2021高考物理（选择性考试）人教版一轮学案：专题一　运动的图象　追及与相遇问题

专题一　运动的图象　追及与相遇问题
专题解读
1．本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题．
2．学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图以及v-t图象分析和解决运动学问题的能力．
3．用到的知识有：x-t图象和v-t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法．

1．直线运动的x-t图象
(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．
(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．
2．直线运动的v-t图象
(1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律．
(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向．
(3)“面积”的意义．
①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移．
②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向．

1．甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的x-t图象如图所示，由图象可以看出在0～4 s内(　　)

A．甲、乙两物体始终同向运动
B．第4 s末时，甲、乙两物体间的距离最大
C．甲的平均速度等于乙的平均速度
D．乙物体一直做匀加速直线运动
解析：由题图可知在0～2 s内，甲、乙同向运动，在2～4 s内两者反向运动，选项A错误；第4 s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在0～4 s内，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误．
答案：C
2．如图所示，为某物体做直线运动的v-t图象，由此可知(　　)

A．前1 s物体的位移大小为1 m
B．前2 s末物体的瞬时速度大小为2 m/s
C．前3 s内物体的加速度大小为3 m/s
D．前3 s物体做匀变速直线运动
解析：在v-t图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1 s内物体的位移大小x＝×1×2 m＝1 m，选项A正确；在1～3 s内由题图得，物体的加速度a＝＝＝－1 m/s2，第2 s末物体的瞬时速度v＝v0＋at＝2 m/s－1m/s2×1 s＝1 m/s，选项B、C错误；由图象可知，物体先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，故D错误．
答案：A

1．概述
当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．
2．两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近．
3．相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离．
(2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离．

3．平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1 m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则(　　)
A．乙车追上甲车所用的时间为10 s
B．乙车追上甲车所用的时间为20 s
C．乙追上甲时，乙的速度是15 m/s
D．乙追上甲时，乙的速度是10 m/s
解析：设乙车追上甲车所用的时间为t，则有v甲t＝at2，解得t＝20 s，选项A错误，B正确；由v＝at得，乙车追上甲车时，乙车速度v乙＝20 m/s，选项C、D错误．
答案：B
4．现有A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车速度vB＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车600 m时才发现A车，此时B车立即刹车，但B车要减速1 800 m才能够停止．则
(1)B车刹车后减速运动的加速度多大？
(2)若B车刹车8 s后，A车以加速度a1＝0.5 m/s2加速前进，问能否避免事故？若能够避免则两车最近时相距多远？
解析：由v－v＝2ax，
设B车刹车减速运动加速度大小
a＝ m/s2＝0.25 m/s2.
(2)设两车速度相等，有
vB－a(8＋t)＝vA＋a1t，
解得t＝24 s，
此时B车已运动xB＝vB(8＋24)－a×(8＋24)2，
解得xB＝832 m.
A车位移：xA＝8vA＋vAt＋a1t2＝464 m，
又因为xA＋L>xB，所以能避免事故．
此时两车相距最近：Δx＝L＋xA－xB＝232 m.
答案：见解析


考点一 运动的图象的理解及应用
1.对运动图象的三点理解
(1)x-t图象、v-t图象中能反映的空间关系只有一维，因此两种图象只能描述直线运动，且图线都不表示物体运动的轨迹．
(2)x-t图象和v-t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
(3)两个物体的运动情况如果用x-t图象来描述，从图象可知两物体起始时刻的位置；如果用v-t图象来描述，则从图象中无法得到两物体起始时刻的位置关系．
2．应用运动图象解题“六看”

图象
x-t图象
v-t图象
看轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
看线
倾斜直线表示物体做匀速直线运动
倾斜直线表示物体做匀变速直线运动
看斜率
表示速度
表示加速度
看面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
看纵截距
表示初位置
表示初速度
看特殊点
转折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
转折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
3.运动图象类问题的分析思路

　(2019·成都诊断)在平直公路行驶的a车和b车，其x-t图象分别为图中直线a和曲线b，由图可知(　　)

