2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章三角函数、解三角形高考专题突破三

高考专题突破三　高考中的三角函数与解三角形问题

题型一　三角函数的图象和性质

例1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：

(1)函数f(x)的最小正周期；

(2)函数f(x)的单调区间；

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．

解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋

＝5＝5sin，

所以函数的最小正周期T＝＝π.

(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z)．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递减区间为

(k∈Z)．

(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，

得x＝＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．

思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．

跟踪训练1 (2018·“七彩阳光联盟”期初联考)已知f(x)＝2cos2x＋sin 2x－＋1(x∈R)，求：

(1)f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，求f(x)的值域．

解　由题意得f(x)＝sin 2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.

(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin∈，∴f(x)∈[0,3]．

故f(x)的值域为[0,3]．

题型二　解三角形

例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求角A和边长c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解　(1)∵sin A＋cos A＝0，

∴tan A＝－，

又0<A<π，∴A＝，

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，

即28＝4＋c2－2×2c×，

即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.

(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，

∴16＝28＋4－2×2×2×cos C，

∴cos C＝，

∴CD＝＝＝，

∴CD＝BC，

∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC

＝×4×2×＝2，

∴S△ABD＝S△ABC＝.

思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．

跟踪训练2 (2018·浙江省第二次联盟校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin B＝asin A＋(c－a)sin C.

(1)求B；

(2)若3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为6，求b.

解　(1)由bsin B＝asin A＋(c－a)sin C及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.

由余弦定理，得cos B＝＝＝，

因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)由(1)得B＝，

所以△ABC的面积为acsin B＝ac＝6，得ac＝24.

由3sin C＝2sin A及正弦定理，得3c＝2a，

所以a＝6，c＝4.

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋16－24＝28.

所以b＝2.

题型三　三角函数和解三角形的综合应用

例3 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan B(tan C－1)＝＋tan C.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，a≤b，求b－c的取值范围．

解　(1)由tan B(tan C－1)＝＋tan C

得tan B＋tan C＝(tan Btan C－1)，

∴tan(B＋C)＝＝－，tan A＝，

∵0<A<π，∴A＝.

(2)由正弦定理得＝＝＝＝2，

得b＝2sin B，c＝2sin C，

b－c＝2sin B－sin C

＝2sin B－sin＝sin B－cos B

＝sin.

∵a≤b，∴≤B<，≤B－<，

∴b－c＝sin∈.

思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3 (2018·嘉兴市教学测试)已知函数f(x)＝cos＋(sin x＋cos x)2.

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；

(2)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f＝，求b的值．

解　(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x＋(1＋sin 2x)

＝sin＋，

所以f(x)的最大值为1＋，最小正周期T＝π.

(2)因为f＝sin＋

＝cos＋＝，

所以cos＝0，

又C∈(0，π)，所以C＝.

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C

可得b2－2b－3＝0，

因为b>0，所以b＝3.

1．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

解　(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

所以由正弦定理得

sin C＝＝×＝.

(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得

72＝b2＋32－2b×3×，

解得b＝8或b＝－5(舍去)．

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.

2．(2018·温州适应性测试)已知函数f(x)＝4cos x·cos＋1.

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

解　(1)f＝4cos cos＋1

＝4coscos ＋1

＝4××＋1＝－2.

(2)f(x)＝4cos xcos＋1

＝4cos x＋1

＝－2cos2x－sin 2x＋1

＝－sin 2x－cos 2x

＝－2sin.

所以f(x)的最小正周期为π，

当＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

即＋kπ≤x≤＋kπ，(k∈Z)时，f(x)单调递增，

即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

3．(2018·浙江省金华市名校第二次统练)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝c2.

(1)证明：＋＝；

(2)若＝，求tan B.

(1)证明　根据三角形的面积公式及2S＝c2得，

absin C＝c2，

∴根据正弦定理得，sin Asin B＝sin C.

又在△ABC中，A＋B＋C＝π，

∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

∴sin Asin B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，

两边同时除以sin Asin B，得＋＝1.①

根据正弦定理＝＝，

得sin A＝，sin B＝，代入①化简得，

＋＝.

(2)解　由＝，得c2－a2＝bc－b2，根据余弦定理得，cos A＝＝，

又A∈(0，π)，∴sin A＝，

又由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

∴sin B＝cos B＋sin B，

故tan B＝.

4．(2018·浙江省六校协作体期末联考)已知f(x)＝cos x·sin＋1.

(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；

(2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sin Asin C＝sin2B，求a－c的值．

解　f(x)＝cos xsin＋1

＝cos x＋1

＝sin 2x－×＋1

＝sin 2x－cos 2x＋

＝sin＋.

(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

又x∈[0，π]，

∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和.

(2)由f(B)＝sin＋＝，

得sin＝1.

又B是△ABC的内角，∴2B－＝，B＝，

由sin Asin C＝sin2B及正弦定理可得ac＝b2.

在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0.

5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．

解　(1)acos C＋asin C－b－c＝0，

由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，

即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，

亦即sin Acos C＋sin Asin C

＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin C，

则sin Asin C－cos Asin C＝sin C.

又sin C≠0，所以sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝.

在△ABC中，0°<A<180°，则－30°<A－30°<150°，

所以A－30°＝30°，得A＝60°.

(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.

所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.

由正弦定理，得＝＝.

设a＝7x，c＝5x(x>0)，

则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，

即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，

解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5，

故S△ABC＝acsin B＝10.

6．已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)．

(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．

解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t

＝2sin＋t，

f(x)的最小正周期为＝，∴ω＝2，

∵f(x)的图象过点(0,0)，

∴2sin＋t＝0，

∴t＝－1，即f(x)＝2sin－1.

令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，

求得－≤x≤＋，k∈Z，

故f(x)的单调增区间为，k∈Z.

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得

y＝2sin－1＝2sin－1的图象，

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象．

∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈，

故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为.

若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，

由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，

根据图象(图略)可知，k＝－1或1－<k≤＋1.

故实数k的取值范围是{－1}∪(1－，＋1]．