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2019版高考数学（文）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第十章统计与统计案例、概率第5节
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第5节 古典概型
最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
[常用结论与微点提醒]
1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法.
2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )
(4)利用古典概型可求：“从长度为1的线段AB上任取一点C，求满足|AC|≤的概率”是古典概型.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )
A. B. C. D.非以上答案
解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
答案 A
3.(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B. C. D.
解析 ∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，
∴事件总数有15种.
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
答案 C
4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为( )
A.5 B.6 C.10 D.11
解析 设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意－＝，解得n＝5.所以原来口袋中小球共有2n＝10个.
答案 C
5.(2018·茂名调研)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是________.
解析 符合条件的两位数共有12个，其中能被4整除的两位数为12，32，52，共3个.∴所求事件的概率P＝＝.
答案
考点一 简单古典概型的概率
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
解析 (1)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种.故所求概率为P＝＝.
(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率P＝＝.
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.
2.用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.
【训练1】 (1)(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(2018·衡水中学质检)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
解析 (1)从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种.
所以所求概率P＝＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，共有36种不同结果.
设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”， 包含的可能结果有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6种情况.由于P()＝＝，因此P(A)＝1－P()＝.
答案 (1)C (2)
考点二 应用古典概型计算较复杂事件的概率
【例2】 (2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.得基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件数共5个，
即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个.
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
规律方法 1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.
2.三点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.
(2)当直接求解有困难时，可考虑转化为互斥事件、对立事件的概率，借助概率的加法公式计算.
(3)本题中的基本事件(x，y)是有序的，(1，2)与(2，1)表示不同的基本事件.
【训练2】 设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率.
解 (1)依题意，数对(a，b)所有取值为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4种情况.
记“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A.
则A发生时，x＝－≥－1，即a≥b.
∴事件A发生时，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3种情况.
故所求事件的概率P(A)＝.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法.
∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
∴这两个函数中的a与b之和应该相等，则只有(2，3)，(4，1)这1组满足，
故所求事件的概率P＝.
考点三 概率与统计的综合问题
【例3】 (2018·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：
x
[11，13)
[13，15)
[15，17)
[17，19)
[19，21)
[21，23]
频数
2
12
34
38
10
4
(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；
(2)若x<13或x≥21，则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率.
解 (1)频率分布直方图为
估计平均数为＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.
由频率分布直方图，x∈[17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18.
(2)记技术指标值x<13的2件不合格产品为a1，a2，技术指标值x≥21的4件不合格产品为b1，b2，b3，b4，
则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15个基本事件.
记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8个基本事件.
故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为P＝.
规律方法 1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算.
2.在求解该类问题要注意两点：
(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.
(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.
【训练3】 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
解析 设另外三名学生分别为丙、丁、戊.从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形.故甲被选中的概率P＝＝.
答案 B
2.(2015·全国Ⅰ卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所求概率为.所以3个数构成一组勾股数的概率P＝.
答案 C
3.(2018·东北四市模拟)将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 依题意，得1－≥，解得n≥4.
答案 A
4.在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为( )
A. B. C. D.
解析 点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.
答案 B
5.设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为( )
A. B. C. D.
解析 先后两次出现的点数中有5的情况有：(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7种.故所求事件的概率P＝.
答案 C
二、填空题
6.(2014·全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.
解析 甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种.
而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种.
所以所求概率P＝＝.
答案
7.(2016·四川卷)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________.
解析 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8), 共12种取法，其中logab为整数的有(2，8)，(3，9)两种，故P＝＝.
答案
8.将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________.
解析 由题意知(a，b)的所有可能结果有16种.其中满足a－2b＋4＜0 有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4种结果.
故所求事件的概率P＝＝.
答案
三、解答题
9.(2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个.
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.
10.(2018·河南名校联考)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下).
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有
1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70)和[80，90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70)的概率.
解 (1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人).
所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×＝750(人).
(2)设“至少有1人体育成绩在[60，70)”为事件M，
记体育成绩在[60，70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80，90)的数据为B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).
因此事件M的概率P(M)＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·衡水中学质检)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意知，向量m共有12个，
由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3，3)，(5，5)，共2个，故所求概率P＝＝.
答案 A
12.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________.
解析 对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，
即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.
又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6种，
故所求的概率P＝＝.
答案
13.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.
下表是年龄的频数分布表.
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
25
a
b
(1)求正整数a，b，N的值.
(2)现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.
解 (1)由题干中的频率分布直方图可知，a＝25，且b＝25×＝100，总人数N＝＝250.
(2)因为第1，2，3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×＝1；
第2组的人数为6×＝1；
第3组的人数为6×＝4，
所以第1，2，3组分别抽取的人数为1，1，4.
(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15种.
