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2020年高考物理新课标第一轮总复习讲义：第四章第二讲 抛体运动
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基础复习课
第二讲 抛体运动
[小题快练]
1．判断题
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．( × )
(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．( × )
(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．( × )
(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．( × )
(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的．( √ )
(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( √ )
(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．( √ )
2．一物体从某高度以初速度v0水平抛出，落地时速度大小为v，重力加速度为g，则它运动的时间为( D )
A. B．
C. D．
3．(多选)物体以速度v0抛出做斜抛运动，则( AD )
A．在任何相等的时间内速度的变化量是相同的
B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．射高和射程都取决于v0的大小
D．v0很大，射高或射程可能很小
4. 如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(g取10 m/s2)( D )
A．0.5 m/s B．2 m/s
C．10 m/s D．20 m/s
考点一 平抛运动规律的应用 (自主学习)
1．基本规律
(1)速度关系
(2)位移关系
2．有用结论
(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．
(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示．
1－1.[对平抛运动的理解] (2019·河北廊坊联考)如图所示，蹲在树枝上的一只松鼠看到一个猎人正在用枪水平对准它，就在子弹出枪口时，松鼠开始运动，下述各种运动方式中，松鼠能逃脱厄运而不被击中的是(设树枝足够高)( )
A．迎着枪口，沿AB方向水平跳离树枝
B．背着枪口，沿AC方向水平跳离树枝
C．以一定速度竖直向下跳离
D．以一定速度竖直向上跳离
解析：迎着枪口或背着枪口，沿AB方向水平跳离树枝，沿AC方向水平跳离树枝这两种运动在竖直方向上也是自由落体运动，松鼠同样会被击中，都不能逃脱厄运，故A、B错误；子弹做的是平抛运动，在竖直方向上是自由落体运动，若松鼠在竖直方向有向上或向下的初速度，那么松鼠和子弹在竖直方向上的运动不同，它们可以不在同一个高度上，松鼠不会被击中，故C、D正确．
答案：CD
1－2.[平抛运动规律的应用] (2019·济南外国语学校月考)图为三个小球初始时刻的位置图，将它们同时向左水平抛出都会落到D点，DE＝EF＝FG，不计空气阻力，则关于三小球( )
A．若初速度相同，高度hA∶hB∶hC＝1∶2∶3
B．若初速度相同，高度hA∶hB∶hC＝1∶3∶5
C．若高度hA∶hB∶hC＝1∶2∶3，落地时间tA∶tB∶tC＝1∶2∶3
D．若高度hA∶hB∶hC＝1∶2∶3，初速度v1∶v2∶v3＝1：：
答案：D
1－3.[类平抛运动问题的处理方法] 如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2.P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A．A、B的运动时间相同
B．A、B沿x轴方向的位移相同
C．A、B运动过程中的加速度大小相同
D．A、B落地时速度大小相同
解析：设O点与水平面的高度差为h，由h＝gt，＝gsin θ·t可得：t1＝，t2＝，故t1＜t2，A错误；由x1＝v0t1，x2＝v0t2，可知，x1＜x2，B错误；由a1＝g，a2＝gsin θ可知，C错误；A落地的速度大小为vA＝＝，B落地的速度大小vB＝＝，所以vA＝vB，故D正确．
答案：D
[反思总结]
分解思想在平抛运动中的应用
1．解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
2．画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二 多物体的平抛问题 (师生共研)
[典例1] 如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力．则( )
A．a的飞行时间比b长
B．b的飞行时间比c长
C．a的初速度最大
D．c的末速度比b大
解析：由图知b、c的高度相同，大于a的高度，根据h＝at2，得t＝，知b、c的运动时间相同，a的飞行时间小于b、c的时间，故A、B错误；b、c的高度相同，则运动的时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，vb＞vc.对于a、b，a的高度小，则运动的时间短，而a的水平位移大，则va＞vb，可知初速度最大的是小球a，故C正确；由图知b、c的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，则b的末速度大于c的末速度，故D错误．
答案：C
[反思总结]
求解多物体平抛问题的三点注意
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
2－1.[小球落在同一点问题] 如图所示，从A、B、C三个不同的位置向右分别以vA、vB、vC的水平初速度抛出三个小球A、B、C，其中A、B在同一竖直线上，B、C在同一水平线上，三个小球均同时落在地面上的D点，不计空气阻力，则必须( )
A．先同时抛出A、B两球，且vA＜vB＜vC
B．先同时抛出B、C两球，且vA＞vB＞vC
C．后同时抛出A、B两球，且vA＞vB＞vC
