2020版江苏高考数学一轮复习学案：第48课《双曲线的标准方程和几何性质》(含解析)

第48课　双曲线的标准方程和几何性质

1. 了解双曲线的定义和几何图形.

2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.

3. 了解双曲线的简单几何性质.

1. 阅读：选修11第37～41页(理科阅读选修21相应内容).

2. 解悟：①双曲线的几何性质(对称性、取值范围、顶点、渐近线、离心率)；②双曲线的离心率是反映了双曲线形状的一个重要量，它与之间满足一个什么关系？③求离心率关键要寻找何种等式？

3. 践习：在教材空白处，完成选修11第39页练习第3题，第45页习题第1，6题(理科完成选修21相应任务).

　基础诊断　

1. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为　－＝1　.

解析：由题意得双曲线的半焦距为c＝，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为，可得a＝2，b＝，所以双曲线方程为－＝1.

2. 若双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为　y＝±2x　.

解析：双曲线x2＋my2＝1中a＝1，b＝.因为双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，所以2＝4，所以m＝－，所以双曲线方程为x2－＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

3. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为　　.

解析：因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于2a，即点F(c，0)到直线bx±ay＝0的距离等于2a，即＝2a，即b＝2a，所以e2＝＝1＋＝5，即双曲线的离心率为e＝.

4. 经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为　－＝1　.

解析：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，将点A(3，－1)代入方程得－＝1，得a2＝8，所以双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，将点A(3，－1)代入方程得－＝1，得b2＝－8(舍).综上，该双曲线的方程为－＝1.

　范例导航　

考向❶  求双曲线的标准方程

例1　(1) 双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程；

(2) 与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点A(3，4)，求双曲线的标准方程.

　解析：(1) 设双曲线方程为＋＝1(mn<0).

因为经过点P，Q，

所以有解得

故所求双曲线方程为－＝1.

(2) 因为所求双曲线与双曲线－＝1有共同的渐近线，

所以设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点A(3，4)代入得－＝λ，则λ＝－3，

故所求双曲线方程为－＝1.

双曲线有一条渐近线l：y＝x，有一条准线l：y＝，求双曲线的标准方程.

解析：由题意知双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1，则又因为a2＋b2＝c2，所以

所以双曲线的标准方程为－＝1.

考向❷  求双曲线的离心率

例2　已知过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，求双曲线的离心率.

解析：如图.因为＝2，

所以A为线段BF的中点， 所以∠2＝∠3.

因为∠1＝∠2，所以∠2＝60°，

所以＝tan60°＝，

所以e2＝1＋＝4，所以e＝2.

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　　Ｗ.

解析：双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，与抛物线C2：x2＝2py联立，可得x＝0或x＝±，取A.设抛物线C2的焦点为P，则kAP＝.因为△OAB的垂心为C2的焦点，所以·＝－1，化简得5a2＝4b2，所以5a2＝4(c2－a2)，所以e＝＝.

考向❸  双曲线性质的简单应用

例3　已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－).

(1) 求双曲线的标准方程；

(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；

(3) 在(2)的条件下，求△F1MF2的面积.

解析：(1) 因为e＝，

所以＝，所以c2＝2a2.

又c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝2a2，所以a＝b，

所以设双曲线方程为x2－y2＝k(k≠0).

因为双曲线经过点(4，－)，

所以k＝16－10＝6，

故所求双曲线方程为－＝1.

(2) 由(1)知，双曲线的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0).

因为点M(3，m)在双曲线上，所以m2＝3.

又·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝m2－3＝0，

所以⊥，

所以点M在以F1F2为直径的圆上.

(3) 由(2)知，F1F2＝4，m2＝3，

所以|m|＝，

S△F1MF2＝F1F2·|m|＝×4×＝6.

　自测反馈　

1. 已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为　－＝1　.

解析：由题意得＝，c＝5，所以a＝4，b＝＝3，所以双曲线C的方程为－＝1.

2. 已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1·PF2＝32，则∠F1PF2＝　90°　.

解析：由－＝1得c2＝25.因为PF1－PF2＝2a＝6，PF1·PF2＝32，所以PF＋PF＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝36＋64＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.又因为0°<∠F1PF2<180°，所以∠F1PF2＝90°.

3. 已知F，A分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为　　.

解析：由题意得F(－c，0)，A(a，0)，则·＝(c，b)·(－a，b)＝0，即b2＝ac，c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去).

4. 若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为　　.

解析：由题意，对于椭圆有a2－b2＝c，e＝＝，则c1＝a，把c1＝a代入a2－b2＝c，得b2＝a2.在双曲线－＝1中，a2＋b2＝c，b2＝a2，所以a2＝c，所以e＝＝.

1. 方程mx2＋ny2＝1表示双曲线需要满足的条件为mn<0.

2. 与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，等轴双曲线的方程可设x2－y2＝λ(λ≠0).

3. 你还有哪些体悟，写下来：