2020届高考数学一轮复习：课时作业11《函数与方程》(含解析) 练习

课时作业11　函数与方程

1．(2019·烟台模拟)函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　B　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln3－＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.

2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　B　)

A．y＝logx B．y＝2x－1

C．y＝x2－ D．y＝－x3

解析：函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增，故选B.

3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(1,3) B．(1,2)

C．(0,3) D．(0,2)

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.

4．(2019·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　D　)

A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)

C.   D.

解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，

即a＝x＋在上有解，

设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.

∴实数a的取值范围是.

5．(2019·安徽安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为(　B　)

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故f(x)有2个零点，故选B.

6．(2019·安徽马鞍山一模)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　C　)

A．[1,2] B．(1,2)

C．(－2，－1) D．[－2，－1]

解析：函数f(x)＝的图象如图：

关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，即[f(x)＋a][f(x)－1]＝0有7个不等的实数根，易知f(x)＝1有3个不等的实数根，∴f(x)＝－a必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1,2)，∴a∈(－2，－1)．故选C.

7．已知函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为(　B　)

A. B．22n－1＋2n－1

C. D．2n－1

解析：函数f(x)＝

在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则f(x)是连续函数，可得m＝1.画出y＝f(x)与y＝x的图象如图，图象交点的横坐标就是函数g(x)＝f(x)－x的零点．由图知，函数g(x)在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝22n－1＋2n－1，故选B.

8．(2019·广东茂名一模)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝|f(x)|－ae－|x|在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是(　B　)

A．(0,1) B．(e，e3)

C．(e，e2) D．(1，e3)

解析：f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)且为奇函数，

则f(x)的图象关于x＝1对称，

且f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，

∴－f(－x)＝f(2－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，

∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.

令m(x)＝|f(x)|，n(x)＝ae－|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，

可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a＞0，

由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032个零点，只需m(x)与n(x)的图象在[0,4]上有两个交点，则可得e＜a＜e3，故选B.

9．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是　(－∞，0)∪(1，＋∞)　.

解析：令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x＞a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a＜0或φ(a)＞h(a)，即a＜0或a3＞a2，解得a＜0或a＞1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．

10．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为　f(a)＜f(1)＜f(b)　.

解析：由题意，知f′(x)＝ex＋1＞0恒成立，

所以函数f(x)在R上是单调递增的，

而f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，

f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，

所以函数f(x)的零点a∈(0,1)；

由题意，知g′(x)＝＋1＞0，

所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，

又g(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln2＋2－2＝ln2＞0，

所以函数g(x)的零点b∈(1,2)．

综上，可得0＜a＜1＜b＜2.

因为f(x)在R上是单调递增的，

所以f(a)＜f(1)＜f(b)．

11．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得

g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，

易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，

由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

12．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．

解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.

∵f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，∴a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.

(2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x＞0)，

∴g′(x)＝1＋－＝.

令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：

当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，

因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，

故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．

13．(2019·河南安阳模拟)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a·(x2－x)，若f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是(　A　)

A．[0,1] B．[－1,0]

C．[0,2] D．[－1,1]

解析：令f(x)＝0，可得ln(x＋1)＝－a(x2－x)，

令g(x)＝ln(x＋1)，h(x)＝－a(x2－x)，

∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，

∴g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点．显然当a＝0时符合题意；

当a＜0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图1所示，

显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；

当a＞0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图2所示，

若两函数图象在y轴右侧无交点，

则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.

综上，0≤a≤1，故选A.

图1

图2

14．(2019·福建宁德一模)已知函数f(x)＝若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是(　C　)

A．[0，＋∞) B．[1,3]

C.   D.

解析：∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，

∴f(x)＝－1或f(x)＝－(k≠0)．

(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，

由图象可知f(x)＝－1无解，

∴k＝0不符合题意；

(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，

由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－无解，

即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；

(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，

由图象可知f(x)＝－1有1个实根，

∵f(f(x))－2＝0有3个实根，

∴f(x)＝－有2个实根，

∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.

综上，k的取值范围是，故选C.

15．对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是　[－2,1)　.

解析：解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，

所以f(x)＝

函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．作出函数f(x)的图象如图所示，

所以－1＜－k≤2，故－2≤k＜1.

16．(2019·郑州模拟)若a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为　1　.

解析：设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，

则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m＞0，n＞0)．

因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，

所以A，B两点关于直线y＝x对称．

又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，

所以m＋n＝4.

又m＞0，n＞0，所以＋＝·＝≥＝1.

当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．

所以＋的最小值为1.