D．后同时抛出B、C两球，且vA＜vB＜vC
解析：由s＝vt，B、C在同一水平线上，则两小球在空中的运动时间相同，要使两个小球同时落在地面上的D点，因BD间水平位移大于CD间水平位移，所以vB＞vC；A、B在同一竖直线上，因B、D间竖直位移大于A、D间竖直位移，B、A到D点的水平位移相同，要使两个小球同时落在地面上的D点，须满足vA＞vB，且B、C两球要先同时抛出．故A、C、D错误，B正确．
答案：B
2－2.[小球相遇问题] (多选)在如图所示的平面直角坐标系中，A、B、C三个小球沿图示方向做平抛运动，下列表述正确的是( )
A．若A、B、C同时抛出，恰好能在地面相遇，需要满足vC＞vB＞vA
B．若A、B能在地面相遇，则A、B在空中运动的时间之比为2∶1
C．若A、C在(x0,0)相遇，则一定满足vA＝vC
D．只要B、C同时开始做平抛运动，二者绝不可能相遇
答案：CD
考点三 平抛运动时间常见的四种计算方法 (师生共研)
1．对着斜面的平抛运动
运动过程如图所示．
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
[典例2] 如图所示，小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下落，下落至P点的时间为t1，若小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为t2，不计空气阻力，则t1∶t2等于( )
A．1∶2 B．∶1
C．1∶ D．1∶
解析：小球自Q处自由下落，下落至P点，则有H＝gt；小球自Q处水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，如图所示，则有vy＝v0＝gt2，h＝gt，x＝v0t2，在平抛运动中，有＝2，则x＝2h，由几何关系知H＝x＋h，联立解得t1∶t2＝∶1，故B正确．
答案：B
2．顺着斜面的平抛运动
运动过程如图所示．
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
[典例3] 如图所示，A、B为两个挨得很近的小球，静止放于光滑斜面上，斜面足够长．在由静止释放B球的同时，将A球以某一速度v0水平抛出，当A球落于斜面上的P点时，B球的位置位于( )
A．P点以下 B．P点以上
C．P点 D．由于v0未知，故无法确定
解析：A球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，故有A球运动到P点的时间为tA＝，B球做匀变速直线运动，加速度a＝gsin θ，发生的位移为x＝，根据公式x＝at2可得B球运动到P点的时间为tB＝＝ ，当hBP＝hAP，有tB＞tA，故B球运动到P点上方，故B正确．
答案：B
3．对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同．运动时间为t＝.
[典例4] 如图所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，则v1、v2、v3之间的正确关系是( )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝5∶3∶1
C．v1∶v2∶v3＝6∶3∶2
D．v1∶v2∶v3＝9∶4∶1
解析：平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，由AB∶BC∶CD＝1∶3∶5可知，以速度v1、v2、v3水平抛出的小球，从抛出到打在挡板上的时间分别为t、2t、3t.由v1＝，v2＝，v3＝可得：v1∶v2∶v3＝∶∶＝6∶3∶2，C正确．
答案：C
4．半圆内的平抛运动
如图所示，由半径和几何关系制约时间t.
h＝gt2
R±＝v0t
联立两方程可求t.
[典例5] (多选)(2018·长沙联考)在某次高尔夫球比赛中，美国选手罗伯特－斯特布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内bc表面为球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，把此球以大小不同的初速度v0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说法正确的是( )
A．落在球面上的最大速度为2
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上
解析：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h＝gt2，得t＝.设小球落在A点时，OA与竖直方向之间的夹角为θ，水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，到达A点时竖直方向的速度为vy，则x＝v0t＝Rsin θ，y＝＝＝Rcos θ，得v＝2gRcos θ，v＝，又由vt＝＝＝，由数学知识可知，落在球面上的小球有最小速度，当cos θ＝时，速度最小，最小速度为，故A错误，B正确；
由以上的分析可知，小球下落的时间t＝＝，其中cos θ与小球的初速度有关，故C错误；小球撞击在球面上时，根据“平抛运动速度的反向延长线交于水平位移的中点”结论可知，由于O点不在水平位移的中点，所以小球撞在球面上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击在球面上，故D正确．
答案：BD
1．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( CD )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B落地时的速度比A落地时的大
2．(2019·安徽江淮十校联考)某同学在操场练习投篮，设某次投篮篮球最后正好垂直击中篮板，击中点到篮球脱手点高度大约为0.45 m，同学离篮板的水平距离约为3 m，忽略空气阻力的影响(g取10m/s2)．则球出手时的速度大约为 ( D )
A．14.21m/s B．6.25m/s
C．8.16m/s D．10.44m/s
解析：因篮球最后正好垂直击中篮板，则研究逆过程为平抛运动，根据平抛运动的规律可得：x＝v0t，h＝gt2可得t＝0.3 s，v0＝＝m/s＝10 m/s，则球出手时的速度大约为v＝＝m/s≈10.44 m/s，故选D.
