2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第六节简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换 [典例]　(1)·等于(　　)A．－sin α　　　　　　　 　B．－cos αC．sin α   D．cos α(2)化简：－2cos(α＋β)．[解]　(1)选D　原式＝＝＝cos α.(2)原式＝＝＝＝＝＝. [解题技法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． [题组训练]1．化简：＝________.解析：原式＝＝2cos α.答案：2cos α2．化简：.解：原式＝＝＝＝1. 考法(一)　给角求值[典例]　的值是________．[解析]　原式＝＝＝＝2.[答案]　2 [解题技法]　三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值． 考法(二)　给值求值[典例]　已知sin＝，α∈.求：(1)cos α的值；(2)sin的值．[解]　(1)由sin＝，得sin αcos＋cos αsin＝，化简得sin α＋cos α＝，①又sin2α＋cos2α＝1，且α∈②由①②解得cos α＝－.(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，∴sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝－. [解题技法]　三角函数给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或已知条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．考法(三)　给值求角[典例]　若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.　　　　　　　　 　B.C.或   D.或[解析]　∵α∈，∴2α∈，∵sin 2α＝，∴2α∈.∴α∈且cos 2α＝－.又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又∵α＋β∈，∴α＋β＝.[答案]　A[解题技法]　三角函数给值求角问题的解题策略(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是，选正弦函数较好．(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围． [题组训练]1．求值：＝(　　)A．1　　　　　　　　　 　B．2C.   D.解析：选C　原式＝＝＝＝＝＝＝.2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)A．－   B．－C.   D.解析：选A　法一：因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，即2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.又因为α为第二象限角且sin α＋cos α＝>0，所以sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－  sin α)<0.所以cos 2α＝－＝－＝－.法二：由cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得cos α－sin α<0，因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝＝1＋2sin αcos α，得2sin αcos α＝－，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，则cos α－sin α＝－，所以cos 2α＝×＝－.3．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)A.   B.或C.   D．2kπ＋(k∈Z)解析：选C　由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.   [典例]　(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．[解]　(1)因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.要使f(x)在区间上的最大值为，即sin在区间上的最大值为1，所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为. [解题技法]三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；(2)构造f(x)＝；(3)和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；(4)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． [题组训练]1．已知ω>0，函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－的最小正周期为π，则下列结论正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)在区间上单调递增C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)＝cos 2x的图象D．当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－解析：选D　因为f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，所以T＝＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin.对于A，因为f＝0，所以不正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故不正确；对于C，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数y＝f＝sin＝sin 2x，所以不正确；对于D，当x∈时，2x＋∈，所以f(x)∈，故正确．故选D.2．已知函数f(x)＝4sin xcos－.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解：(1)f(x)＝4sin xcos－＝4sin x－＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(2)令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)． A级——保大分专练 1．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)A．1　　　　　　　　　 　B．－1C.   D．0解析：选B　∵sin＝cos，∴cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝cos α，∴tan α＝＝－1.2．化简：＝(　　)A．1   B.C.   D．2解析：选C　原式＝＝＝＝ .3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin＝(　　)A．－   B.C．－   D.解析：选C　因为α是第三象限的角，tan α＝2，所以所以cos α＝－，sin α＝－，则sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×－×＝－.4．(2019·咸宁模拟)已知tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则sin 2α＝(　　)A.   B.C．－   D．－解析：选C　由题意知tan α＝tan[(α＋β)－β]＝＝－，所以sin 2α＝＝＝－.5．已知cos＝－，则sin的值为(　　)A.   B．±C．－   D.解析：选B　∵cos＝－，∴cos＝－cos＝－cos＝－＝－，解得sin2＝，∴sin＝±.6．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan＝(　　)A．7   B.C．－7   D．－解析：选B　∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝，∴cos α＝－.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－，∴tan＝＝.7．化简：＝________.解析：＝＝＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·洛阳第一次统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________.解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.答案：9．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________.解析：由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.答案：10．函数y＝sin xcos的最小正周期是________．解析：y＝sin xcos＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－·＝sin－，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.答案：π11．化简：(1)；(2).解：(1)原式＝＝＝＝＝－4.(2)法一：原式＝＝＝＝＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α.法二：原式＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α.12．已知函数f(x)＝2sin xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，f(x)∈.故f(x)的值域为.B级——创高分自选1．(2018·大庆中学期末)已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π<α<，则cos α＋sin α＝(　　)A.   B.C．－   D．－解析：选C　∵tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，∴tan α＋＝k，tan α·＝k2－3.∵3π<α<，∴k>0，∴k＝2，∴tan α＝1，∴α＝3π＋，则cos α＝－，sin α＝－，∴cos α＋sin α＝－.2．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝________.解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，∵sin B＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，即1－2sin2A＝，∴sin A＝.答案：3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．