2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第7章第4节　垂直关系


第四节　垂直关系
[考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

1．直线与平面垂直
(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
(2)定理

文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直


⇒l⊥α
性
质
定
理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行

⇒
a∥b
2.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
3．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直


⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α． (　　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行． (　　)
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (　　)
(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．故选B．]
3．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ． (　　)
A．若l⊥β，则α⊥β　　 B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
A　[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]
4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

4　[∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
则△PAB，△PAC为直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．
因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]
5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．
a　[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，
则∠A′OC是二面角A′­BD­C的平面角．

即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，
∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]



直线与平面垂直的判定与性质

►考法1　直线与平面垂直的判定
【例1】　(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
[解]　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB平面ABC，AC平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC．
(2)作CH⊥OM，垂足为H.

又由(1)可得OP⊥CH，OP平面POM，OM平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
所以OM＝，CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
►考法2　直线与平面垂直的性质
【例2】　(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC．
[证明]　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB．
又因为EF平面ABC，AB平面ABC，
所以EF∥平面ABC．
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD．
因为AD平面ABD，所以BC⊥AD．
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC．
[规律方法]　1.证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
2．证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系．
(2)利用等腰三角形底边中线的性质．
(3)利用勾股定理的逆定理．
(4)利用直线与平面垂直的性质．
如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明]　(1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，
CD平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．
又PD平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，
∴AB⊥PD．
又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.


面面垂直的判定与性质


【例3】　(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q­ABP的体积．
[解]　(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC．
又BA⊥AD，且AC平面ACD，AD平面ACD，
AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.

又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC．
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q­ABP的体积为VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin 45°＝1.
[规律方法]　证明面面垂直的2种方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，
注意：三种垂直关系的转化

(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC．
[证明]　(1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．
(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．


垂直关系中的存在性问题

【例4】　如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.

(1)求三棱锥P­ABC的体积；
(2)在线段PC上是否存在一点M，使得AC⊥BM，若存在求的值，并说明理由．
[解]　(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝.
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P­ABC的高，
又PA＝1，
所以三棱锥P­ABC的体积
V＝·S△ABC·PA＝.
(2)在线段PC上存在一点M，使得AC⊥BM，此时＝.
证明如下：如图，在平面PAC内，过点M作MN∥PA交AC于N，连接BN，BM.

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，
所以MN⊥AC．
由MN∥PA知＝＝.
所以AN＝，
在△ABN中，BN2＝AB2＋AN2－2AB·ANcos∠BAC＝12＋2－2×1××＝，
所以AN2＋BN2＝AB2，
即AC⊥BN.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM平面MBN.
所以AC⊥BM.
[规律方法]　1.对命题条件探索性的主要途径：
(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，DC＝2AB＝2，DA＝.

(1)线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．
(2)若PD＝，线段PC上有一点F，且PC＝3PF，求三棱锥A­FBD的体积．
[解]　(1)存在线段BC的中点E，使平面PBC⊥平面PDE，即＝1.证明如下：
连接DE，PE，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝1，DA＝，∴BD＝DC＝2，∵E为BC的中点，∴BC⊥DE，
∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∵DE∩PD＝D，∴BC⊥平面PDE，
∵BC平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDE.
(2)∵PD⊥平面ABCD，且PC＝3PF，∴点F到平面ABCD的距离为PD＝，

∴三棱锥A­FBD的体积VA­FBD＝VF­ABD＝×S△ABD×＝××1××＝.


平面图形的翻折问题

【例5】　如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.

图1　　　　　　图2
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36，求a的值．
[解]　(1)证明：在题图1中，连接EC(图略)，
因为AB＝BC＝AD＝a，
E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC．
即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC．
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．
由题图1知，A1O＝AO＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
[规律方法]　平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况．一般地，翻折后还在同一平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．
(2018·鄂州模拟)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P­EF­B的大小为60°.
(1)求证：EF⊥PB；
(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥P­EBCF的侧面积．

[解]　(1)证明：在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，∴BC⊥AB．
∵EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，仍有EF⊥PE，EF⊥BE，
∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB．
(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，∴∠PEB是二面角P­EF­B的平面角，
∴∠PEB＝60°，又PE＝2，BE＝1，由余弦定理得PB＝，
∴PB2＋BE2＝PE2，∴PB⊥BE，∴PB，BC，BE两两垂直，又EF⊥PE，EF⊥BE，
∴△PBE，△PBC，△PEF均为直角三角形．
由△AEF∽△ABC可得，EF＝BC＝2，
S△PBC＝BC·PB＝，S△PBE＝PB·BE＝，S△PEF＝EF·PE＝2.
在四边形BCFE中，过点F作BC的垂线，垂足为H(图略)，则FC2＝FH2＋HC2＝BE2＋(BC－EF)2＝2，∴FC＝.
在△PFC中，FC＝，PC＝＝2，PF＝＝2，
由余弦定理可得cos∠PFC＝＝－，
则sin∠PFC＝，S△PFC＝PF·FCsin∠PFC＝.
∴四棱锥P­EBCF的侧面积为S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋2＋.


1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
[解]　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．
而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：如图，连接AC交BD于O.
因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．
2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
[解]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD．
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．
又AB平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，
可得PE⊥平面ABCD．

设AB＝x，则由已知可得
AD＝x，PE＝x.
故四棱锥P­ABCD的体积
VP­ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由题设得x3＝，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱锥P­ABCD的侧面积为
PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.