2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第九章第二节两条直线的位置关系

第二节两条直线的位置关系


1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

3．三种距离公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝

[小题体验]
1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为________．
解析：由kAB＝＝－2，得m＝－8.
答案：－8
2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
解析：由题意知＝1，所以|a＋1|＝，
又a＞0，所以a＝－1.
答案：－1
3．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为________．
解析：直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，
因为两直线垂直，所以－×＝－1，即a＝3.
答案：3

1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．

[小题纠偏]
1．已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．
解析：①若l1的斜率不存在，此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，显然l1⊥l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t＝－，易知l1与l2不垂直．
②当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝－，因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即·＝－1，所以t＝－1.
综上可知t＝－1或t＝1.
答案：－1或1
2．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：因为＝≠，所以m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.
答案：2

　(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(2019·沭阳月考)若直线y＝mx＋1与直线y＝4x－8垂直，则m＝________.
解析：由直线y＝mx＋1与直线y＝4x－8垂直，
得m×4＝－1，解得m＝－.
答案：－
2．(2018·苏州模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．
解析：依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.
答案：x－2y－1＝0
3．(2019·启东调研)已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(1,1)；
(2)l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0.①
又l1过点(1,1)，所以a＋b＝0.②
由①②，解得或
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
所以a＝2，b＝－2.
(2)因为l1∥l2，所以a－b(a－1)＝0，③
由题意，知a＞0，b＞0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，.
则××＝2，得ab＝4，④
由③④，得a＝2，b＝2.
[谨记通法]
1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
[提醒]　在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．
　
[典例引领]
已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使PA＝PB，且点P到直线l的距离为2.
解：设点P的坐标为(a，b)．
因为A(4，－3)，B(2，－1)，
所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．
而AB的斜率kAB＝＝－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
因为点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，
所以a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
所以＝2，
即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立可得或
所以所求点P的坐标为(1，－4)或.
[由题悟法]
距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
[即时应用]
1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A(1,5)，B(2,4)等距离的点的坐标是________．
解析：线段AB的垂直平分线方程为y－＝－·，令x＝0，可得y＝3；令y＝0，可得x＝－3，
∴在坐标轴上，与点A(1,5)，B(2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)．
答案：(0,3)或(－3,0)
2．(2018·南通中学测试)已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则PM的最小值为________．
解析：PM的最小值即为点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，
又d＝＝1，故PM的最小值为1.
答案：1
3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为______________________．
解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，
所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．
又因为l1与l2的距离是，
所以＝，解得b＝1或b＝－3，
即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
　
[锁定考向]
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．
常见的命题角度有：
(1)点关于点对称；
(2)点关于线对称；
(3)线关于线对称．　　　 　
[题点全练]
角度一：点关于点对称
1．(2019·丹阳高级中学检测)点A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为________．
解析：设A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为(x0，y0)，由中点坐标公式，得＝0，＝5，则x0＝－2，y0＝7.∴点A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．
答案：(－2,7)

角度二：点关于线对称
2．(2018·无锡模拟)已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，若∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，则BC边所在的直线方程为______________．
解析：设点A关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则
即解得即A′，
由题意知，点A′在直线BC上．
所以直线BC的方程为y＝x－1，
整理得12x－31y－31＝0.
答案：12x－31y－31＝0
角度三：线关于线对称
3．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________．
解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
[通法在握]
1．中心对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．


[演练冲关]
1．(2019·沭阳期中)已知点A(1，－2)关于直线x＋ay－2＝0的对称点为B(m,2)，则实数a的值为________．
解析：由对称的特点可知，AB的中点在对称轴上，直线AB垂直于对称轴，则＋a－2＝0，·＝－1，解得m＝3，a＝2.
答案：2
2．(2018·启东期末)已知直线l1：2x－y－2＝0和直线l2：x＋2y－1＝0关于直线l对称，则直线l的斜率为________．
解析：设P(a，b)是直线l上任意一点，
则点P到直线l1：2x－y－2＝0和直线l2：x＋2y－1＝0的距离相等，
即＝，整理得a－3b－1＝0或3a＋b－3＝0，
∴直线l的斜率为或－3.
答案：或－3
3．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0

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1．(2019·苏州调研)已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5，1)，则直线l的方程为________．

