2020届高考数学一轮复习：课时作业65《二项式定理》(含解析) 练习

课时作业65　二项式定理

1．(2019·唐山五校联考)6的展开式中的常数项为(　A　)

A．15 B．－15

C．20 D．－20

解析：依题意，Tr＋1＝C(x2)6－rr＝C(－1)rx12－3r，令12－3r＝0，则r＝4，所以6的展开式中的常数项为C(－1)4＝15，选择A.

2．(2019·山东滨州模拟)(2－x)n的展开式中所有二项式系数和为64，则x3的系数为(　A　)

A．－160 B．－20

C．20 D．160

解析：由(2－x)n的展开式中所有二项式系数和为64，得2n＝64，即n＝6.

(2－x)6的通项为Tr＋1＝C·26－r·(－x)r＝(－1)r·C·26－r·xr，

取r＝3，可得x3的系数为(－1)3·C·23＝－160.故选A.

3．(2019·河南信阳模拟)(x2＋1)5的展开式的常数项是(　D　)

A．5 B．－10

C．－32 D．－42

4．(2019·山东烟台模拟)已知n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(　B　)

A．5 B．40

C．20 D．10

解析：由n的展开式的各项系数和为243，得3n＝243，即n＝5，

∴n＝5，

则Tr＋1＝C·(x3)5－r·r＝2r·C·x15－4r，令15－4r＝7，得r＝2，

∴展开式中x7的系数为22×C＝40.

故选B.

5．(2019·安徽马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　D　)

A．3 B．5

C．6 D．7

6．在10的展开式中，x2的系数为(　C　)

A．10 B．30

C．45 D．120

解析：因为10＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2只出现在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45.

7．(2019·海口调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　D　)

A.   B.

C．1 D．2

解析：由题意得10的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·k＝Cx10－2k，10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.

8．已知n为满足S＝a＋C＋C＋C＋…＋C(a≥3)能被9整除的正数a的最小值，则n的展开式中，二项式系数最大的项为(　B　)

A．第6项 B．第7项

C．第11项 D．第6项和第7项

解析：由于S＝a＋C＋C＋C＋…＋C＝a＋227－1＝89＋a－1＝(9－1)9＋a－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C＋a－1＝9×(C×98－C×97＋…＋C)＋a－2，a≥3，所以n＝11，从而11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，所以第7项系数最大．

9．(2018·天津卷)在5的展开式中，x2的系数为.

11．(2019·广州五校联考)若6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝0.

12．(2019·江西赣州十四县联考)若n的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A＝9(C－B)，则展开式中x2的系数为.

13．(2019·河北邯郸模拟)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　C　)

A．15 B．45

C．135 D．405

14．(2019·漯河质检)若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于(　D　)

A.(3n－1)   B.(3n－2)

C.(3n－2)   D.(3n－1)

解析：在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n

＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，

即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝＝(3n－1)．

15．(2019·湖北黄冈模拟)设(1－ax)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018＝2 018a(a≠0)，则实数a＝2.

解析：已知(1－ax)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，两边同时对x求导，

得2 018(1－ax)2 017(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 018a2 018x2 017，

令x＝1得，－2 018a(1－a)2 017＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018＝2 018a，

又a≠0，所以(1－a)2 017＝－1，

即1－a＝－1，故a＝2.

16．若等差数列{an}的首项为a1＝C－A(m∈N)，公差是n的展开式中的常数项，其中n为7777－15除以19的余数，则an的通项公式为104－4n.

解析：由题意，⇒≤m≤，

又m∈N，∴m＝2，∴a1＝C－A＝100.

∵7777－15＝(19×4＋1)77－15＝C＋C(19×4)＋…＋C(19×4)77－15＝(19×4)[C＋C(19×4)＋…＋C(19×4)76]－19＋5，

∴7777－15除以19的余数为5，即n＝5.

∴5展开式的通项为

令5r－15＝0，得r＝3，

∴公差d＝C5－6(－1)3＝－4，

∴an＝a1＋(n－1)d＝104－4n.