3. 如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这只小球，以下哪个图象能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的函数关系( C )
4. (2019·青岛高三调研)如图，小球甲从A点水平抛出，同时将小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，方向夹角为37° ，已知B、C高度差h＝5 m，g＝10 m/s2，两小球质量相等，不计空气阻力，由以上条件可知( )
A．小球甲作平抛运动的初速度大小为6 m/s
B．小球甲到达C点所用时间为0.8 s
C．A、B两点高度差为3.2 m
D．两小球在C点时重力的瞬时功率相等
解析：根据v2＝2gh知，乙的速度为：v＝＝10 m/s，所以甲沿水平方向的分速度，即平抛的初速度为：vx＝vsin37°＝6 m/s，故A正确；物体甲沿竖直方向的分速度为：vy＝vcos37°＝8 m/s，由vy＝gt2，所以B在空中运动的时间为：t2＝＝0.8 s，故B正确；小球甲下降的高度为：h甲＝gt＝×10×(0.8)2 m＝3.2 m，A、B两点间的高度差：Δh＝h－h甲＝5－3.2 m＝1.8 m，故C错误；两个小球完全相同，则两小球在C点重力的功率之比为pGA＝pGB＝＝＝，故D错误．
答案：AB
[A组·基础题]
1．如图所示，三个小球从同一高度处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的射影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5.若不计空气阻力，则下列说法正确的是( B )
A．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
B．三个小球下落的时间相同
C．三个小球落地的速度相同
D．三个小球落地的速率相等
2. (2019·广州惠州调研)如图所示，A，B两个平台水平距离为7.5 m某同学先用一个小球从A平台边缘以v0＝5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处．重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为 ( B )
A．6 m/s B．7.5 m/s
C．9 m/s D．11.25 m/s
解析：由平抛运动的规律可知：x＝v01t1；h＋6.25＝gt；当小球恰能落到平台B上时：x＝v02t2；h＝gt；联立解得：v02＝7.5 m/s；故选B.
3．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( C )
A. B．
C. D．
4．(2015·山东卷)距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2.可求得h等于( A )
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
5. (2018·湖南G10教育联盟高三联考)一位同学做平抛实验时，只在纸上记下重垂线y方向，未在纸上记下斜槽末端位置，并只描出如图所示的一段平抛轨迹曲线．在曲线上取A、B两点，用刻度尺分别量出到y的距离，AA′＝x1，BB′＝x2，以及AB的竖直距离h，从而可求出小球抛出的初速度v0为( A )
A.
B.
C.
