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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第8章第2节 两条直线的位置关系
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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第8章第2节 两条直线的位置关系

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    第二节 两条直线的位置关系

    [考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

    1.两条直线平行与垂直的判定

    (1)两条直线平行:

    对于两条不重合的直线l1yk1xb1yk2xb2(b1b2),则有l1l2k1k2.

    当直线l1l2不重合且斜率都不存在时,l1l2.

    (2)两条直线垂直:

    设直线l1yk1xb1,直线l2yk2xb2,则有l1l2k1·k2=-1.

    对于直线l1xa,直线l2yb,则有l1l2.

    2.两条直线的交点的求法

    直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20,则l1l2的交点坐标就是方程组的解.

    3.三种距离公式

    P1(x1y1)P2(x2y2)两点之间的距离

    |P1P2|

    P0(x0y0)到直线lAxByC0的距离

    d

    平行线AxByC10AxByC20间的距离

    d

    1直线系方程

    (1)平行于直线AxByC0的直线系方程:AxByλ0(λC)

    (2)垂直于直线AxByC0的直线系方程:BxAyλ0.

    2两直线平行或重合的充要条件

    直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.

    3两直线垂直的充要条件

    直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.

    4过直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1λ(A2xB2yC2)0(λR),但不包括l2.

    5与对称问题相关的两个结论

    (1)P(x0y0)关于A(ab)的对称点为P(2ax0,2by0)

    (2)设点P(x0y0)关于直线ykxb的对称点为P(xy),则有可求出xy.

    [基础自测]

    1(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)当直线l1l2斜率都存在时,一定有k1k2l1l2.(  )

    (2)如果两条直线l1l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(  )

    (3)P(x0y0)到直线ykxb的距离为.(  )

    (4)已知直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20(A1B1C1A2B2C2为常数),若直线l1l2,则A1A2B1B20.(  )

    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)

    2(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线lxy30的距离为1,则a的值为(  )

    A.     B2

    C1  D1

    C [由题意知1|a1|,又a>0a1.]

    3.直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行,则m等于(  )

    A2    B.-3     C2或-3   D.-2或-3

    C [直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行,则有,故m2或-3.故选C]

    4.已知直线l1ax(3a)y10l2x2y0.l1l2,则实数a的值为________

    2 [由题意知a·12(3a)0,解得a2.]

    5.直线2x2y10xy20之间的距离是________

     [先将2x2y10化为xy0,则两平行线间的距离为d.]

     

    两条直线的平行与垂直

    1(2019·梅州月考)aR,则a1直线l1ax2y10与直线l2x(a1)y40平行(  )

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    A [a1时,显然l1l2

    l1l2,则a(a1)2×10,所以a1a=-2.

    所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.]

    2.已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为________

    10 [l1的斜率k1a.a0时,l2的斜率k2.因为l1l2,所以k1k2=-1,即a·=-1,解得a1.a0时,P(0,-1)Q(0,0),这时直线l2y轴,A(2,0)B(1,0),直线l1x轴,显然l1l2.综上可知,实数a的值为10.]

    [规律方法] 解决两直线平行与垂直的参数问题要前思后想

    易错警示:当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意xy的系数不能同时为零这一隐含条件.

     

    两条直线的交点与距离问题

     

    【例1】 (1)求经过两条直线l1xy40l2xy20的交点,且与直线2xy10垂直的直线方程为________.

    (2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等,则直线l的方程为________

    (1)x2y70 (2)x3y50x=-1 [(1)l1l2的交点坐标为(1,3)

    设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0

    12×3c0c=-7.

    所求直线方程为x2y70.

    (2)法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y2k(x1),即kxyk20.

    由题意知

    |3k1||3k3|k=-

    直线l的方程为y2=-(x1),即x3y50.

    当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.

    法二:ABl时,有kkAB=-

    直线l的方程为y2=-(x1),即x3y50.

    lAB中点时,AB的中点为(1,4)

    直线l的方程为x=-1.

    故所求直线l的方程为x3y50x=-1.]

    [规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程的方法

    求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.

    2处理距离问题的两大策略

    (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.

    (2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.

    (1)0<k<时,直线l1kxyk1与直线l2kyx2k的交点在(  )

    A.第一象限 B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    (2) PQ分别为直线3x4y1206x8y50上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )

    A.    B.    C    D

    (1)B (2)C [(1)

    0<k<x<0y>0,故直线l1kxyk1与直线l2kyx2k的交点在第二象限.

    (2)因为,所以两直线平行,将直线3x4y120化为6x8y240,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即,所以|PQ|的最小值为.]

     

    对称问题

     

    考法1 点关于点的对称问题

    【例2】 (2018·泉州模拟)过点P(0,1)作直线l使它被直线l12xy80l2x3y100截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________

    x4y40 [l1l的交点为A(a,82a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(a,2a6)l2上,代入l2的方程得-a3(2a6)100,解得a4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x4y40.]

    考法2 点关于直线的对称问题

    【例3】 如图,已知A(4,0)B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(  )

    A3   B6  C2   D2

    C [直线AB的方程为xy4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(2,0),则光线经过的路程为|CD|2.]

    考法3 直线关于直线的对称问题

    【例4】 (2019·郑州模拟)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是(  )

    Ax2y30 Bx2y30

    Cx2y10 Dx2y10

    A [设所求直线上任意一点P(xy),则P关于xy20的对称点为P(x0y0)

    由点P(x0y0)在直线2xy30上,

    2(y2)(x2)30,即x2y30.]

    [规律方法] 解决两类对称问题的关键

    解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键要抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住垂直平分,由垂直列出一个方程,由平分列出一个方程,联立求解.

    已知直线l3xy30,求:

    (1)P(4,5)关于l的对称点;

    (2)直线xy20关于直线l对称的直线方程;

    (3)直线l关于(1,2)的对称直线.

    [] (1)P(xy)关于直线l3xy30的对称点为P(xy)kPP·kl=-1,即×3=-1.

    PP的中点在直线3xy30上,

    3×30.

    ①②

    x4y5代入③④x=-2y7

    P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7)

    (2)③④分别代换xy20中的xy

    得关于l对称的直线方程为20

    化简得7xy220.

    (3)在直线l3xy30上取点M(0,3)

    关于(1,2)的对称点M(xy)

    1x22y1M(2,1)

    l关于(1,2)的对称直线平行于lk3

    对称直线方程为y13×(x2),即3xy50.

     

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