2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第8讲　二项分布与正态分布 (含解析)

第8讲　二项分布与正态分布

一、选择题

1.(2014·全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)

A.0.8   B.0.75   C.0.6   D.0.45

解析　记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.

答案　A

2.(2017·衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　三次均反面朝上的概率是＝，所以至少一次正面朝上的概率是1－＝.

答案　D

3.(2016·青岛一模)设随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋X不存在零点的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　∵函数f(x)＝x2＋2x＋X不存在零点，∴Δ＝4－4X<0，∴X>1，∵X～N(1，σ2)，∴P(X>1)＝，故选C.

答案　C

4.(2017·武昌区模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由题意得(1－p)＋p＝，∴p＝，故选B.

答案　B

5.(2016·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)

A.C    B.C

C.C    D.C

解析　由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，

所以P(X＝12)＝C××.

答案　D

二、填空题

6.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

解析　设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).

依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.

根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

答案　0.72

7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800＜X≤900的概率为p0，则p0＝________.

解析　由X～N(800，502)，知μ＝800，σ＝50，

又P(700＜X≤900)＝0.954 4，

则P(800＜X≤900)＝×0.954 4＝0.477 2.

答案　0.477 2

8.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.

解析　∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.

答案　

三、解答题

9.(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.

解　(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，

A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，

B为“顾客抽奖1次能获奖”，

则表示“顾客抽奖1次没有获奖”.

由题意A1与A2相互独立，则1与2相互独立，且＝1·2，

因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，

所以P()＝P(1·2)＝·＝，

故所求事件的概率P(B)＝1－P()＝1－＝.

(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C，

由P(C)＝P(A1·A2) ＝P(A1)·P(A2)＝，

顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X～B，

于是P(X＝0)＝C＝，

P(X＝1)＝C＝，

P(X＝2)＝C＝，

P(X＝3)＝C＝.

故X的分布列为

10.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.

(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；

(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列.

解　(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(A　　)＋P(B)＋P(　　C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.

(2)甲被录取的概率为P甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.75×0.4＝0.3.

∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X～B(3，0.3)，X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝k)＝C(0.3)k·(1－0.3)3－k.

故P(X＝0)＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343，

P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，

P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，

P(X＝3)＝C×0.33＝0.027，

故X的分布列为

11.(2016·郑州二模)先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x≠y”，则概率P(B|A)＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　若x＋y为偶数，则x，y两数均为奇数或均为偶数.故P(A)＝＝，又A，B同时发生，基本事件一共有2×3×3－6＝12个，∴P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.

答案　D

12.(2017·长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　乙队3∶0获胜的概率为，乙队3∶1获胜的概率为×＝，乙队3∶2获胜的概率为×＝.∴最后乙队获胜的概率为P＝＋＋＝，故选C.

答案　C

13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.

解析　设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(AB＋AB＋AB)C，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率

P＝×＝.

答案　

14.(2016·山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星对”得3分；如果只有一人猜对，则“星对”得1分；如果两人都没猜对，则“星对”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列.

解　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，

记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，

记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.

由事件的独立性与互斥性，得

P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)

＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋

P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋

P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝.

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.

由事件的独立性与互斥性，得

P(X＝0)＝×××＝，

P(X＝1)＝2×＝＝，

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，

P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，

P(X＝4)＝2×＝＝，

P(X＝6)＝×××＝＝.

可得随机变量X的分布列为