2020版江苏高考数学一轮复习学案：第10课《幂函数》(含解析)

____第10课__幂__函__数____

1. 了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质．

2. 了解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的值的大小．

3. 进一步体会数形结合的思想.

1. 阅读必修1第88～89页，理解幂函数的定义，并与指数函数的定义作比较．

2. 结合第88页例1总结出幂函数的定义域、奇偶性与指数的关系．

3.  作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x等幂函数的图象，结合第89页练习第2、4题及第90页习题第1、3、4题，总结幂函数的图象的规律特征.

　基础诊断　

1.  比较下列各组数的大小：

(1) －2.4__>__(－4.2)；

(2) __<__；

(3) (－π)__>__5.

2. 若幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点，则n＝__－__．

解析：由题意可得

解得n＝－，故n的值为－.

3.  若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝____．

4. 若幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m＝__1或2__．

解析：由题意得，m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.由m＝1时，y＝x－2的图象不经过原点；由m＝2时，y＝x0的图象不经过原点．故实数m的值为1或2.

　范例导航　

考向❶  幂函数的定义与图象

例1　已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点.

(1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；

(2) 求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．

解析：(1) 设f(x)＝xα，

因为图象过点(，2)，故2＝()α，解得α＝2，

所以f(x)＝x2.

设g(x)＝xβ，因为图象过点，

所以＝2β，解得β＝－2，所以g(x)＝x－2.

(2) 在同一平面直角坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示. 由图象可知，函数f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1，1)，

所以①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；

②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；

③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．

若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝试求函数h(x)的最大值以及单调区间．

解析：求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，

则有h(x)＝

根据图象可知函数h(x)的最大值为1，

单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).

考向❷

例2　比较下列各组数中值的大小：

(1) 30.8，30.7；　(2) 0.213，0.233；

(3) 2，1.8；  (4) 4.1，3.8－和(－1.9).

解析：(1) 因为函数y＝3x是增函数，

所以30.8>30.7.

(2) 因为函数y＝x3是增函数，

所以0.213<0.233.

(3) 因为2>1.8>1.8，所以2>1.8.

(4) 因为4.1>1＝1，0<3.8－<1－＝1，(－1.9)<0，所以(－1.9) <3.8－<4.1.

已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围为__(0，＋∞)__．

解析：根据幂函数y＝x1.3的图象可知，当0<x<1时，0<y<1，所以0<0.71.3<1.

又根据幂函数y＝x0.7的图象可知，当x>1时，y>1，所以1.30.7>1.

于是0.71.3<1.30.7.

对于幂函数y＝xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知，

当x>0时，随着x的增大，函数值也增大，

所以m>0.故实数m的取值范围为(0，＋∞).

考向❸  幂函数的简单综合

例3　已知函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．

解析：因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

所以m2－2m－3<0，解得－1<m<3.

因为m∈N*，所以m＝1或m＝2.

又函数的图象关于y轴对称，

所以m2－2m－3是偶数，

当m＝2时，22－2×2－3＝－3为奇数，

当m＝1时，12－2×1－3＝－4为偶数，

所以m＝1.

又y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，

所以(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，

解得a<－1或<a<.

故a的取值范围为{a|a<－1或<a<}．

已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．

(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2) 若该函数经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解析：(1) 因为m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，且m与m＋1中必有一个为偶数，所以m(m＋1)为偶数．

所以函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．

(2) 因为函数f(x)经过点(2，)，所以＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，

所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.

又因为m∈N*，所以m＝1.

由f(2－a)>f(a－1)得

解得1≤a<，

所以a的取值范围为.

　自测反馈　

1.  已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)过点，则f(x)＝__x－__．

解析：由题意得，＝，即＝2＝，所以α＝－，所以f(x)＝x－.

2. 设α∈，则使函数y＝xα为奇函数且定义域为R的所有α的值为__1，3__．

解析：当α＝－1时，y＝x－1＝，此时函数的定义域为{x|x≠0}，不符合题意；当α＝时，y＝x＝，此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意；当α＝1时，y＝x，此时函数的定义域为R，且是奇函数，符合题意；当α＝2时，y＝x2，此时函数的定义域为R，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y＝x3，此时函数的定义域为R，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3.

3. 下列命题中正确的有__②⑤__．(填序号)

①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)；

②幂函数的图象不可能在第四象限；

③当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

④当α>0时，幂函数y＝xα是增函数；

⑤当α<0时，幂函数y＝xα在第一象限内的函数值随x值的增大而减小．

解析：①当y＝x－1时，函数图象不过点(0，0)，故①错误；②当x>0时，必有y>0，故幂函数的图象不可能在第四象限，故②正确；③当α＝0时，y＝xα中x≠0，故其图象是去掉点(0，1)的一条直线，故③错误；④函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故④错误；⑤显然正确，故填②⑤.

4. 已知幂函数y＝x为偶函数，其中m，n是取自集合{1，2，3}的两个不同值，则函数f(x)＝xn－2x＋1的最小值为__0__．

解析：因为幂函数y＝x＝是偶函数，所以n＝2，所以f(x)＝xn－2x＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2.故函数f(x)的最小值为0.

1. 幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；最多只会出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．

2. 作幂函数图象时要联系函数的定义域、单调性、奇偶性等性质，先作在第一象限内的图象，再运用函数性质作出完整图象．

3. 你还有哪些体悟，写下来：