其中恰有1人在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8种，所以恰有1人在第3组的概率为.
最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
[常用结论与微点提醒]
1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法.
2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )
(4)利用古典概型可求：“从长度为1的线段AB上任取一点C，求满足|AC|≤的概率”是古典概型.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )
A. B. C. D.非以上答案
解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
答案 A
3.(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B. C. D.
解析 ∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，
∴事件总数有15种.
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
答案 C
4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为( )
A.5 B.6 C.10 D.11
解析 设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意－＝，解得n＝5.所以原来口袋中小球共有2n＝10个.
答案 C
5.(2018·茂名调研)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是________.
解析 符合条件的两位数共有12个，其中能被4整除的两位数为12，32，52，共3个.∴所求事件的概率P＝＝.
答案
考点一 简单古典概型的概率
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
解析 (1)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种.故所求概率为P＝＝.
(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率P＝＝.
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.
2.用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.
【训练1】 (1)(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(2018·衡水中学质检)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
解析 (1)从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种.
所以所求概率P＝＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，共有36种不同结果.
设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”， 包含的可能结果有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6种情况.由于P()＝＝，因此P(A)＝1－P()＝.
答案 (1)C (2)
考点二 应用古典概型计算较复杂事件的概率
【例2】 (2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.得基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件数共5个，
即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个.
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
规律方法 1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.
2.三点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.
(2)当直接求解有困难时，可考虑转化为互斥事件、对立事件的概率，借助概率的加法公式计算.
(3)本题中的基本事件(x，y)是有序的，(1，2)与(2，1)表示不同的基本事件.
【训练2】 设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率.
解 (1)依题意，数对(a，b)所有取值为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4种情况.
记“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A.
则A发生时，x＝－≥－1，即a≥b.
∴事件A发生时，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3种情况.
故所求事件的概率P(A)＝.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法.
∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
∴这两个函数中的a与b之和应该相等，则只有(2，3)，(4，1)这1组满足，
故所求事件的概率P＝.
考点三 概率与统计的综合问题
【例3】 (2018·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：
x
[11，13)
[13，15)
[15，17)
[17，19)
[19，21)
[21，23]
频数
2
12
34
38
10
4
(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；
(2)若x<13或x≥21，则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率.
解 (1)频率分布直方图为
估计平均数为＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.
由频率分布直方图，x∈[17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18.
(2)记技术指标值x<13的2件不合格产品为a1，a2，技术指标值x≥21的4件不合格产品为b1，b2，b3，b4，
则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15个基本事件.
记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8个基本事件.
故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为P＝.
规律方法 1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算.
2.在求解该类问题要注意两点：
(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.
(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.
【训练3】 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
解析 设另外三名学生分别为丙、丁、戊.从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形.故甲被选中的概率P＝＝.
答案 B
2.(2015·全国Ⅰ卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所求概率为.所以3个数构成一组勾股数的概率P＝.
答案 C
3.(2018·东北四市模拟)将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 依题意，得1－≥，解得n≥4.
答案 A
4.在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为( )
A. B. C. D.
解析 点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.
答案 B
5.设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为( )
A. B. C. D.
解析 先后两次出现的点数中有5的情况有：(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7种.故所求事件的概率P＝.
答案 C
二、填空题
6.(2014·全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.
解析 甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种.
而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种.
所以所求概率P＝＝.
答案
7.(2016·四川卷)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________.
解析 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8), 共12种取法，其中logab为整数的有(2，8)，(3，9)两种，故P＝＝.
答案
8.将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________.
解析 由题意知(a，b)的所有可能结果有16种.其中满足a－2b＋4＜0 有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4种结果.
故所求事件的概率P＝＝.
答案
三、解答题
9.(2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个.
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.
10.(2018·河南名校联考)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下).
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有
1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70)和[80，90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70)的概率.
解 (1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人).
所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×＝750(人).
(2)设“至少有1人体育成绩在[60，70)”为事件M，
记体育成绩在[60，70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80，90)的数据为B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).
因此事件M的概率P(M)＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·衡水中学质检)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意知，向量m共有12个，
由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3，3)，(5，5)，共2个，故所求概率P＝＝.
答案 A
12.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________.
解析 对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，
即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.
又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6种，
故所求的概率P＝＝.
答案
13.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.
下表是年龄的频数分布表.
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
25
a
b
(1)求正整数a，b，N的值.
(2)现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.
解 (1)由题干中的频率分布直方图可知，a＝25，且b＝25×＝100，总人数N＝＝250.
(2)因为第1，2，3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×＝1；
第2组的人数为6×＝1；
第3组的人数为6×＝4，
所以第1，2，3组分别抽取的人数为1，1，4.
(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15种.
其中恰有1人在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8种，所以恰有1人在第3组的概率为.
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