D．(x2－x1)
解析：水平方向小球做匀速直线运动，则由初始点O到A过程有：x1＝v0t0 ①
由初始点O到B过程：x2＝v0t ②
竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2－gt ③
联立①②③得：v0＝，A正确．
6. (多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图象如图所示，(g取10 m/s2)则( AD )
A．第1 s物体下落的高度为5 m
B．第1 s物体下落的高度为10 m
C．物体的初速度为5 m/s
D．物体的初速度为10 m/s
7．(多选) 如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看作质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是( CD )
A．三把飞刀在击中板时动能相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为1∶∶
C．到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1
D．设到达M、N、P三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3
8．(多选)如图所示，一质点以速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右．现将该质点以2v0的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点．下列说法正确的是( AD )
A．落到M和N两点时间之比为1∶2
B．落到M和N两点速度之比为1∶1
C．M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
D．落到N点时速度方向水平向右
[B组·能力题]
9．(多选)(2017·河南洛阳尖子生一联)一个质量为m的质点以速度v0做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为.质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中( AD )
A．经历的时间为
B．经历的时间为
C．发生的位移为
D．发生的位移为
10. (2018·河南省郑州市高三二模)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学分别在M、N两点同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60° ，忽略空气阻力．则下列说法正确的是( AB )
A．两球拋出的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
解析：根据几何关系知，Q到O点的水平方向的距离等于0.5R，所以M的水平位移xM＝R－＝，N的水平位移为：xN＝R＋＝，则落在Q点的水平位移之比为1∶3，运动时间相等，则初速度之比为1∶3，A正确；若只增大v1，而v2不变，则M运动的轨迹的落点将向右一些，两球可在空中相遇，B正确；要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，则(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以v1＋v2也不是一个定值，C错误；根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，因为球心O并不是水平位移的中点，所以不可能使小球沿半径方向落在圆弧轨道内，D错误．
11. (2019·齐鲁名校联考)如图所示，是某次研究小球做平抛运动过程得到的频闪照片的一部分．已知背景正方形的边长为b，闪光频率为f.求：(各问的答案均用b、f表示)
(1)当地的重力加速度g的大小；
(2)小球通过C点瞬时速度vC的大小；
(3)小球从开始平抛到运动到A位置经历的时间tA.
解析：(1)根据Δx＝aT2可得g＝＝bf2；
(2)水平速度v0＝＝2bf，小球通过C点的竖直速度vCy＝＝，则小球经过C点的瞬时速度vC的大小：vC＝＝＝bf；
(3)小球经过A点的竖直速度：vAy＝vCy－2gT＝bf，则小球从开始平抛到运动到A位置经历的时间tA＝＝.
答案：(1)g＝bf 2 (2)vC＝bf (3)tA＝
12．(2016·浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系．
解析：(1)打在中点的微粒满足h＝gt2①
可得t＝.②
(2)打在B点的微粒，有v1＝，2h＝gt③
可得v1＝L④
同理，打在A点的微粒初速度v2＝L⑤
微粒的初速度范围L≤v≤L.⑥
(3)由能量关系可得
mv＋mgh＝mv＋2mgh⑦
代入④⑤式得L＝2h.⑧
答案：(1) (2)L≤v≤L
(3)L＝2h
第二讲 抛体运动
[小题快练]
1．判断题
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．( × )
(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．( × )
(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．( × )
(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．( × )
(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的．( √ )
(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( √ )
(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．( √ )
2．一物体从某高度以初速度v0水平抛出，落地时速度大小为v，重力加速度为g，则它运动的时间为( D )
A. B．
C. D．
3．(多选)物体以速度v0抛出做斜抛运动，则( AD )
A．在任何相等的时间内速度的变化量是相同的
B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．射高和射程都取决于v0的大小
D．v0很大，射高或射程可能很小
4. 如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(g取10 m/s2)( D )
A．0.5 m/s B．2 m/s
C．10 m/s D．20 m/s
考点一 平抛运动规律的应用 (自主学习)
1．基本规律
(1)速度关系
(2)位移关系
2．有用结论
(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．
