2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第8章第2节 两条直线的位置关系
展开第二节 两条直线的位置关系
[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行:
①对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和y=k2x+b2(b1≠b2),则有l1∥l2⇔k1=k2.
②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
(2)两条直线垂直:
①设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
②对于直线l1:x=a,直线l2:y=b,则有l1⊥l2.
2.两条直线的交点的求法
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
3.三种距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离 | |P1P2|= |
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 | d= |
平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 | d= |
1.直线系方程
(1)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
(2)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
2.两直线平行或重合的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.
3.两直线垂直的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.
4.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
5.与对称问题相关的两个结论
(1)点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0);
(2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),则有可求出x′,y′.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( )
(4)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为( )
A. B.2-
C.-1 D.+1
C [由题意知=1,∴|a+1|=,又a>0,∴a=-1.]
3.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于( )
A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3
C [直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C.]
4.已知直线l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:x-2y=0.若l1⊥l2,则实数a的值为________.
2 [由题意知a·1-2(3-a)=0,解得a=2.]
5.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是________.
[先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,则两平行线间的距离为d==.]
两条直线的平行与垂直 |
1.(2019·梅州月考)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A [当a=1时,显然l1∥l2,
若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0,所以a=1或a=-2.
所以a=1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.]
2.已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为________.
1或0 [l1的斜率k1==a.当a≠0时,l2的斜率k2==.因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即a·=-1,解得a=1.当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2.综上可知,实数a的值为1或0.]
[规律方法] 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
—
↓
易错警示:当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
两条直线的交点与距离问题 |
【例1】 (1)求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________.
(2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________.
(1)x+2y-7=0 (2)x+3y-5=0或x=-1 [(1)由得∴l1与l2的交点坐标为(1,3).
设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,
则1+2×3+c=0,∴c=-7.
∴所求直线方程为x+2y-7=0.
(2)法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意知=,
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-,
∴直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
法二:当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),
∴直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.]
[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
2.处理距离问题的两大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.
(1)当0<k<时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2) 若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
(1)B (2)C [(1)由得
又∵0<k<,∴x=<0,y=>0,故直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第二象限.
(2)因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.]
对称问题 |
►考法1 点关于点的对称问题
【例2】 (2018·泉州模拟)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________.
x+4y-4=0 [设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.]
►考法2 点关于直线的对称问题
【例3】 如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.3 B.6 C.2 D.2
C [直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.]
►考法3 直线关于直线的对称问题
【例4】 (2019·郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是( )
A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0
A [设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
由得
由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
∴2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.]
[规律方法] 解决两类对称问题的关键
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键要抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.
已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
[解] (1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),∵kPP′·kl=-1,即×3=-1.①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
∴3×-+3=0.②
由①②得
把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
得关于l对称的直线方程为--2=0,
化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),
关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),
∴=1,x′=2,=2,y′=1,∴M′(2,1).
l关于(1,2)的对称直线平行于l,∴k=3,
∴对称直线方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.