第6节　几何概型

最新考纲　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.

知 识 梳 理

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

2.几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.

3.几何概型的概率公式

P(A)＝.

[常用结论与微点提醒]

1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关.

2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)

(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是.(　　)

(3)概率为0的事件一定是不可能事件.(　　)

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

解析　如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B).

答案　A

3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.

答案　B

4.(2018·莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴).

故所求概率P＝＝.

答案　B

5.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.

解析　由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18，因为S正＝1，所以

S阴＝0.18.

答案　0.18

考点一　与长度(角度)有关的几何概型

【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.

解析　(1)如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.

(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.

依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”.

又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝.

故所求事件的概率P＝＝＝.

答案　(1)B　(2)

规律方法　1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.

2.(1)例1第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝.

(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.

【训练1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.

(2)(2018·西安调研)在区间[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.

解析　(1)由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3].

故所求事件的概率P＝＝.

(2)直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.

则＜3，解得－＜k＜.

故所求事件的概率P＝＝.

答案　(1)　(2)

考点二　与面积有关的几何概型(多维探究)

命题角度1　与平面图形面积相关的几何概型

【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　设正方形的边长为2，则面积S正方形＝4.

又正方形内切圆的面积S＝π×12＝π.

所以根据对称性，黑色部分的面积S黑＝.

由几何概型的概率公式，概率P＝＝.

答案　B

命题角度2　与线性规划的交汇问题

【例2－2】 由不等式组确定的平面区域记为Ω1，

由不等式组确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.

解析　如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知C .

由几何概型的概率公式，所求概率P＝＝＝.

答案　

规律方法　1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.

2.解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)

A.   B.   C.   D.

(2)(2018·石家庄调研)在满足不等式组的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A发生的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　(1)如图，数对(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知P＝＝＝，又P＝，所以＝，故π＝.

(2)作出不等式组

表示的平面区域(即△ABC)，其面积为4.事件A＝“y0＜2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3.所以事件A发生的概率是.

答案　(1)C　(2)B

考点三　与体积有关的几何概型

【例3】 (1)(2018·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

(2)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　(1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.

这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P＝.

(2)由题意知，当点P在三棱锥的中截面A′B′C′以下时，满足

VP－ABC<VS－ABC，又V锥S－A′B′C′＝×V锥S－ABC＝V锥S－ABC.

∴事件“VP－ABC<VS－ABC”的概率P＝＝＝.

答案　(1)C　(2)A

规律方法　1.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.

2.本题易忽视基本事件的等可能性，错用“长度”度量，误求P＝.

【训练3】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________.

解析　设四棱锥M－ABCD的高为h，由于S正方形ABCD＝1，V正方体＝1，且S正方形ABCD<.

∴h<，则点M在正方体的下半部分，故所求事件的概率P＝＝.

答案　

基础巩固题组

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1.为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是(　　)

A.4   B.3   C.2   D.1

解析　由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为，所以阴影部分的面积约为9×＝3.

答案　B

2.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3 km的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P＝＝.

答案　B

3.(2018·潍坊一中质检)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，

解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的

概率为＝，故选A.

答案　A

4.(2018·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝＝.

答案　B

5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，

则P1＝＝＝.

故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝.

答案　B

6.(2018·西安调研)若函数f(x)＝在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是(　　)

A.    B.1－

C.    D.

解析　当0≤x<1时，恒有f(x)＝ex<e，不满足题意.

当1≤x≤e时，f(x)＝ln x＋e.由ln x＋e≥e，得1≤x≤e.

∴所求事件的概率P＝＝1－.

答案　B

7.已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.

答案　A

8.(2018·福州调研)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　因为四边形ABCD为矩形，B(1，0)且点C和点D分别在直线y＝x＋1和y＝－x＋1上，所以C(1，2)，D(－2，2)，E(0，1)，则A(－2，0).

因此S矩形ABCD＝6，S阴影＝×1·|CD|＝.

由几何概型，所求事件的概率P＝＝.

答案　B

二、填空题

9.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m.

当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去.

当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.

答案　3

10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.

解析　因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，故所求概率为＝.

答案　

11.(2018·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为________.

解析　由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.

易知A(4，2)，S正方形＝16，S阴影＝＝12.

故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.

答案　

12.在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________.

解析　设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两负根为x1，x2，

则解得<p<1或p>2.

又因为p∈[0，5]，得p∈∪(2，5]，

故所求概率为＝.

答案　

能力提升题组

(建议用时：10分钟)

13.(2018·西北工大附中调研)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)

A.＋π   B.＋   C.－   D.－

解析　由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，由题意作图如图所示，则满足条件的区域为图中阴影部分，

∴y≥x的概率为＝－.

答案　D

14.在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0.

∵a，b∈[0，1]，a＋2b>0，

∴a－2b<0.

作出的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝＝.

答案　C

15.已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________.

解析　依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)>128得x2－12x＋32<0，解得4<x<8，故所求的概率等于＝.

答案　

16.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.

解析　∵去看电影的概率P1＝＝，

去打篮球的概率P2＝＝，

∴不在家看书的概率为P＝＋＝.

答案