2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章三角函数、解三角形5.4第1课时

§5.4　简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．
2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．题型选择、填空、解答均有可能出现，中低档难度.



1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？
提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P127T2]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．[P131T5]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．[P146A组T4(2)]tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
题组三　易错自纠
5.＝ .
答案　
解析　原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
6．化简：＝ .
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
7．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案　－
解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二　∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
8．化简：＝ .
答案　4sin α
解析　＝＝＝4sin α.

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一　和差公式的直接应用
1．(2018·嘉兴检测)sin215°－cos215°的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)
＝－cos 30°＝－，故选C.
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　D
解析　∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝1.
3．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
4．计算的值为 ．
答案　
解析　＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

题型二　和差公式的灵活应用


命题点1　角的变换
例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案　
解析　依题意得sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)(2018·浙江名校联盟联考)已知sin＝， 则cos等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　设θ＝－α，则2θ＝－2α，∴2α＋＝π－2θ，
∴cos＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝2sin2θ－1
＝－1＝－.
命题点2　三角函数式的变换
例2 (1)化简： (0<θ<π)；
(2)求值：－sin 10°.
解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，
∴＝＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2cos cos θ，
故原式＝＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
引申探究
化简： (0<θ<π)．
解　∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin ，
又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2
＝2sin ，
∴原式＝
＝－cos θ.
命题点3　公式的逆用与变形
例3 (1)已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案　－
解析　∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，
∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①
sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②
①＋②得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，则sin(α－β)＝－.
(2)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．
答案　－
解析　∵tan α－tan β＝－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos β＝，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练　(1)计算：
＝ .(用数字作答)
答案　
解析　＝＝＝＝.
(2)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .
答案　
解析　由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
(3)若sin x＋cos x＝，则tan＝ .
答案　±
解析　由sin x＋cos x＝，得2sin＝，即sin＝，所以cos＝±，所以tan＝±，即tan＝tan＝±.

用联系的观点进行三角变换
三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
例 (1)(2018·绍兴一中期中)(1＋tan 21°)(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)(1＋tan 24°)的值为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
答案　B
解析　(1＋tan 21°)(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)(1＋tan 24°)＝[1＋tan(45°－24°)]·(1＋tan 24°)[1＋tan(45°－25°)](1＋tan 25°)＝·(1＋tan 24°)··(1＋tan 25°)＝·(1＋tan 24°)··(1＋tan 25°)＝4，故选B.
(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 ．
答案　
解析　∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .
答案　－
解析　＝
＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－，∴原式＝－.


1．(2018·台州模拟)已知cos α＝1，则sin等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　因为cos α＝1，所以sin α＝0，则sin
＝sin αcos －cos αsin ＝－sin ＝－，故选C.
2．(2018·温州检测)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
故选C.



3．(2018·衢州模拟)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案　D
解析　a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°
＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
4．已知α为锐角，若sin＝，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由于α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，故选A.
5．(2018·绍兴一中期中)已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　由sin α＝＋cos α可得sin α－cos α＝，
即sin＝，可得sin＝>0，
又α∈，则α－∈，
可得cos＝＝，
则＝
＝＝－2cos
＝－，故选A.
6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　因为α∈，所以2α∈(0，π)，
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin 2α＝＝，
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.



7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)
A．α<<β B．β<<α
C.<α<β D.<β<α
答案　B
解析　∵α为锐角，sin α－cos α＝>0，∴<α<.
又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.
8．(2018·杭州二中期中)若0<α<，－<β<0，cos ＝，cos＝，则cos等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　因为0<α<，－<β<0，
所以<＋α<，<－<，
所以sin＝，sin＝，
所以cos＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝×＋×＝，故选C.
9.的值是 ．
答案　
解析　原式＝
＝
＝＝.
10.＝ .
答案　
解析　＝
＝＝.
11．(2018·浙江第二次联盟校联考)已知cos2＝，则sin 2α的值为 ．
答案　
解析　因为cos2＝＝＝，所以sin 2α＝.
12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解　依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin
＝×＋×＝.

13．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　由3cos 2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
又由α∈可知，cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故选C.
14．已知coscos＝，求sin4θ＋cos4θ的值．
解　因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.

15．化简：·＝ .
答案　－4
解析　原式＝·＝·
＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
16．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，求sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围．
解　由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，∴α－β＝，
∴
即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
∵≤α≤π，
∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，
即取值范围为[－1,1]．