2019版高考数学（文）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第十章统计与统计案例、概率第5节

第5节　古典概型
最新考纲　1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.

知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
[常用结论与微点提醒]
1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法.
2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个事件是等可能事件.(　　)
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(　　)
(4)利用古典概型可求：“从长度为1的线段AB上任取一点C，求满足|AC|≤的概率”是古典概型.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为(　　)
A. B. C. D.非以上答案
解析　从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
答案　A
3.(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，
∴事件总数有15种.
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
答案　C
4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为(　　)
A.5 B.6 C.10 D.11
解析　设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意－＝，解得n＝5.所以原来口袋中小球共有2n＝10个.
答案　C
5.(2018·茂名调研)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是________.
解析　符合条件的两位数共有12个，其中能被4整除的两位数为12，32，52，共3个.∴所求事件的概率P＝＝.
答案　

考点一　简单古典概型的概率
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B. C. D.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种.故所求概率为P＝＝.
(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率P＝＝.
答案　(1)C　(2)D
规律方法　1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.
2.用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.
【训练1】 (1)(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2018·衡水中学质检)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
解析　(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种.
所以所求概率P＝＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，共有36种不同结果.
设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”， 包含的可能结果有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6种情况.由于P()＝＝，因此P(A)＝1－P()＝.
答案　(1)C　(2)
考点二　应用古典概型计算较复杂事件的概率
【例2】 (2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.得基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件数共5个，
即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个.
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
规律方法　1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.
2.三点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.
(2)当直接求解有困难时，可考虑转化为互斥事件、对立事件的概率，借助概率的加法公式计算.
(3)本题中的基本事件(x，y)是有序的，(1，2)与(2，1)表示不同的基本事件.
【训练2】 设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率.
解　(1)依题意，数对(a，b)所有取值为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4种情况.
记“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A.
则A发生时，x＝－≥－1，即a≥b.
∴事件A发生时，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3种情况.
故所求事件的概率P(A)＝.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法.
∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
∴这两个函数中的a与b之和应该相等，则只有(2，3)，(4，1)这1组满足，
故所求事件的概率P＝.
考点三　概率与统计的综合问题
【例3】 (2018·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：
x
[11，13)
[13，15)
[15，17)
[17，19)
[19，21)
[21，23]
频数
2
12
34
38
10
4
(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；
(2)若xb.
又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6种，
故所求的概率P＝＝.
答案　
13.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.

下表是年龄的频数分布表.
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
25
a
b


(1)求正整数a，b，N的值.
(2)现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.
解　(1)由题干中的频率分布直方图可知，a＝25，且b＝25×＝100，总人数N＝＝250.
(2)因为第1，2，3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×＝1；
第2组的人数为6×＝1；
第3组的人数为6×＝4，
所以第1，2，3组分别抽取的人数为1，1，4.
(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15种.
其中恰有1人在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8种，所以恰有1人在第3组的概率为.