，故的取值范围为.
[答案]　(1)C　(2)
[解题技法]
1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2平行的充要条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2相交的充要条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充要条件
＝＝(A2B2C2≠0)
　　[提醒]　在判断两直线的位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择题、填空题时，建议多用比例式来解答．

[过关训练]
1．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.
2．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为(　　)
A．7 B.9
C．11 D．－7
解析：选A　由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，即m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，即t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，即n＝7.

[典例精析]
(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
(2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
[解析]　(1)由方程组解得
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
(2)因为＝≠，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为.
[答案]　(1)　(2)
[解题技法]
距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
[过关训练]
1．(2019·太原模拟)若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．2
解析：选A　由解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n.∴点(m，n)与原点之间的距离d＝＝＝≥，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A.
2．(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是________．
解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.
答案：2或－6
3．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为______________________．
解析：设点P的坐标为(a，b)．
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．
而AB所在直线的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，
∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立解得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
答案：(1，－4)或

[考法全析]
考法(一)　点关于点的对称
[例1]　过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
[解析]　设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
[答案]　x＋4y－4＝0

点关于点对称的求解方法
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．　　　　
考法(二)　点关于线的对称
[例2]　(2019·银川月考)点P(2,5)关于x＋y＋1＝0对称的点的坐标为(　　)
A．(6,3) B．(3，－6)
C．(－6，－3) D．(－6,3)
[解析]　设点P(2,5)关于x＋y＋1＝0的对称点为Q(a，b)，则解得即P(2,5)关于x＋y＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C.
[答案]　C

点关于直线对称的解题方法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．　　　　
考法(三)　线关于点的对称
[例3]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
[解析]　在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为＝，即2x－3y－9＝0.
[答案]　2x－3y－9＝0

1．线关于点对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．线关于点对称的实质
“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．　　　　
[过关训练]
1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B.(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选C　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．
2．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以
解得即M′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
3．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
解析：由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，所以直线PB的方程为＝，即x＋y－7＝0.
答案：x＋y－7＝0

一、题点全面练
1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　　)
A．(0,4)　　　　　　　　 B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：选B　由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.
2．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2) B.(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：选C　设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．
3．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　)
A．0 B.1
C．6 D．0或6
解析：选C　由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1，
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，
所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6.
4．(2018·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B.x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：选A　因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A.
5．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D．2
解析：选B　由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程．解方程组可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝，即d的最大值为.
6．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
解析：若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.
答案：－1　1　2
7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得
故m＋n＝.
答案：
8．以点A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
解析：因为kAB＝＝－，kDC＝＝－.
kAD＝＝，kBC＝＝.
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，
故四边形ABCD为矩形．
故S四边形ABCD＝|AB|·|AD|＝×＝25.
答案：25
9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是
x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是
x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是
3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝＝，解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
10．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝.
此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
因为kOP＝－，
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2019·青岛模拟)直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为(　　)
A．3或－1 B.0或3
C．0或－1 D．－1或0或3
解析：选C　两直线无公共点，即两直线平行．当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；当a≠0时，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a＝0或a＝－1.
2．已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l共有(　　)
A．1条 B.2条
C．3条 D．4条
解析：选C　当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝＝，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为＋－＝，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.
3．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________________．
解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－，此时，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
4．若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为______________________．
解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
5．在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是________．
解析：易知直线l经过定点(1，－2)，则点P到直线l的最大距离为＝5，最小距离为0，所以d的取值范围是[0,5]．
答案：[0,5]
(二)交汇专练——融会巧迁移
6．[与导数交汇]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)
A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D．2
解析：选C　因为点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线y＝x2－ln x的导数y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲线y＝x2－ln x上与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线y＝x－2的最小距离为，故选C.
7.[与不等式交汇]如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．
解析：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面积S＝·
＝· ＝
≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号)．
答案：6
8．[与物理知识交汇]如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图所示，
∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)