2020届高考数学一轮复习：课时作业39《直接证明与间接证明》(含解析) 练习

课时作业39　直接证明与间接证明

1．(2019·天津一中月考)用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是(　B　)

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a能被5整除

解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”的否定是“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b都不能被5整除”，故选B.

2．(2019·河北邢台模拟)用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多有一个钝角”，假设正确的是(　C　)

A．假设三角形的三个内角都是锐角

B．假设三角形的三个内角都是钝角

C．假设三角形的三个内角中至少有两个钝角

D．假设三角形的三个内角中至少有两个锐角

解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”．故选C.

3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中判断正确的个数是(　C　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然正确；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错误．

4．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　A　)

A．A≤B≤C  B．A≤C≤B

C．B≤C≤A  D．C≤B≤A

解析：因为≥≥，

又f(x)＝x在R上是单调减函数，

故f≤f()≤f，

即A≤B≤C.

5．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　C　)

A．至少有一个不大于2  B．都小于2

C．至少有一个不小于2  D．都大于2

解析：假设a，b，c都小于2，

则a＋b＋c＜6，

而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c＜6矛盾，

∴a，b，c都小于2不成立．

∴a，b，c三个数至少有一个不小于2，故选C.

6．在等比数列{an}中，a1＜a2＜a3是数列{an}递增的(　C　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当a1＜a2＜a3时，设公比为q，

由a1＜a1q＜a1q2得

若a1＞0，则1＜q＜q2，即q＞1，

此时，显然数列{an}是递增数列，

若a1＜0，则1＞q＞q2，即0＜q＜1，

此时，数列{an}也是递增数列，

反之，当数列{an}是递增数列时，

显然a1＜a2＜a3.

故a1＜a2＜a3是等比数列{an}递增的充要条件．

7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为　a＜b　.

解析：a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然＜，所以a＜b.

8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为　cn＞cn＋1　.

解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，

∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1＜cn.

9．(2019·长春模拟)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是　　.

解析：若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，

则

解得p≤－3或p≥，

故满足题干要求的p的取值范围为.

10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是　钝角　三角形．

解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．

由

得

那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．

所以假设不成立．假设△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2＝，则cosA1＝sinA2＝1，A1＝0，矛盾．

所以△A2B2C2是钝角三角形．

11．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，

即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.

∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，

从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，

∴2a3－b3≥2ab2－a2b.

12．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.

证明：要证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc，

只需证lg＞lgabc，

只需证··＞abc.

因为a，b，c是不全相等的正数，

所以≥，≥，≥(三个式子中等号不同时成立)．

所以显然有··＞abc成立，原不等式得证．

13．已知函数f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.

证明：要证明≥f，

即证明≥3－2·，

因此只要证明－(x1＋x2)≥3－(x1＋x2)，

即证明≥3，

因此只要证明≥，

由于当x1，x2∈R时，3x1＞0,3x2＞0，

由基本不等式知≥显然成立，当且仅当x1＝x2时，等号成立，故原结论成立．

14．已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.

(1)求证：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：如图，由已知得SA2＋AD2＝SD2，

∴SA⊥AD.

同理SA⊥AB.

又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴SA⊥平面ABCD.

(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.

∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.

∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，

∴平面FBC∥平面SAD.

这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．

∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.

15．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解：(1)由已知得解得d＝2，

故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．

(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.

即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．

∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.

∵p，q，r∈N*，

∴

∴2＝q2＝pr，(p－r)2＝0.

∴p＝r，

与p≠r矛盾．

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

16．(2019·衡阳调研)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．

(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

解：(1)因为四边形OABC为菱形，

则AC与OB相互垂直平分．

由于O(0,0)，B(0,1)，所以设点A，代入椭圆方程得＋＝1，

则t＝±，故|AC|＝2.

(2)证明：假设四边形OABC为菱形，

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由消去y并整理得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

＝－，＝k·＋m＝.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－，

因为k·＝－≠－1，所以AC与OB不垂直．

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．