2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第八章第一节 第1课时 系统知识——空间几何体
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第一节 空间几何体
[考纲要求]
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4．了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．
第1课时 系统知识——空间几何体
空间几何体的结构特征 |
1．简单旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；
(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
[提醒] (1)球是以半圆面为旋转对象的，而不是半圆．
(2)要注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧长三者之间的区别与联系．
2．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
[提醒] (1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点．
1.在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)
答案：③⑤
2.下列命题中正确的是________．
①由五个平面围成的多面体只能是四棱锥；
②棱锥的高线可能在几何体之外；
③仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
答案：②
3.一个棱柱至少有________个面；面数最少的一个棱锥有________个顶点；顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
答案：5 4 3
4.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G(不与顶点重合)，过此三点作长方体的截面，那么这个截面的形状是( )
A．锐角三角形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
答案：A
5．下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是( )
答案：C
6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别是棱D1C1，B1C1的中点，过E，F作一平面α，使得平面α∥平面AB1D1，则平面α截正方体的表面所得平面图形为( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选D 如图所示，平面α是平面EFGHJK，截面是六边形，故选D.
直观图与三视图 |
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
[谨记常用结论]
直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
(1)S直观图＝S原图形．
(2)S原图形＝2S直观图．
2．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线.
1.下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案：D
2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
解析：选A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.
3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为( )
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
解析：选C 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
4.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 给几何体的各顶点标上字母，如图①，A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图②所示，故正确选项为B.
5．某几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可能是该几何体俯视图的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 俯视图从左到右依次记为：
如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图①；如果几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图④；如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去直径为2，高为1的圆柱的，则俯视图如图②；以图③为俯视图的几何体的正视图不是正方形．故选C.
6．一个几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析：选B 由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此俯视图应排除A、C、D，经验证B符合题意，故选B.
空间几何体的表面积与体积 |
1．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 | 表面积 | 体积 |
柱体(棱柱和圆柱) | S表面积＝S侧＋2S底 | V＝Sh |
锥体(棱锥和圆锥) | S表面积＝S侧＋S底 | V＝Sh |
台体(棱台和圆台) | S表面积＝S侧＋S上＋S下 | V＝(S上＋S下＋)h |
球 | S＝4πR2 | V＝πR3 |
[提醒] 解决与几何体的面积有关问题时，务必要注意是求全面积还是求侧面积．
2．求表面积与体积的常用方法
(1)割补法
割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点．
(2)等积法
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
1.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
答案：1∶47
2.已知某几何体的三视图(单位：cm)，如图所示，则该几何体的体积是________．
答案：100
3.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于________．
答案：20
4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．
答案：72＋16
5．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为________．
答案：
6．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．
解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.
答案：32π2＋8π或32π2＋32π
[课时跟踪检测]
1．下列说法中正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
解析：选D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．选D.
2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )
解析：选B D选项为正视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )
A．
B．2
C．3
D．3
解析：选C 依题意，可知该几何体为如图所示三棱锥DABC，最长的棱AD＝＝3，故选C.
4．(2019·长沙模拟)如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为( )
A．3π B．4π
C．5π D．12π
解析：选A 由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，其表面积为2π＋π＝3π.选A.
5．(2019·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )
解析：选C 由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.
6．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选D 根据条件知侧视图为D选项．
7．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：选C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．
8．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V＝×(2＋1)×2×2＝6.
9．(2019·承德期末)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( )
A．8＋4＋2 B．6＋4＋4
C．6＋2＋2 D．8＋2＋2
解析：选C 由三视图可知，几何体为如图所示的四棱锥PABCD.其中的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB垂直于底面ABCD，且点P到底面ABCD的距离为2，故其表面积为2×2＋
×2×2＋×2×2＋2××2×＝6＋2＋2.故选C.
10．(2019·天津红桥区一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．π B．
C．π D．π
解析：选C 由三视图知，几何体是半径为1，母线长为3的半圆锥，几何体的体积V＝××π×12×＝π.故选C.
11．(2018·洛阳二模)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )
A. B．9π
C. D．10π
解析：选B 由三视图可知，几何体为下部分是圆柱与上部分是球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.所以几何体的表面积为π×12＋2π×1×3＋4π×12×＋π×12＋π×12＝9π.故选B.
12．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A． B．16π
C．9π D．
解析：选A 如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以该球的表面积为4πr2＝4π×2＝.
13．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶1 D．1∶4
解析：选A 由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－＝，V2＝×23＝，V1∶V2＝1∶2.
14．下列几何体是棱台的是________(填序号)．
解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义，故填④.
答案：④
15．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．
解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O(如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC＝2，斜边上的高为SO＝1，此高即为四棱锥的高，故V＝×2×2×1＝.
答案：
16．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x的值为________．
解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为2r＝1、高为x的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为5.4－x,3,1的长方体，则该几何体的体积V＝(5.4－x)×3×1＋π××x＝12.6，解得x＝1.6.
答案：1.6
17．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
解析：由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2××()2×1＝.
答案：
18．(2019·贵阳适应性考试)已知底面是正六边形的六棱锥PABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边
形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为________．
解析：因为六棱锥PABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥PABCDEF为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h，则×h＝，解得h＝2.记球O的半径为R，根据平面截球面的性质，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝，所以球O的表面积为4πR2＝4π2＝.
答案：