(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示．
1－1.[对平抛运动的理解] (2019·河北廊坊联考)如图所示，蹲在树枝上的一只松鼠看到一个猎人正在用枪水平对准它，就在子弹出枪口时，松鼠开始运动，下述各种运动方式中，松鼠能逃脱厄运而不被击中的是(设树枝足够高)( )
A．迎着枪口，沿AB方向水平跳离树枝
B．背着枪口，沿AC方向水平跳离树枝
C．以一定速度竖直向下跳离
D．以一定速度竖直向上跳离
解析：迎着枪口或背着枪口，沿AB方向水平跳离树枝，沿AC方向水平跳离树枝这两种运动在竖直方向上也是自由落体运动，松鼠同样会被击中，都不能逃脱厄运，故A、B错误；子弹做的是平抛运动，在竖直方向上是自由落体运动，若松鼠在竖直方向有向上或向下的初速度，那么松鼠和子弹在竖直方向上的运动不同，它们可以不在同一个高度上，松鼠不会被击中，故C、D正确．
答案：CD
1－2.[平抛运动规律的应用] (2019·济南外国语学校月考)图为三个小球初始时刻的位置图，将它们同时向左水平抛出都会落到D点，DE＝EF＝FG，不计空气阻力，则关于三小球( )
A．若初速度相同，高度hA∶hB∶hC＝1∶2∶3
B．若初速度相同，高度hA∶hB∶hC＝1∶3∶5
C．若高度hA∶hB∶hC＝1∶2∶3，落地时间tA∶tB∶tC＝1∶2∶3
D．若高度hA∶hB∶hC＝1∶2∶3，初速度v1∶v2∶v3＝1：：
答案：D
1－3.[类平抛运动问题的处理方法] 如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2.P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A．A、B的运动时间相同
B．A、B沿x轴方向的位移相同
C．A、B运动过程中的加速度大小相同
D．A、B落地时速度大小相同
解析：设O点与水平面的高度差为h，由h＝gt，＝gsin θ·t可得：t1＝，t2＝，故t1＜t2，A错误；由x1＝v0t1，x2＝v0t2，可知，x1＜x2，B错误；由a1＝g，a2＝gsin θ可知，C错误；A落地的速度大小为vA＝＝，B落地的速度大小vB＝＝，所以vA＝vB，故D正确．
答案：D
[反思总结]
分解思想在平抛运动中的应用
1．解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
2．画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二 多物体的平抛问题 (师生共研)
[典例1] 如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力．则( )
A．a的飞行时间比b长
B．b的飞行时间比c长
C．a的初速度最大
D．c的末速度比b大
解析：由图知b、c的高度相同，大于a的高度，根据h＝at2，得t＝，知b、c的运动时间相同，a的飞行时间小于b、c的时间，故A、B错误；b、c的高度相同，则运动的时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，vb＞vc.对于a、b，a的高度小，则运动的时间短，而a的水平位移大，则va＞vb，可知初速度最大的是小球a，故C正确；由图知b、c的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，则b的末速度大于c的末速度，故D错误．
答案：C
[反思总结]
求解多物体平抛问题的三点注意
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
2－1.[小球落在同一点问题] 如图所示，从A、B、C三个不同的位置向右分别以vA、vB、vC的水平初速度抛出三个小球A、B、C，其中A、B在同一竖直线上，B、C在同一水平线上，三个小球均同时落在地面上的D点，不计空气阻力，则必须( )
A．先同时抛出A、B两球，且vA＜vB＜vC
B．先同时抛出B、C两球，且vA＞vB＞vC
C．后同时抛出A、B两球，且vA＞vB＞vC
D．后同时抛出B、C两球，且vA＜vB＜vC
解析：由s＝vt，B、C在同一水平线上，则两小球在空中的运动时间相同，要使两个小球同时落在地面上的D点，因BD间水平位移大于CD间水平位移，所以vB＞vC；A、B在同一竖直线上，因B、D间竖直位移大于A、D间竖直位移，B、A到D点的水平位移相同，要使两个小球同时落在地面上的D点，须满足vA＞vB，且B、C两球要先同时抛出．故A、C、D错误，B正确．
答案：B
2－2.[小球相遇问题] (多选)在如图所示的平面直角坐标系中，A、B、C三个小球沿图示方向做平抛运动，下列表述正确的是( )
A．若A、B、C同时抛出，恰好能在地面相遇，需要满足vC＞vB＞vA
B．若A、B能在地面相遇，则A、B在空中运动的时间之比为2∶1
C．若A、C在(x0,0)相遇，则一定满足vA＝vC
D．只要B、C同时开始做平抛运动，二者绝不可能相遇
答案：CD
考点三 平抛运动时间常见的四种计算方法 (师生共研)
1．对着斜面的平抛运动
运动过程如图所示．
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
[典例2] 如图所示，小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下落，下落至P点的时间为t1，若小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为t2，不计空气阻力，则t1∶t2等于( )
A．1∶2 B．∶1
C．1∶ D．1∶
解析：小球自Q处自由下落，下落至P点，则有H＝gt；小球自Q处水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，如图所示，则有vy＝v0＝gt2，h＝gt，x＝v0t2，在平抛运动中，有＝2，则x＝2h，由几何关系知H＝x＋h，联立解得t1∶t2＝∶1，故B正确．
答案：B
2．顺着斜面的平抛运动
运动过程如图所示．
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
[典例3] 如图所示，A、B为两个挨得很近的小球，静止放于光滑斜面上，斜面足够长．在由静止释放B球的同时，将A球以某一速度v0水平抛出，当A球落于斜面上的P点时，B球的位置位于( )
A．P点以下 B．P点以上
C．P点 D．由于v0未知，故无法确定
解析：A球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，故有A球运动到P点的时间为tA＝，B球做匀变速直线运动，加速度a＝gsin θ，发生的位移为x＝，根据公式x＝at2可得B球运动到P点的时间为tB＝＝ ，当hBP＝hAP，有tB＞tA，故B球运动到P点上方，故B正确．
答案：B
3．对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同．运动时间为t＝.
