2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程


第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角❶
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)❷在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的5种形式
名称
方程
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式❸
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线
平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
如果y2＝y1，x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1，x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在∪上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．
(1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：
①化为截距式：Ax＋By＝－C，即＋＝1.
②化为斜截式：y＝－x－.
(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，
若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；
若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)
(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、选填题
1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　)
A．0　　　　　　 B.
C. D．不存在
解析：选C　因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为.
2．直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设直线的倾斜角为α，则tan α＝，
∵α∈[0，π)，∴α＝.
3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　∵A·C＜0，B·C＜0，Ax＋By＋C＝0，∴y＝－x－，∴A·B＞0，－＞0，∴－＜0，∴直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，故选C.
4．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝________.
解析：由k＝＝1，得m＝1.
答案：1
5．过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为_____________．
解析：由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan 45°(x－2)，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0

考点一 直线的倾斜角与斜率 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)
A．[0，π)　　　　　 B.∪
C. D.∪
(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
[解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，
则有tan θ＝－sin α，
又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，
所以0≤θ≤或
≤θ＜π.
(2)如图，因为kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
[答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
[解题技法]
斜率取值范围的2种求法
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可

[过关训练]
1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：选D　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D.
2．已知点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．
解析：点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)＞0，解得－＜a＜－1，即直线l的斜率的范围是(－，－1)，故其倾斜角的取值范围是.
答案：
考点二 直线的方程 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
[解]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
[解题技法]
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；
(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．
[提醒]　(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
[过关训练]
　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
解：(1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，
所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，设l的方程为＋＝1，
因为l过点(4,1)，所以＋＝1，
所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
考点三 直线方程的综合问题 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2019·成都模拟)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为__________________．
(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
[解析]　(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，故当a＝时，四边形的面积最小．
[答案]　(1)x＋2y－4＝0　(2)
[解题技法]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[过关训练]
1．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　)
A．1　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
解析：选D　当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 ＝9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．故选D.
2．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，
O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，
当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.

一、题点全面练
1．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

解析：选B　由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．
2．(2019·惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)
A.　　　　　　 B.
C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，－1)∪
解析：选D　设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
3．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B.3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
5．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由f ＝f 知，函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f ，所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为，故选D.
6．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值－2和最大值2.∴b的取值范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
7．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为__________________．
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，
所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
8.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程为____________________________．
解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
答案：(3＋)x－2y－3－＝0
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解：(1)由题意知，直线l存在斜率．
设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，
它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
由两点式得BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD经过A(－3,0)，D(0,2)两点，
由截距式得AD所在直线的方程为＋＝1，
即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由(2)知，点D的坐标为(0,2)．
由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4]∪ B.
C. D.
解析：选A　如图所示，
∵kPN＝＝，
kPM＝＝－4，
∴要使直线l与线段MN相交，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，
∴k≥或k≤－4.
2．直线l过点(－2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为________________．
解析：若a＝b＝0，则直线l过(0,0)与(－2,2)两点，直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，
即x＋y＝0.
若a≠0，b≠0，设直线l的方程为＋＝1，
由题意知解得
此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.
答案：x＋y＝0或x－y＋4＝0
3．过点(－10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为________________．
解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为x＋y＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1，把点(－10,10)代入可得a＝，故直线方程为＋＝1，即x＋4y－30＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y＝0或x＋4y－30＝0.
答案：x＋y＝0或x＋4y－30＝0
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与不等式交汇]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，
故k的取值范围是.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．
又－0，∴k>0.
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.