2021年高考数学一轮精选练习：54《直线与圆锥曲线》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：54《直线与圆锥曲线》一         、选择题1.直线y=x＋3与双曲线－=1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　 　)A.1          B.2          C.1或2         D.0 2.已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　 　)A.y=x－1      B.y=－2x＋5    C.y=－x＋3     D.y=2x－3 3.已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　 　)A.       B.     C.      D. 4.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　 　)A.         B.          C.          D. 5.已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为(　 　)A.3         B.2        C.－2         D.－3 6.已知双曲线－y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，直线y=kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是(　　)A.4         B.3           C.          D.2 7.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　 　)A.(，)     B.(，＋∞)     C.(，2)        D.(1，) 8.已知双曲线E：－=1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为(　 　)A.4x＋y－1=0            B.2x＋y=0C.2x＋8y＋7=0          D.x＋4y＋3=0    9.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|=3，则△BCF与△ACF的面积之比=(　 　)A.         B.          C.            D. 10.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y=ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x＋m对称，且x1x2=－，则m的值为(　　)A.          B.            C.2           D.3 二         、填空题11.已知直线y=2x＋2与抛物线y=ax2(a＞0)交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若|A＋A|=|A－A|，则a=       . 12.设P为双曲线－=1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为         . 13.设抛物线C：y2=2px(p＞0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|=     . 三         、解答题14.已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x=－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点.证明：直线OD平分线段MN.             15.设椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程.             16.已知椭圆Γ：＋=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A、B两点，l2与椭圆Γ交于C，D两点.(1)若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；(2)若直线l1与l2的斜率都存在，记λ=，求λ的取值范围.             
答案解析1.答案为：A；解析：由直线y=x＋3与双曲线－=1的渐近线y=x平行，故直线与双曲线的交点个数是1. 2.答案为：D；解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y=4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴===2，即kAB=2，∴直线l的方程为y－1=2(x－2)，即2x－y－3=0.故选D. 3.答案为：D；解析：由题意知k＞0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5=0，因为直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以解得1＜k＜，即k∈，故选D. 4.答案为：D；解析：易知p=4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y2=8x，与直线AB的方程y－3=k(x＋2)联立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋24=0，由题意知Δ=64－4k(16k＋24)=0，解得k=－2或k=.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k=－2，故k=，可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF==，故选D. 5.答案为：D；解析：由题意可知，直线OA的方程为y=2x，与抛物线方程y2=2px联立得得即A，则直线AB的方程为y－p=6，即y=6x－2p，与抛物线方程y2=2px联立得得或所以B，所以直线OB的斜率为kOB==－3.故选D. 6.答案为：D；解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p=4，所以抛物线方程为y2=8x，又因为直线y=kx＋m与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx＋m)2=8x⇒k2x2＋(2km－8)x＋m2=0，∴x1＋x2=，x1x2=.又因为M(2,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2==4，且2=2k＋m，联立解得k=2，m=－2.|AB|=|x1－x2|=·=2.O到AB的距离d=.∴S△AOB=×2×=2. 7.答案为：B；解析：由题意知，直线l：y=－(x－c)，由得x2＋x－=0，由x1x2=＜0，得b4＞a4，所以b2=c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞. 8.答案为：C；解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得=，即=×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2=2×=1，y1＋y2=(－1)×2=－2，=－，=－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1=－，即2x＋8y＋7=0. 9.答案为：D；解析：不妨设点A在第一象限，B在第四象限，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my＋.由y2=4x得p=2，因为|BF|=3=x2＋=x2＋1，所以x2=2，则y=4x2=4×2=8，所以y2=－2，由得y2－4my－4=0，由根与系数的关系，得y1y2=－4，所以y1=，由y=4x1，得x1=.过点A作AA′垂直于准线x=－1，垂足为A′，过点B作BB′垂直于准线x=－1，垂足为B′，易知△CBB′∽△CAA′，所以==.又|BB′|=|BF|=3，|AA′|=x1＋=＋1=，所以==.故选D. 10.答案为：A；解析：由双曲线的定义知2a=4，得a=2，所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=2x2上，所以y1=2x，y2=2x，两式相减得y1－y2=2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y=x＋m对称，所以=－1，故x1＋x2=－，而 x1x2=－，解得x1=－1，x2=，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0==－，y0===，因为中点M在直线y=x＋m上，所以=－＋m，解得m=.  一         、填空题11.答案为：2；解析：由得ax2－2x－2=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=－，设PQ的中点为M，则xM=xA=，yA=ax=，由|A＋A|=|A－A|可得A·A=0，即AP⊥AQ，又M是线段PQ的中点，∴2|AM|=|PQ|，由于MA⊥x轴，∴|MA|==＋2，又|PQ|=|x1－x2|=·=·，∴42=5，解得a=2，此时满足Δ＞0成立.故a=2. 12.答案为：15；解析：设P(x0，y0)(不妨设P在第一象限)，A在第一象限，直线PA的方程为y－y0=－(x－x0)，直线OA方程为y=x，联立解得xA=，又P到渐近线OA的距离为d=，又tan∠xOA=，所以cos∠xOA=.所以平行四边形PAOB的面积为S=2S△OPA=|OA|·d==×|6y0＋5x0|×=15. 13.答案为：0；解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x，得－y－=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2=－p2，根据弦长公式，|FP|·|FQ|=·|y1|··|y2|=|y1y2|=p2，而|OA|·|OB|=·=p2，所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|=0.  二         、解答题14.解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为＋=1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF==－，当n=0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时，直线MN的斜率kMN==.∵点M，N在椭圆上，∴整理得：＋=0，又2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，∴=－，直线OP的斜率为kOP=－，∵直线OD的斜率为kOD=－，∴直线OD平分线段MN. 15.解：(1)设F的坐标为(－c,0).依题意，=，=a，a－c=，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2－c2=.所以，椭圆的方程为x2＋=1，抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my＋1(m≠0)，与直线l的方程x=－1联立，可得点P，故Q.将x=my＋1与x2＋=1联立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my=0，解得y=0或y=.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x＋1)－=0，令y=0，解得x=，故D.所以|AD|=1－=.又因为△APD的面积为，故××=，整理得3m2－2|m|＋2=0，解得|m|=，所以m=±.所以，直线AP的方程为3x＋y－3=0或3x－y－3=0. 16.解：(1)解法一(点差法)：由题意可知直线AB的斜率存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差得=－·=－·=－，∴直线AB的方程为y－1=－(x－1)，即x＋2y－3=0.解法二：由题意可知直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k，则其方程为y－1=k(x－1)，代入x2＋2y2=4中，得x2＋2[kx－(k－1)]2－4=0.∴(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2(k－1)2－4=0.Δ=[－4(k－1)k]2－4(2k2＋1)[2(k－1)2－4]=8(3k2＋2k＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∵AB中点为(1,1)，∴(x1＋x2)==1，则k=－.∴直线AB的方程为y－1=－(x－1)，即x＋2y－3=0.(2)由(1)可知|AB|= |x1－x2|=·=.设直线CD的方程为y－1=－k(x－1)(k≠0).同理可得|CD|=.∴λ== (k≠0)，λ＞0.∴λ2=1＋=1＋.令t=3k＋，则t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)，令g(t)=1＋，t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)，∵g(t)在(－∞，－2]，[2，＋∞)上单调递减，∴2－≤g(t)＜1或1＜g(t)≤2＋.故2－≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋.∴λ∈∪.