解析：∵已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，故直线l为线段AB的中垂线．求得AB的中点为(－2,2)，AB的斜率为＝，故直线l的斜率为－3，故直线l的方程为 y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.
答案：3x＋y＋4＝0
2．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是________．
解析：因为直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率k＝－2.所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
答案：2x＋y－2＝0
3．直线y＝3x＋3关于直线l：x－y－2＝0对称的直线方程为________．
解析：取直线y＝3x＋3上一点A(0,3)，
设A关于直线l：x－y－2＝0对称的点为A′(a，b)，
则有解得a＝5，b＝－2.∴A′(5，－2)．
联立解得x＝－，y＝－.
令M，
∵直线y＝3x＋3关于直线l对称的直线过A′，M两点，
∴所求直线方程为＝，即x－3y－11＝0.
答案：x－3y－11＝0
4．(2018·启东中学测试)已知直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为________．
解析：因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率为2.又直线l2过点(－1,1)，所以直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3.令x＝0，得y＝3，所以点P的坐标为(0,3)．
答案：(0,3)
5．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．
解析：解方程组可得
所以直线2x－y＝－10与y＝x＋1的交点坐标为(－9，－8)，
代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，
所以a＝.
答案：
6．(2019·苏州检测)已知直线l1：mx＋2y＋4＝0与直线l2：x＋(m＋1)y－2＝0平行，则l1与l2间的距离为________．
解析：∵直线l1：mx＋2y＋4＝0与直线l2：x＋(m＋1)y－2＝0平行，当m＝－1时，显然不合题意；当m≠－1时，有＝≠，解得m＝1，
∴l1与l2间的距离d＝＝.
答案：
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1．已知直线l1：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋2＝0，若直线l1∥l2，则m＝________.
解析：由题意知，当m＝2时，l1：3x＋2y＋2＝0，l2：x＋1＝0，不合题意；当m≠2时，若直线l1∥l2，则＝≠，解得m＝－2或m＝3(舍去)．
答案：－2
2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为________．
解析：因为l1∥l2，所以＝≠，解得a＝－1，
所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
所以l1与l2的距离d＝＝.
答案：
3．(2019·张家港模拟)过点P(1,2)作一直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)的距离相等，则直线l的方程为________________．
解析：易知直线l的斜率存在，∵直线l过点P(1,2)，
∴设l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.
又直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)的距离相等，
∴＝，
解得k＝－4或k＝－，
∴l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
答案：4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0
4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点________．
解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2)．
答案：(0,2)
5．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．
解析：设Q(x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上，
所以x0－y0＋1＝0.①
又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－，直线PQ的斜率kPQ＝，
所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，
得·＝－1.②
由①②解得x0＝2，y0＝3，即点Q的坐标是(2,3)．
答案：(2,3)
6．(2019·苏州一模)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为________．
解析：由坐标原点O到直线l的距离为，可得＝，化简得m2＋n2＝.
对直线l：mx＋ny－1＝0，令x＝0，可得y＝；令y＝0，可得x＝，
故△AOB的面积S＝·＝≥＝3，
当且仅当|m|＝|n|＝时，取等号．
故△AOB的面积S的最小值为3.
答案：3
7．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是________．
解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝10，所以PA·PB≤＝5(当且仅当PA＝PB＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，PA·PB＝0，故PA·PB的最大值是5.
答案：5
8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合．若此时点C(7,3)与点D(m，n)也重合，则m＋n的值是________．
解析：由题意知，折痕既是A，B的对称轴，也是 C，D的对称轴．
因为AB的斜率kAB＝＝－，AB的中点为(2,1)，
所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)，
所以kCD＝＝－，　①
因为CD的中点为，
所以－1＝2.　②
由①②解得m＝，n＝，所以m＋n＝.
答案：
9．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解：(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，
两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1∥l2可得解得a＝－1.
综上可知，a＝－1.
法二：由l1∥l2知
即⇒⇒a＝－1.
(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.
法二：因为l1⊥l2，
所以A1A2＋B1B2＝0，
即a＋2(a－1)＝0，得a＝.
10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，
联立得C(4,3)．
设B(x0，y0)，则AB的中点M，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
联立得B(－1，－3)，所以kBC＝，
所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2019·江阴检测)直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S，如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S＝________.
解析：由已知可得直线l的斜率一定存在且不为零，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
则直线l与坐标轴的交点为(0,1－2k)，，
则S＝|1－2k|·＝.
如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则关于k的方程＝S只有三个解，即4k2＋2(S－2)k＋1＝0与4k2－2(S＋2)k＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S＝4.
答案：4
2．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________．
解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得·＝1.又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝，因此k1·k2＝·＝－1，所以两条直线垂直．
答案：垂直
3．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值，并求此时l的方程．
解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
因为点A(5,0)到l的距离为3，
所以＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)如图，由解得交点P(2,1)，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝PA＝＝.
因为kPA＝－，l⊥PA，所以kl＝3，
所以直线l的方程为y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.