2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第22讲《正弦定理和余弦定理》(含解析)

课时作业(二十二)　第22讲　正弦定理和余弦定理

时间 / 45分钟　分值 / 100分　　　　　　　　　　　　　　

基础热身

1.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则cos A等于  (　　)

A. B.

C. D.-

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则角B的值为  (　　)

A.30° B.45°

C.60° D.90°

3.在△ABC中,若a=3,b=,A=,则△ABC的面积为 (　　)

A. B.3

C. D.

4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2=,则△ABC的形状为 (　　)

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

5.[2018·成都三诊] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=3,A=,则角C的大小为　　　　 . 

能力提升

6.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cos A等于 (　　)

A.         B.-           C.          D.-

7.[2018·贵州黔东南州一模] 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin A-acos B-2a=0,则B=              (　　)

A. B.

C. D.

8.在△ABC中,点D为边AB上一点,若CD⊥BC,AC=3,AD=,sin∠CBA=,则△ABC的面积是 (　　)

A.6

B.12

C.

D.

9.[2018·安庆二模] 在锐角三角形ABC中,A=2B,则的取值范围是 (　　)

A.(0,3)

B.(1,3)

C.(,)

D.(1,2)

10.[2018·北京朝阳区一模] 在△ABC中,已知sin A=,b=2acos A.若ac=5,则△ABC的面积是　　　　. 

11.[2018·广东江门一模] 在△ABC中,A=,3sin B=5sin C.若△ABC的面积S=,则△ABC的边BC的长是　　　　. 

12.[2018·湖南衡阳二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若=2sin C,则C=　　　　. 

13.[2018·河北保定一模] 已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=3,b=2,且accos B=a2-b2+bc,则B=　　　　. 

14.(12分)[2018·济宁二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin B-asin A=(b-c)sin C.

(1)求角A的大小;

(2)若a=,b+c=3,求△ABC的面积.

15.(13分)[2018·保定二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=1+cos C.

(1)求证:sin C=tan B;

(2)若cos B=,C为锐角,△ABC的面积为,求c.

难点突破

16.(5分)[2018·广东茂名3月联考] 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为S,且4S=(a+b)2-c2,则sin+C=              (　　)

A.1 B.-

C. D.

17.(5分)[2018·太原二模] 已知点O是△ABC的内心,∠BAC=60°,BC=1,则△BOC面积的最大值为　　　　. 

课时作业(二十二)

1.B　[解析] 由题意得cos A===.

2.B　[解析] 由正弦定理知=,所以sin B=cos B,所以B=45°.故选B.

3.A　[解析] 由正弦定理=,得=,解得sin B=,又a>b,所以B=,从而C=,所以S△ABC=ab=×3×=.故选A.

4.A　[解析] 因为cos2=,所以=,得1+cos B=.由余弦定理得1+=,化简整理得c2=a2+b2,故△ABC为直角三角形.故选A.

5.　[解析] 由正弦定理=得,=,得sin B=,又b<a,所以B=,所以C=.

6.D　[解析] 由S+a2=(b+c)2,得a2=b2+c2-2bcsin A-1,由余弦定理可得sin A-1=cos A,结合sin2A+cos2A=1,可得cos A=-(舍去cos A=-1).故选D.

7.B　[解析] 由已知和正弦定理,得sin Bsin A-sin Acos B-2sin A=0,因为sin A≠0,所以sin B-cos B-2=0,即sinB-=1,因为B∈(0,π),所以B-∈-,,所以B-=,得B=.故选B.

8.A　[解析] 因为cos∠ADC=cos+∠CBA=-sin∠CBA=-,且AC=3,AD=,所以在△ACD中,由余弦定理,得(3)2=3+CD2-2××CD×-,解得CD=3,在直角三角形BCD中,可得BD=3,BC=3,则AB=4,所以S△ABC=×4×3×=6.故选A.

9.D　[解析] 在锐角三角形ABC中,A=2B,可得B∈(30°,45°),则cos B∈,,cos2B∈,,所以由正弦定理可知====3-4sin2B=4cos2B-1∈(1,2),故选D.

10.2　[解析] 因为b=2acos A,所以sin B=2sin Acos A,又因为sin A=,cos A=>0,所以cos A=,所以sin B=2××=,所以S△ABC=acsin B=2.

11.　[解析] 由3sin B=5sin C和正弦定理得3b=5c,又S=bcsin A=,所以bc=15,解方程组得舍去.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=52+32-2×5×3×cos =19,所以a=(负值舍去),即BC=.

12.　[解析] 由已知等式结合正弦定理得,=2sin C,所以2sin C=,得tan C=1,因为C为三角形的内角,所以C=.

13.　[解析] 因为accos B=a2-b2+bc,所以(a2+c2-b2)=a2-b2+bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cos A==,则sin A=,由正弦定理得=,所以sin B=×=,因为b<a,所以B=.

14.解:(1)由bsin B-asin A=(b-c)sin C和正弦定理得b2-a2=(b-c)c,

所以cos A==,

由于0<A<π,所以A=.

(2)由于a=,b+c=3,

所以a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,解得bc=7.

故S△ABC=bcsin A=.

15.解:(1)证明:因为=1+cos C,

根据正弦定理得sin A=sin B+sin Bcos C,

即sin(B+C)=sin B+sin Bcos C,

则sin Ccos B=sin B,

所以sin C=tan B.

(2)因为cos B=,且B∈(0,π),

所以sin B=,则tan B=.

由于C为锐角,sin C=tan B,

所以C=,

则=1+cos C=.①

因为△ABC的面积为,

所以absin C=,

得ab=6②,由①和②解得a=3,b=2.

利用余弦定理得c==.

16.C　[解析] 因为S=absin C,cos C=,所以2S=absin C,a2+b2-c2=2abcos C,所以4S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,即2absin C=2abcos C+2ab,因为ab≠0,所以sin C=cos C+1,又因为sin2C+cos2C=1,所以(cos C+1)2+cos2C=1,解得cos C=-1(舍去)或cos C=0,得C=,则sin+C=sin=.故选C.

17.　[解析] 由题意得∠BOC=180°-=120°,在△OBC中,BC2=OB2+OC2-2OB·OCcos 120°,即1=OB2+OC2+OB·OC≥3OB·OC(当且仅当OB=OC时取等号),即OB·OC≤,所以S△OBC=OB·OCsin 120°≤,当且仅当OB=OC时S△BOC取最大值.