2021年高考数学一轮精选练习：71《绝对值不等式》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：71《绝对值不等式》1.已知函数f(x)=|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.                2.已知函数f(x)=|x＋1|＋|x－3|.(1)若关于x的不等式f(x)<a有解，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为，求a＋b的值.                       3.已知函数f(x)=|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R，g(x)=x2－2x－4＋.(1)若f(2a2－1)>4|a－1|，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围.                 4.已知函数f(x)=|x－2|.(1)求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；(2)若函数g(x)=－f(2x)－a的图象在上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围.                        5.已知函数f(x)=|2x－a|＋a.(1)当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.                  6.已知函数f(x)=|2x－1|＋|2x＋3|.(1)解不等式f(x)≥6；(2)记f(x)的最小值是m，正实数a，b满足2ab＋a＋2b=m，求a＋2b的最小值.                           7.已知函数f(x)=(m∈R)，g(x)=|x＋1|，且不等式g＋≤3的解集为[－2,3].(1)求实数m的值；(2)若存在实数k，使得f(k)＋1≤T－f(－k)成立，求实数T的取值范围.             8.已知函数f(x)=|2x－a|＋|2x＋1|.(1)当a=1时，求f(x)≤2的解集；(2)若g(x)=4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.              
答案解析1.解：(1)当a=1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞). 2.解：(1)不等式等价于a>f(x)min，f(x)=绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a的取值范围是(4，＋∞).(2)由题意可得x=是方程|x＋1|＋|x－3|=a的解，据此有a=＋=5，求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|<5可得：－<x<.故b=－，a＋b=5－=. 3.解：(1)∵f(2a2－1)>4|a－1|，∴|2a2－2a|＋|a2－1|>4|a－1|，∴|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)>0，∴|2a|＋|a＋1|>4且a≠1.①若a≤－1，则－2a－a－1>4，∴a<－；②若－1<a<0，则－2a＋a＋1>4，∴a<－3，此时无解；③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1>4，∴a>1.综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞).(2)∵g(x)=(x－1)2＋－5≥2－5=－1，显然可取等号，∴g(x)min=－1.于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.又f(x)=|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|=(a－1)2，∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2，即a∈[0,2]. 4.解：(1)由f(x)≤5－|x－1|，得|x－1|＋|x－2|≤5，所以或或解得－1≤x≤4，故不等式f(x)≤5－|x－1|的解集为[－1,4].(2)设h(x)=－f(2x)=－|2x－2|=当<x<1时，h(x)=＋2x－2≥2－2=2－2，当且仅当=2x即x=时取等号，所以h(x)min=2－2.当x≥1时，h(x)=－2x＋2递减，画出函数h(x)的草图，如下：原问题等价于h(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点，结合h(x)的图象可得，a∈(2－2,1). 5.解：(1)当a=2时，f(x)=|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)=|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a=|1－a|＋a，当x=时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞). 6.解：(1)当x≤－时，f(x)=－2－4x，由f(x)≥6，解得x≤－2；当－<x<时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立；当x≥时，f(x)=4x＋2，由f(x)≥6解得x≥1.∴f(x)≥6的解集是{x|x≤－2或x≥1}.(2)f(x)=|2x－1|＋|2x＋3|≥|(2x－1)－(2x＋3)|=4，即f(x)的最小值为4，则m=4.∵a·2b≤2，∴由2ab＋a＋2b=4可得4－(a＋2b)≤2，解得a＋2b≥2－2(当且仅当a=2b时等号成立)，∴a＋2b的最小值为2－2. 7.解：(1)由不等式g＋≤3，可得|2x－m|＋m≤6，得|2x－m|≤6－m，∴m－6≤2x－m≤6－m，即m－3≤x≤3，∴m－3=－2，∴m=1.(2)由(1)知f(x)=，则存在实数k，使得f(k)＋1≤T－f(－k)，可转化为存在实数k，使得|2k－1|＋|2k＋1|＋2≤T，设h(k)=|2k－1|＋|2k＋1|＋2，则h(k)=数形结合知函数h(k)的最小值是4，故实数T的取值范围为[4，＋∞). 8.解：(1)当a=1时，f(x)=.当x<－时，f(x)≤2无解；当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}；当x>时，f(x)≤2无解.综上所述，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}.(2)当x∈时，f(x)=(a－2x)＋(2x＋1)=a＋1，所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x).又g(x)=4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，则，即，即－≤a≤2.又a>－1，所以－1<a≤2，所以a的取值范围为(－1,2].