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    2021高考物理人教版一轮复习学案作业:第一章专题强化一运动学图象 追及相遇问题
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    2021高考物理人教版一轮复习学案作业:第一章专题强化一运动学图象 追及相遇问题

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    专题强化一 运动学图象 追及相遇问题
    专题解读 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用,为高考必考内容,多以选择题形式命题.
    2.学好本专题,可以提高同学们通过画运动情景示意图和v-t图象分析和解决运动学问题的能力.
    3.用到的知识有:x-t图象和v-t图象的理解,匀变速直线运动的规律,临界条件的确定,求解极值等数学方法.

    1.x-t图象与v-t图象的比较

    x-t图象
    v-t图象
    图象举例


    意义
    倾斜直线表示匀速直线运动;曲线表示变速直线运动
    倾斜直线表示匀变速直线运动;曲线表示变加速直线运动
    特别处
    两条图线的交点表示相遇
    图线与时间轴所围面积表示位移
    运动情况
    甲做匀速直线运动,乙做速度逐渐减小的直线运动
    丙做匀加速直线运动,丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
    位移
    0~t1时间内甲、乙位移相等
    0~t2时间内丁的位移大于丙的位移
    平均速度
    0~t1时间内甲、乙平均速度相等
    0~t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度

    2.三点说明
    (1)x-t图象与v-t图象都只能描述直线运动,且均不表示物体运动的轨迹;
    (2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系;
    (3)识图方法:一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.
    例1 (多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动.甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示.下列说法正确的是(  )

    图1
    A.在t1时刻两车速度相等
    B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等
    C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等
    D.在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等
    答案 CD
    解析 x-t图象的斜率表示速度,则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度,A错误;由两图线的纵截距知,出发时甲在乙前面,t1时刻图线相交表示两车相遇,可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离,B项错误;t1和t2时刻两图线都相交,表明两车在两个时刻均在同一位置,从t1到t2时间内,两车走过的路程相等,在t1到t2时间内,两图线有斜率相等的一个时刻,该时刻两车速度相等,C、D项正确.
    变式1 (2020·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动,它们的位置—时间图象如图2所示,其中A是顶点过原点的抛物线的一部分,B是过点(0,3)的一条直线,两图象相交于坐标为(3,9)的P点,则下列说法不正确的是(  )

    图2
    A.质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
    B.质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
    C.在前3 s内,质点A比B向前多前进了9 m
    D.在3 s前某时刻质点A、B速度相等
    答案 C
    解析 质点A的运动方程为x=at2,则初速度为零,加速度a=2 m/s2,故A正确;B直线的斜率表示速度,故质点B做匀速直线运动,质点B的速度为v== m/s=2 m/s,故B正确;在前3 s内,质点B的位移为6 m,质点A的位移为9 m,质点A比B向前多前进了3 m,故C错误;t=1 s时刻,质点A的速度为2 m/s,质点B以v=2 m/s的速度做匀速直线运动,故D正确.
    例2 (多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图象分别如图3中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是(  )

    图3
    A.两车在t1时刻也并排行驶
    B.在t1时刻甲车在后,乙车在前
    C.甲车的加速度大小先增大后减小
    D.乙车的加速度大小先减小后增大
    答案 BD
    解析 t1~t2时间内,甲车位移大于乙车位移,且t2时刻两车并排行驶,则t1时刻甲在乙的后面,A项错误,B项正确;由题图图象的斜率知,甲、乙两车的加速度均先减小后增大,C项错误,D项正确.
    变式2 (多选)如图4所示是某质点做直线运动的v-t图象,由图可知这个质点的运动情况是(  )

    图4
    A.前5 s做的是匀速运动
    B.5~15 s内做匀加速运动,加速度为1 m/s2
    C.15~20 s内做匀减速运动,加速度为-3.2 m/s2
    D.质点15 s末离出发点最远,20 s末回到出发点
    答案 AC
    解析 由题图可知,前5 s做的是匀速运动,A正确;5~15 s内做匀加速运动,但加速度为0.8 m/s2,B错误;15~20 s做匀减速运动,其加速度为-3.2 m/s2,C正确;质点在20 s末离出发点最远,质点一直做方向不变的直线运动,D错误.
    拓展点1 非常规图象

    1.四类图象
    (1)a-t图象
    由v=v0+at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv,如图5甲所示.
    (2)-t图象
    由x=v0t+at2可得=v0+at,图象的斜率为a,如图乙所示.

    图5
    (3)v2-x图象
    由v2-v02=2ax可知v2=v02+2ax,图象斜率为2a.
    (4)x-v图象
    x与v的关系式:2ax=v2-v02,图象表达式:x=v2-v02.

    2.解题技巧
    (1)用函数思想分析图象:
    图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系,来分析图象的意义.
    (2)要注意应用解析法和排除法,两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度.
    例3 (2020·福建三明市质量检测)如图6所示四幅图为物体做直线运动的图象,下列说法正确的是(  )


    图6
    A.甲图中,物体在0~t0这段时间内的位移小于
    B.乙图中,物体的加速度为2 m/s2
    C.丙图中,阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量
    D.丁图中,t=3 s时物体的速度为25 m/s
    答案 D
    解析 题图甲中,因v-t图象与t轴围成的面积等于位移,可知物体在0~t0这段时间内的位移大于,选项A错误;题图乙中,根据v2=2ax可知2a= m/s2=1 m/s2,则物体的加速度为0.5 m/s2,选项B错误;题图丙中,根据Δv=aