2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第十一章概率随机变量及其分布11.2

§11.2　离散型随机变量的分布列及均值、方差
最新考纲
考情考向分析
1.了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.了解两点分布.
3.了解离散型随机变量均值、方差的概念.
以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，考查离散型随机变量分布列的求法以及随机变量的均值、方差.在高考中多以选择、填空题的形式进行考查，近年有考查解答题的趋势，难度多为中低档.


1.离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量.
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②i＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
2.两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0 其中p＝P(X＝1)称为成功概率.
3.离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差.
4.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)
概念方法微思考
1.随机变量和函数有何联系和区别？
提示　区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；
联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.
2.离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？
提示　代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的.
3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？
提示　可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验.
4.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？
提示　随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.


题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.(　√　)
(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　√　)
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　√　)
(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)
(5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.(　√　)
(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(　√　)
题组二　教材改编
2.[P77A组T1]设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p

则p为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
3.[P68A组T1]已知X的分布列为
X
－1
0
1
P




设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B.4 C.－1 D.1
答案　A
解析　E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
4.[P49A组T1]有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________.
答案　0，1，2，3
解析　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0，1，2，3.题组三　易错自纠
5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______.
答案　
解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，
故P(X＝4)＝＝.

题型一　离散型随机变量的分布列的性质
1.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝，
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝×＋×＝.
2.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求2X＋1的分布列.
解　由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
引申探究
1.若题2中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的分布列.
解　由题2知m＝0.3，列表为
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3

∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列.
解　依题意知η的值为0，1，4，9，16.
列表为
X
0
1
2
3
4
X2
0
1
4
9
16
从而η＝X2的分布列为
η
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3

思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
题型二　分布列的求法
例1　设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完.
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列.
解　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，
则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P(k)＝，k＝1，2，3，4，5.
(1)方法一　他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)＝×＋×＝.
方法二　由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.
(2)X的所有可能值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(1 2)＝×＋×＝，
P(X＝3)＝P(A12 3)＋P(1A2A3)＝×2＋×2＝，
P(X＝4)＝P(A12A3A4)＋P(1A23 4)＝3×＋3×＝，
P(X＝5)＝P(A12A34)＋P(1A23A4)＝2×2＋2×2＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P





思维升华 求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列.
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.
跟踪训练1　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P




题型三　均值与方差
例2　某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1
300
－150
P


∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P



∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.
(2)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.
跟踪训练2　(2018·浙江源清中学月考)已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________；随机变量ξ的均值是________.
答案　　1
解析　根据题意知ξ＝0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.


1.(2018·金华模拟)若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1

则当P(η A.x≤2 B.1≤x≤2
C.1 答案　C
解析　由离散型随机变量的分布列知P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，
则当P(η 2.(2018·绍兴上虞区教学质量调测)若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则下列说法正确的是(　　)
A.E(ξ)＝－4，D(ξ)＝4 B.E(ξ)＝－3，D(ξ)＝3
C.E(ξ)＝－4，D(ξ)＝－4 D.E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4
答案　D
解析　由E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，
得1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，
则E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4，故选D.
3.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X，则X≥8的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，X的取值为6，9，12，
又P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，
所以X≥8的概率为＋＝，故选C.
4.设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则P等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，分布列为
ξ




1
P
a
2a
3a
4a
5a

由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
所以P＝P＋P＋
P＝＋＋＝.故选C.
5.(2017·浙江)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则(　　)
A.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
B.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
D.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
答案　A
解析　由题意可知ξi(i＝1，2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵0＜p1＜p2＜，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，
把方差看作函数y＝x(1－x)，
根据0＜ξ1＜ξ2＜知，D(ξ1)＜D(ξ2).故选A.
6.(2018·浙江)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P




则当p在(0，1)内增大时，(　　)
A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
答案　D
解析　由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝2＋2－2＋2
＝－
＝p2＋－p(2p－1)
＝－p2＋p＋＝－2＋，
∴D(ξ)在上单调递增，在上单调递减，
即当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.
故选D.


7.(2018·台州质量评估)已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P


m
则m＝________，D(X)＝________.
答案　　
解析　由题意知＋＋m＝1，解得m＝，
所以均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝，
所以方差D(X)＝×2＋×2＋×2＝.
8.(2018·杭州教学质量检测)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________.
答案　p　
解析　由题意，知ξ所有可能的值为0，1，因为P(ξ＝0)＝1－p，P(ξ＝1)＝p，所以E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)＝－2＋≤，所以方差D(ξ)的最大值为.
9.(2018·浙江省金华十校期末调研考试)已知口袋中装有n(n>1)个红球和2个黄球，从中任取2个球(取到每个球是等可能的)，随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列为
X
0
1
2
P
a

b

则随机变量X的均值为________，方差为________.
答案　1　
解析　由已知得＝，且n>1，解得n＝2，所以＝b，即b＝，由a＋＋＝1，得a＝，则随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，方差D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.

10.(2018·浙江省联盟校联考)已知随机变量X满足分布列：
X
－1
0
1
2
P


x
a

若随机变量X的均值E(X)＝，则a－x＝__________，D(X)＝________.
答案　－　
解析　由题意可得，
解得所以a－x＝－＝－，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
11.一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出).若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.
(1)求盒子中蜜蜂有几只；
(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与均值E(X).
解　(1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，
则由题意，得P(A)＝＝，
所以(11－x)(10－x)＝42，
解得x＝4或x＝17(舍去)，
故盒子中蜜蜂有4只.
(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P





均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
12.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”.
(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和均值.
解　(1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，
则事件A发生的概率P(A)＝＝.
依题意≥，
化简得n2－25n＋144≤0，
∴9≤n≤16，故n的最大值为16.
(2)由题意，ξ的可能取值为0，1，2，
∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P




∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.

13.(2018·浙江名校协作体联考)一个口袋中装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________.若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的均值为________.
答案　　6
解析　根据题意，红、黄、绿球分别记为A1，A2，B1，B2，C1，C2，则任取3个小球共有C＝20种，而其中恰有2个小球同颜色的有3CC＝12，故所求概率为P＝＝.由题意得，变量ξ的取值为4，5，6，7，8，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，
P(ξ＝7)＝＝，
P(ξ＝8)＝＝，
因此E(ξ)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6.
14.(2018·浙江名校联盟联考)某高校在新学期开学之际为大一贫困新生提供A，B，C三个等级的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个等级的助学金，且申请任何一个等级是等可能的，每位申请人所申请的等级互不影响.则在该校任意4位申请人中，被申请的助学金的等级个数X的均值为________.
答案　
解析　随机变量X的所有可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的均值
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.



15.已知随机变量ξi(i＝1，2)满足P(ξi＝0)＝，p(ξi＝1)＝，P(ξi＝2)＝，若 A.E(2ξ1－1) B.E(2ξ1－1)D(2ξ2－1)
C.E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1) D.E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)>D(2ξ2－1)
答案　D
解析　由均值与方差的性质可知E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，
则E(2ξi－1)＝2E(ξi)－1，D(2ξi－1)＝4D(ξi).
由题意知E(ξi)＝0×＋1×＋2×＝－pi，
D(ξi)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝－p＋pi＋＝－2＋，
所以E(ξi)＝－pi在pi∈上单调递减，D(ξi)＝－2＋在pi∈上单调递减，又E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，所以E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)>D(2ξ2－1)，故选D.
16.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，求随机变量ξ的均值.
解　ξ的可能取值为0，，1，2，则
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.

∴ξ的分布列为
ξ
0
1

2
P




∴E(ξ)＝0×＋×＋1×＋2×＝.