A．b车运动方向始终不变
B．a，b两车相遇两次
C．t1到t2时间内a车的平均速度小于b车
D．t1到t2时间内两车的速度不可能在某时刻相同
[思维点拨]　

解析：图线的切线斜率表示瞬时速度，b图线切线斜率先为正值，然后为负值，可知b的运动方向发生变化，故A错误；在t1时刻和t2时刻，两车在同一位置，所以a，b两车相遇两次，故B正确；t1到t2时间内，两车的位移相同，时间相同，则平均速度相同，故C错误；t1到t2时间内，b图线的切线斜率在某时刻与a相同，则两车的速度可能相同，故D错误．
答案：B
　(多选)如图所示是某质点做直线运动的v-t图象，由图可知这个质点的运动情况是(　　)

A．质点15 s末离出发点最远，20 s末回到出发点
B．5～15 s过程中做匀加速运动，加速度为1 m/s2
C．15 s时质点的加速度大小、方向均发生变化
D．5～15 s过程中的位移为120 m
[思维点拨]　(1)0～20 s内，质点的运动方向没有发生变化，在t＝20 s质点离出发点最远．
(2)v-t图象的斜率、图线与时间轴所围的“面积”分别表示加速度和位移．
解析：由图象知，质点的速度方向一直为正向，20 s末离出发点最远，故A错误；5～15 s过程中质点的vt图象的斜率为正且为定值，质点做匀加速运动，加速度a＝ m/s2＝0.8 m/s2，故B错误；15～20 s过程中质点做匀减速运动，加速度a′＝ m/s2＝－3.2 m/s2，即15 s时质点加速度大小和方向均发生变化，故C正确；由图线与时间轴所围面积计算可得5～15 s过程中的位移为120 m，D正确．
答案：CD

v-t图象问题的易错点
1．错误理解交点的意义．两条v-t图象的交点不一定表示两质点相遇，两条v-t图线不相交，并不表示两质点位置不同．
2．错误理解图线斜率的意义．v-t图线的斜率为正，质点不一定做加速运动；v-t图线的斜率为负，质点不一定做减速运动；速度与加速度同正或同负时质点做加速运动，速度与加速度一正一负时质点做减速运动．
3．v-t图象中图线转折点是加速度变化点(加速度方向一定变化)，与横轴的交点为速度方向变化点．

考点二 追及相遇问题
1.追及与相遇问题常见情景
(1)速度小者追速度大者．

追及类型
图象描述
相关结论
匀加速
追匀速


匀速追
匀减速


匀加速追
匀减速

设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大；
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx；
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小；
④一定能追上且只能相遇一次
(2)速度大者追速度小者．