[典例4] 如图所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，则v1、v2、v3之间的正确关系是( )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝5∶3∶1
C．v1∶v2∶v3＝6∶3∶2
D．v1∶v2∶v3＝9∶4∶1
解析：平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，由AB∶BC∶CD＝1∶3∶5可知，以速度v1、v2、v3水平抛出的小球，从抛出到打在挡板上的时间分别为t、2t、3t.由v1＝，v2＝，v3＝可得：v1∶v2∶v3＝∶∶＝6∶3∶2，C正确．
答案：C
4．半圆内的平抛运动
如图所示，由半径和几何关系制约时间t.
h＝gt2
R±＝v0t
联立两方程可求t.
[典例5] (多选)(2018·长沙联考)在某次高尔夫球比赛中，美国选手罗伯特－斯特布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内bc表面为球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，把此球以大小不同的初速度v0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说法正确的是( )
A．落在球面上的最大速度为2
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上
解析：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h＝gt2，得t＝.设小球落在A点时，OA与竖直方向之间的夹角为θ，水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，到达A点时竖直方向的速度为vy，则x＝v0t＝Rsin θ，y＝＝＝Rcos θ，得v＝2gRcos θ，v＝，又由vt＝＝＝，由数学知识可知，落在球面上的小球有最小速度，当cos θ＝时，速度最小，最小速度为，故A错误，B正确；
由以上的分析可知，小球下落的时间t＝＝，其中cos θ与小球的初速度有关，故C错误；小球撞击在球面上时，根据“平抛运动速度的反向延长线交于水平位移的中点”结论可知，由于O点不在水平位移的中点，所以小球撞在球面上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击在球面上，故D正确．
答案：BD
1．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( CD )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B落地时的速度比A落地时的大
2．(2019·安徽江淮十校联考)某同学在操场练习投篮，设某次投篮篮球最后正好垂直击中篮板，击中点到篮球脱手点高度大约为0.45 m，同学离篮板的水平距离约为3 m，忽略空气阻力的影响(g取10m/s2)．则球出手时的速度大约为 ( D )
A．14.21m/s B．6.25m/s
C．8.16m/s D．10.44m/s
解析：因篮球最后正好垂直击中篮板，则研究逆过程为平抛运动，根据平抛运动的规律可得：x＝v0t，h＝gt2可得t＝0.3 s，v0＝＝m/s＝10 m/s，则球出手时的速度大约为v＝＝m/s≈10.44 m/s，故选D.
3. 如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这只小球，以下哪个图象能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的函数关系( C )
4. (2019·青岛高三调研)如图，小球甲从A点水平抛出，同时将小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，方向夹角为37° ，已知B、C高度差h＝5 m，g＝10 m/s2，两小球质量相等，不计空气阻力，由以上条件可知( )
A．小球甲作平抛运动的初速度大小为6 m/s
B．小球甲到达C点所用时间为0.8 s
C．A、B两点高度差为3.2 m
D．两小球在C点时重力的瞬时功率相等
解析：根据v2＝2gh知，乙的速度为：v＝＝10 m/s，所以甲沿水平方向的分速度，即平抛的初速度为：vx＝vsin37°＝6 m/s，故A正确；物体甲沿竖直方向的分速度为：vy＝vcos37°＝8 m/s，由vy＝gt2，所以B在空中运动的时间为：t2＝＝0.8 s，故B正确；小球甲下降的高度为：h甲＝gt＝×10×(0.8)2 m＝3.2 m，A、B两点间的高度差：Δh＝h－h甲＝5－3.2 m＝1.8 m，故C错误；两个小球完全相同，则两小球在C点重力的功率之比为pGA＝pGB＝＝＝，故D错误．
答案：AB
[A组·基础题]
1．如图所示，三个小球从同一高度处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的射影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5.若不计空气阻力，则下列说法正确的是( B )
A．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
B．三个小球下落的时间相同
C．三个小球落地的速度相同
D．三个小球落地的速率相等
2. (2019·广州惠州调研)如图所示，A，B两个平台水平距离为7.5 m某同学先用一个小球从A平台边缘以v0＝5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处．重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为 ( B )
A．6 m/s B．7.5 m/s
C．9 m/s D．11.25 m/s
解析：由平抛运动的规律可知：x＝v01t1；h＋6.25＝gt；当小球恰能落到平台B上时：x＝v02t2；h＝gt；联立解得：v02＝7.5 m/s；故选B.
3．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( C )
A. B．
C. D．
4．(2015·山东卷)距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2.可求得h等于( A )
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
5. (2018·湖南G10教育联盟高三联考)一位同学做平抛实验时，只在纸上记下重垂线y方向，未在纸上记下斜槽末端位置，并只描出如图所示的一段平抛轨迹曲线．在曲线上取A、B两点，用刻度尺分别量出到y的距离，AA′＝x1，BB′＝x2，以及AB的竖直距离h，从而可求出小球抛出的初速度v0为( A )
A.
B.
C.
D．(x2－x1)
解析：水平方向小球做匀速直线运动，则由初始点O到A过程有：x1＝v0t0 ①
由初始点O到B过程：x2＝v0t ②
竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2－gt ③
联立①②③得：v0＝，A正确．
6. (多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图象如图所示，(g取10 m/s2)则( AD )
A．第1 s物体下落的高度为5 m
B．第1 s物体下落的高度为10 m
C．物体的初速度为5 m/s
D．物体的初速度为10 m/s
7．(多选) 如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看作质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是( CD )
A．三把飞刀在击中板时动能相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为1∶∶
C．到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1
D．设到达M、N、P三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3
8．(多选)如图所示，一质点以速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右．现将该质点以2v0的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点．下列说法正确的是( AD )
A．落到M和N两点时间之比为1∶2
B．落到M和N两点速度之比为1∶1
C．M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
D．落到N点时速度方向水平向右
[B组·能力题]
9．(多选)(2017·河南洛阳尖子生一联)一个质量为m的质点以速度v0做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为.质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中( AD )
A．经历的时间为
B．经历的时间为
C．发生的位移为
D．发生的位移为
10. (2018·河南省郑州市高三二模)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学分别在M、N两点同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60° ，忽略空气阻力．则下列说法正确的是( AB )
A．两球拋出的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
解析：根据几何关系知，Q到O点的水平方向的距离等于0.5R，所以M的水平位移xM＝R－＝，N的水平位移为：xN＝R＋＝，则落在Q点的水平位移之比为1∶3，运动时间相等，则初速度之比为1∶3，A正确；若只增大v1，而v2不变，则M运动的轨迹的落点将向右一些，两球可在空中相遇，B正确；要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，则(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以v1＋v2也不是一个定值，C错误；根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，因为球心O并不是水平位移的中点，所以不可能使小球沿半径方向落在圆弧轨道内，D错误．
11. (2019·齐鲁名校联考)如图所示，是某次研究小球做平抛运动过程得到的频闪照片的一部分．已知背景正方形的边长为b，闪光频率为f.求：(各问的答案均用b、f表示)
(1)当地的重力加速度g的大小；
(2)小球通过C点瞬时速度vC的大小；
(3)小球从开始平抛到运动到A位置经历的时间tA.
解析：(1)根据Δx＝aT2可得g＝＝bf2；
(2)水平速度v0＝＝2bf，小球通过C点的竖直速度vCy＝＝，则小球经过C点的瞬时速度vC的大小：vC＝＝＝bf；
(3)小球经过A点的竖直速度：vAy＝vCy－2gT＝bf，则小球从开始平抛到运动到A位置经历的时间tA＝＝.
答案：(1)g＝bf 2 (2)vC＝bf (3)tA＝
12．(2016·浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系．
解析：(1)打在中点的微粒满足h＝gt2①
可得t＝.②
(2)打在B点的微粒，有v1＝，2h＝gt③
可得v1＝L④
同理，打在A点的微粒初速度v2＝L⑤
微粒的初速度范围L≤v≤L.⑥
(3)由能量关系可得
mv＋mgh＝mv＋2mgh⑦
代入④⑤式得L＝2h.⑧
答案：(1) (2)L≤v≤L
(3)L＝2h
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