2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系





一、基础知识批注——理解深一点

1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r

2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)

相离
外切
相交
内切
内含
图形





量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|

二、常用结论汇总——规律多一点
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)直线被圆截得的弦长
弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋2.
三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．(　　)
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

(二)选一选
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B　因为圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，而0＜＜1，所以直线和圆相交，但不过圆心．
2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
解析：选B　两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．
3．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)
A．0 B.
C.或0 D.或0
解析：选D　因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝，故选D.

(三)填一填
4．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为________．
解析：易知该切线的斜率存在，则可设切线方程为y＝kx＋，则d＝＝1，解得k＝±1，即y＝x＋或y＝－x＋.
答案：x－y＋＝0或x＋y－＝0
5．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：2



考法(一)　直线与圆的位置关系的判断
[典例]　直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
[解析]　法一：由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，
所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
[答案]　A

[解题技法]　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
[提醒]　上述方法中最常用的是几何法．
考法(二)　直线与圆相切的问题
[典例]　(1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
(2)(2019·成都摸底)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
[解析]　(1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
(2)圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝＝3.
[答案]　(1)C　(2)3
[解题技法]
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程两方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出

[提醒]　当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．

考法(三)　弦长问题
[典例]　(1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为
(　　)
A. B．1
C. D.
(2)(2019·海口一中模拟)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为(　　)
A．4π B．2π
C．9π D．22π
[解析]　(1)因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ＝，所以弦长为.
(2)易知圆C：x2＋y2－2ay－2＝0的圆心为(0，a)，半径为.圆心(0，a)到直线y＝x＋2a的距离d＝，由直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，|AB|＝2，可得＋3＝a2＋2，解得a2＝2，故圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π，故选A.
[答案]　(1)D　(2)A

[解题技法]　弦长的两种求法
代数法
将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长
几何法
若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2

[题组训练]

1．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则经过圆上一点M的切线方程是________．
解析：因为M是圆x2＋y2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x＋y＋a＝0，所以＋＋a＝0，得a＝－，故切线方程为x＋y－＝0.
答案：x＋y－＝0
2．若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0没有公共点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题知，圆x2＋y2－2x－3＝0可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1,0)到直线kx－y＋2＝0的距离d＞2，即＞2，解得0＜k＜.
答案：
3．设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，则|AB|＝________.
解析：因为点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k＝1，即y＝x＋1.又圆心在直线l：x＋y＝0上，所以m＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r＝，所以圆心到直线y＝x＋1的距离d＝，所以|AB|＝2＝.
答案：


[典例]　(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切　　　　　　　　　 B．相交
C．外切 D．相离
[解析]　法一：由
得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.
又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，
∴两圆相交．
法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．
[答案]　B
[变透练清]
1．(2019·太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝
(　　)
A．21　　　　　　　　　　 B．19
C．9 D．－11
解析：选C　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
2.若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．
解析：联立两圆方程两式相减得，2x－2y－1＝0，因为N(1,1)，r＝1，则点N到直线2x－2y－1＝0的距离d＝＝，故公共弦长为2＝.
答案：

[解题技法]　
几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．




A级——保大分专练

1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为(　　)
A．±　　　　　　　　 B．±5
C．3 D．±3
解析：选B　圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有＝，即a＝±5.故选B.
2．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有
(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选A　两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.
3．(2019·南宁、梧州联考)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)
A.或 B．－或
C．－或 D.
解析：选A　由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1.即d＝＝1，所以k＝±，由k＝tan α，得α＝或.故选A.
4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选B　由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故选B.
5．(2019·重庆一中模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为(　　)
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选B　由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即＝1，解得a＝±.
6．(2018·嘉定二模)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
解析：选B　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.
7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
解析：易知圆心(2，－1)，半径r＝2，故圆心到直线的距离d＝＝，弦长为2＝.
答案：
8．若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB的斜率等于＝－1，由点斜式得直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．
解析：因为P(－3,1)关于x轴的对称点的坐标为P′(－3，－1)，
所以直线P′Q的方程为y＝(x－a)，即x－(3＋a)y－a＝0，
圆心(0,0)到直线的距离d＝＝1，
所以a＝－.
答案：－
10．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；
圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝＝3＞5.故圆C1与圆C2相离，
所以|PQ|的最小值是3－5.
答案：3－5
11．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2| (2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
12．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意得＝1，解得k＝－，
∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

B级——创高分自选

1．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线，与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：选C　设圆上的点为(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，则有x＋y＝1，且切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令y＝0，x＝0得A，B，则|AB|＝＝≥＝2，当且仅当x0＝y0时，等号成立．
2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
解析：因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝，设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan θ＝2，k＝tan＝－3.又B(5,0)，所以
直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3.
答案：3
3．(2018·安顺摸底)已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．
(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；
(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝时，求MN所在直线的方程．
解：(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，
∴1＋a2≥4，∴a≥或a≤－.
(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．
∵|MN|＝，∴|DM|＝.
又|MC|＝2，∴|CD|＝ ＝，
∴cos∠MCA＝＝，|AC|＝＝＝，
∴|OC|＝2，|AM|＝1，
∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，
圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，
∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，
因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.