2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第五章第三节　第1课时　系统知识——平面向量的数量积

第三节　平面向量的数量积及其应用
[考纲要求]
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影 的关系．
2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．　　
第1课时　系统知识——平面向量的数量积

平面向量的数量积
1.向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos θ的乘积．
[提醒]　(1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积，这两个投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．
3．向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos α＝|a|cos α.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；
a，b反向⇔a·b＝－|a||b|.
特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝.
(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
以上结论可作为公式使用．
　　　
4．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[提醒]　对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．

1.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案：－2
2.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos 30°＝2××＝3.
答案：3
3.在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点，则在方向上的投影为________．
答案：－
4.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
答案：－1
5．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且a·b＝－2，则向量a与b的夹角为________．
答案：
6．已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝________.
解析：设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.
答案：－1

平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤

1.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
答案：12
2.向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：a在b上的投影为＝＝－.
答案：－
3.a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________．
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以解得故b＝(－5,12)，
所以cosa，b＝＝.
答案：
4.已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为____________________．
解析：由a·b＝2x－21<0，得x<，当a与b共线时，＝，则x＝－，
故x的取值范围为x<且x≠－.
答案：∪
5．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________．
解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，
∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2.
答案：－2
6．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.
解析：因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m＋1，－m)．
由a⊥(ma－b)，得a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，所以m＝－1.
答案：－1
[课时跟踪检测]
1．(2019·长沙雅礼中学月考)已知平面向量a，b满足b·(a＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝(　　)
A.　　　　　　　　 　 B.
C. D．2
解析：选A　因为|a|＝1，|b|＝2，b·(a＋b)＝3，所以a·b＝3－b2＝－1，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－2＋4＝3，所以|a＋b|＝，故选A.
2．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(－2)·(3＋4)＝(　　)
A．－ B.－
C．－6－ D．－6＋
解析：选B　(－2)·(3＋4)＝3·－62＋4·－8·＝3||·||·cos 120°－6||2＋4||·||cos 120°－8||·||·cos 120°＝3×1×1×－6×12＋4×1×1×－8×1×1×＝－－6－2＋4＝－，故选B.
3．(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)
A．6 B.3
C．2 D．3
解析：选D　因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|·cos ，所以|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.
4．(2018·永州二模)已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(　　)
A. B.1
C. D．2
解析：选A　∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×＝.
∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，
∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝或|a|＝0(舍)，故选A.
5．(2019·北京四中期中)已知向量a＝(3,1)，b＝，则下列向量与a＋2b垂直的是(　　)
A．c＝(－1,2) B.c＝(2，－1)
C．c＝(4,2) D．c＝(－4,2)
解析：选C　∵向量a＝(3,1)，b＝，∴a＋2b＝(3,1)＋(－4,1)＝(－1,2)，
∵(－1,2)·(－1,2)＝1＋4＝5，(－1,2)·(2，－1)＝－2－2＝－4，(－1,2)·(4,2)＝－4＋4＝0，
(－1,2)·(－4,2)＝4＋4＝8，∴向量c＝(4,2)与a＋2b垂直，故选C.
6．(2019·漯河高级中学模拟)已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝(　　)
A．－4 B.－6
C．4 D．＋1
解析：选D　由题意可得a·b＝－2＋2m，且|b|＝＝，则向量a在向量b方向上的投影为＝＝2，解得m＝＋1.故选D.
7．(2018·茂名二模)已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝(　　)
A．2 B.3
C．4 D．5
解析：选B　∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2.又∵|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，∴a·(a－b)＝|a||a－b|·cos ，∴a2－a·b＝2×1×＝1，∴a·b＝3.故选B.
8．(2019·鞍山一中一检)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．6 B.5
C．1 D．－6
解析：选A　∵向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(3,0)，则(2a＋b)·a＝6.故选A.
9．(2019·南充一诊)已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则(3a－b＋5c)·b＝(　　)
A．－1 B.1
C．6 D．－6
解析：选D　因为向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，
所以(3a－b＋5c)·b＝0－b2＋5c·b＝－1＋5×(－1)＝－6.故选D.
10．(2019·闽侯第六中学期末)已知＝(cos 23°，cos 67°)，＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC的面积为(　　)
A．2 B.
C．1 D．
解析：选D　根据题意，＝(cos 23°，cos 67°)，∴＝－(cos 23°，sin 23°)，
则||＝1.又∵＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴||＝2.
∴·＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－，∴cos B＝＝－，则B＝135°，则S△ABC＝||||sin B＝×1×2×＝，故选D.
11．(2019·四川广安、眉山第一次诊断性考试)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD＝2DC，则·的值为(　　)
A．1－ B.
C. D．1＋
解析：选B　∵△ABC是边长为1的等边三角形，且BD＝2DC，∴＝，
∴·＝·(＋)＝2＋·＝1＋×1×1×＝，故选B.
12．(2019·福建基地校质量检测)已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
解析：选D　由·＝0，得BC垂直于角A的平分线，则△ABC为等腰三角形，AB，AC为腰．由·＝，得A＝60°.所以△ABC为等边三角形，故选D.
13．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a＋2b|＝________.
解析：∵|a＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a＋2b|＝5.
答案：5
14．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a，b满足|a＋2b|＝，则a，b的夹角为________．
解析：因为|a＋2b|＝，所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝()2.又a，b是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＝－.因为a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－，则a，b的夹角为.
答案：
15．(2019·云南师范大学附属中学月考)在边长为2的等边三角形ABC中，点O为△ABC外接圆的圆心，则·(＋)＝________.


解析：如图，O是正三角形ABC外接圆的圆心(半径为2)，则O也是正三角形ABC的重心．设AO的延长线交BC于点D，则＋＝2＝－，∴·(＋)＝－2＝－4.
答案：－4
16．已知向量＝(m,1)，＝(2－m，－4)，若·>11，则m的取值范围为________．
解析：由向量＝(m,1)，＝(2－m，－4)，得＝＋＝(2，－3)．
又因为·>11，所以2m－3>11，解得m>7.
答案：(7，＋∞)