2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第8章第8讲　立体几何中的向量方法（二）求空间角 (含解析)

第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角

一、选择题

1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).

∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，

∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，

∴⊥，

∴AC与B1D所成的角为.

答案　D

2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，

所以＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).

令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋y＝0，n·＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，

所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.

答案　B

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系

A－xyz，设棱长为1，

则A1(0，0，1)，

E，D(0，1，0)，

∴＝(0，1，－1)，

＝，

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得

∴n1＝(1，2，2).

∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，

∴ cos〈n1，n2〉＝＝.

即所成的锐二面角的余弦值为.

答案　B

4.(2017·西安调研)已知六面体ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为(　　)

A.45°    B.60°

C.90°   D.30°

解析　如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系.

则A，C，B1，D，C1，

∴＝，＝，＝(0，0，a).

设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，

由n·＝0，n·＝0，可取n＝(，1，－2).

∴cos〈，n〉＝＝＝－，

∴直线CC1与平面AB1D所成的角为45°.

答案　A

5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(　　)

A.   B. C.   D.

解析　如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，＝(2，0，0)，＝(2，2，0)，

设平面A1BD的一个法向量

n＝(x，y，z)，则

∴令z＝1，得n＝(－1，1，1).

∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

答案　D

二、填空题

6.(2017·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.

解析　以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，

则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，∴·＝2，

∴cos〈，〉＝＝，

∴EF和BC1所成的角为60°.

答案　60°

7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________.

解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2).

设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝ (2，－2，1).

设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.

答案　

8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.

解析　延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.

设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角.

∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.

答案　

三、解答题

9.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC，

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

(1)证明　如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.

在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.

又AE⊥EC，

所以EG＝，且EG⊥AC.

在Rt △EBG中，可得BE＝，故DF＝.

在Rt △FDG中，可得FG＝.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，

从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.

因为EG⊂平面AEC，

所以平面AEC⊥平面AFC.

(2)解　如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，

由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，

C(0，，0).

所以＝(1，，)，＝.

故cos〈，〉＝＝－.

所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.

10.(2016·全国Ⅰ卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.

(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(2)求二面角E－BC－A的余弦值.

(1)证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥EF，

所以AF⊥平面EFDC.

又AF⊂平面ABEF，

故平面ABEF⊥平面EFDC.

(2)解　过D作DG⊥EF，垂足为G.

由(1)知DG⊥平面ABEF.

以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.

由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝.

可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，).

由已知得AB∥EF，所以AB∥平面EFDC.

又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，

故AB∥CD，CD∥EF.

由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，

所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°.

从而可得C(－2，0，).

所以＝(1，0，)，＝(0，4，0)，＝(－3，－4，)，＝(－4，0，0).

设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，

则即

所以可取n＝(3，0，－).

设m是平面ABCD的法向量，则

同理可取m＝(0，，4).

则cos〈n，m〉＝＝－.

故二面角E－BC－A的余弦值为－.

11.(2017·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，

∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，

∴cos〈，〉＝＝＝＝＞0.

∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，

∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.

答案　A

12.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是(　　)

A.30°   B.45°   C.60°   D.90°

解析　如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P.

则＝(2a，0，0)，＝，

＝(a，a，0)，

设平面PAC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则解得可取n＝(0，1，1)，

则 cos〈，n〉＝＝＝，

又∵〈，n〉∈(0°，180°)，∴〈，n〉＝60°，

∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.

答案　A

13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为__________.

解析　∵＝＋＋，

∴·＝||·||· cos〈，〉＝－24.

∴ cos〈，〉＝－.

又所求二面角与〈，〉互补，

∴所求的二面角为60°.

答案　60°

14.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

解　(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，知BC∥ED，且BC＝ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)

(2)法一　由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.

所以∠PDA＝45°.

设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，

则AQ⊥平面PCE.

所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，

所以AH＝.

在Rt△PAH中，PH＝＝，

所以sin∠APH＝＝.

法二　由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD.

于是CD⊥PD.

从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.

所以∠PDA＝45°.

由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.

设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.

作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，

所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2)，

设平面PCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由得

设x＝2，解得n＝(2，－2，1).

设直线PA与平面PCE所成角为α，

则sin α＝＝＝.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.