追及类型
图象描述
相关结论
匀减速
追匀速


匀速追
匀加速


匀减速追
匀加速

设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；
②若Δx＜x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0－Δx；
③Δx＞x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇
2.追及和相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到．
3．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，若xA＋x0＜xB，则能追上；若xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若xA＋x0＞xB，则不能追上．
4．三种方法
(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．
(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．
(3)图象法．
①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．
②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．
　(2019·武汉调研)A、B两车在同一直线上运动，A在后，B在前．当它们相距x0＝8 m时，A以vA＝8 m/s的速度向右做匀速运动；而物体B此时的速度vB＝10 m/s方向向右，并以a＝－2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，求：
(1)A追上B之前两车的最远距离；
(2)A追上B所用的时间．
[思维点拨]　(1)它们相距x0＝8 m时，A在后，B在前，此后A做匀速直线运动，B车做匀减速直线运动．
(2)A追上B之前，两车速度相等时相距最远．
解析：(1)设经时间t1两车速度相同，此时相距最远．
则有vA＝vB＋at1，
得t1＝1 s，
两车最远距离为
Δx＝xB＋x0－xA＝vBt1＋at＋x0－vAt1＝9 m.
(2)设经时间t2，A追上B.
由vAt2＝vBt2＋at＋x0，
解得t2＝4 s.
答案：(1)9 m　(2)4 s
　(2019·山东六校联考)某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝30 m/s，v2＝20 m/s，轿车与前方货车间距离s0＝12 m时轿车司机才发现货车，若此时轿车立即刹车，则轿车要经过s＝112.5 m的匀减速直线运动才能停下来，两车均可视为质点，忽略轿车司机的反应时间．
(1)若轿车刹车时货车以速度v2匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞；
(2)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0＝1 s收到信号并立即以大小a0＝2 m/s2的加速度匀加速行驶，通过计算分析两车是否会相撞．
[思维点拨]　(1)两车恰好不撞的条件是两车在同一位置且速度相等．
(2)若两车不撞，则前车的位移与原相距离之和大于后车的位移．
解析：(1)轿车经过s＝112.5 m才能停下来，
由v＝2 a1s，
可得轿车刹车过程的加速度大小
a1＝4 m/s2，
两车速度相等时有v1－a1t＝v2，
得t＝＝2.5 s，
t时间内，轿车前进的距离
s1＝t＝62.5 m，
货车前进的距离
s2＝v2t＝50 m，
因为s1＞s2＋s0，
则两车相撞．
(2)设经过时间t′两车的速度相等，
则v1－a1t′＝v2＋a0(t′－t0)，
解得t′＝2 s．此过程中轿车前进的距离
s′1＝v1t′－a1t′2，
货车前进的距离为
s′2＝v2t0＋v2(t′－t0)＋a0(t′－t0)2，
解得：s′1＝52 m，s′2＝41 m，
因s′1＜s′2＋s0，
故两车不会相撞．
答案：见解析


解决追及问题的方法
1．能否追上的判断方法常见情形：物体A追物体B，开始二者相距x0，则
①A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
②要使两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB.
2．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．

考点三 新型图象的处理方法
高中物理中常见的、基本的图象是x-t图象和v-t图象．此外，还有一系列的其他图象，如a-t图象、x-v图象、x-t2图象、E-t图象、i-t图象等．这些图象问题怎样分析？这需要我们对问题进行分析、推理、归纳、迁移，提升物理核心素养．
1．处理新型图象最基本的方法
处理新型图象最基本的方法是写出横、纵坐标表示的物理量的函数表达式，根据表达式再进行研究，具体如下：
(1)根据物理规律，应用数学知识写出横、纵坐标表示的物理量的函数表达式．
(2)将函数表达式与物体的运动情景相联系．
(3)结合物体的运动规律求得相关物理量．
2．图象面积意义的理解
物理图象中，图线与坐标轴所围的面积有特定的物理意义，常见的有以下几种：
(1)v-t图象的面积表示位移x，位移x＝vt.
(2)a-t图象的面积表示速度的变化量Δv，Δv＝at.
(3)F-s图象的面积表示功W，W＝Fs.
　(2019·河南适应性测试)利用如图甲所示的斜面测量物体下滑的加速度．在斜面上取O、A、B三点，让一物体从O点由静止开始下滑，先后经过A、B两点，测出A、B之间的距离x和物体经过A、B两点的时间t.保持O、B两点的位置不变，改变A点在斜面上的位置，仍让该物体从O点由静止开始下滑，多次实验后得出t图象如图乙所示，则物体沿斜面下滑的加速度大小为(　　)

　　　　　甲　　　　　　　　乙
A． 2 m/s2　　　　　　B．4 m/s2
C．6 m/s2 D．8 m/s2
[思维点拨]　是速度，速度随时间变化图线是一条直线，是匀变速直线运动，关键是写出图线方程．
解析：根据题图乙写出直线的函数表达式为：
＝8－2t，
化简得：x＝8t－2t2，
对于x＝v0t＋at2有
v0＝8 m/s，a＝－4 m/s2，
故B正确．
答案：B

1.(多选)(2018·全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
解析：x-t图象斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误；t1和t2两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，故C正确；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故D正确．
答案：CD
2.(2019·佛山质检)如图所示为甲、乙两质点做直线运动的v-t图象，则下列说法中正确的是(　　)
A．在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等
B．甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同
C．甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度
D．在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点
解析：因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两上加速度不相同，故B项错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于＝，乙质点在0～t2时间内的平均速度等于＝，故C项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值，则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误．
答案：A
3.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v-t图象如图所示．在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：根据v-t图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v-t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．
答案：A
4.如图所示为从静止开始做直线运动的物体a-t图象，关于物体运动下列说法正确的是(　　)
A．物体在t＝6 s时，速度为0
B．物体在t＝6 s时，速度为18 m/s
C．物体运动前6 s平均速度为9 m/s
D．物体运动前6 s位移为18 m
答案：B
5.质点做直线运动的位移x和时间二次方t2的关系图象如图所示，则该质点(　　)
A．加速度大小为1 m/s2
B．任意相邻1 s内的位移差都为2 m
C．第2 s内的位移是2 m
D．物体第3 s内的平均速度大小为3 m/s
答案：B
6.某质点做匀变速直线运动，运动的时间为t，位移为x，该质点的-t图象如图所示，下列说法错误的是(　　)
A．质点的加速度大小为
B．t＝0时，质点的初速度大小为a0
C．t＝0时t＝b这段时间质点的平均速度为0
D．t＝0到t＝b这段时间质点的路程为
答案：D
7．甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？
解析：设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，t＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.
答案：6 m/s2
8．在平直的公路上，一辆汽车在路口等待交通灯，绿灯亮时一辆道路维护车在前方以v0＝4 m/s的速度匀速前进，汽车立即以a1＝2 m/s2的加速度启动时，两车相距x0＝60 m．则
(1)汽车启动后经过多长时间从道路维护车旁经过？相遇之前两车相距最远是多少？
(2)若汽车刚从道路维护车旁经过时，汽车立即以a2＝4 m/s2的加速度刹车，问再经过多长时间两车第二次相遇？
解析：(1)设经t1时间汽车从道路维护车旁经过，
由位移关系得v0t1＋60 m＝a1t，
解得t1＝10 s.
当两车速度相等时，两车相距最远．
设时间为t2，由v0＝a1t2，得t2＝2 s.
若最远距离为x，则有v0t2＋60 m＝a1t＋x，
解得x＝64 m.
(2)经过道路维护车时汽车的速度v＝a1t1＝2×10 m/s＝20 m/s，
由于汽车停下来的时间t＝＝5 s，
位移x1＝t＝50 m，
设两车第二次相遇时间为t4，满足
v0t4＝x1，
解得t4＝12.5 s.
答案：见解析
9．A、B两汽车在同一路面上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝20 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝30 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过100 m才能停止，问：若B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
解析：设B车刹车过程中的加速度为aB，
则0－v＝2aBx，得aB＝＝－2 m/s2.
若两车速度相等时不相撞，则两车不会相撞，
设经时间t后速度相等，
则vA＝vB＋aBt，得t＝5 s，
则xA＝vAt＝50 m，xB＝vBt＋aBt2＝75 m，
因xA＋x0＞xB，
则两车不会相撞，
最近距离Δx＝xA＋x0－xB＝5 m.
答案：见解析
10．(2019·江西新余二模)斜面长度为4 m，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离x与初速度二次方v的关系图象(即x-v图象)如图所示．

(1)求滑块下滑的加速度大小．
(2)若滑块下滑的初速度为5.0 m/s，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？
解析：(1)根据匀变速直线运动的速度位移公式
v2－v＝2ax，得
x＝－v＋，
得斜率k＝－，
因为图线斜率k＝，解得a＝－2 m/s2.
所以滑块下滑的加速度大小为2 m/s2.
(2)由位移公式得：x＝v0t＋at2，
解得：t＝1 s，或t＝4 s(舍去)．
答案：(1)2 m/s2　(2)1 s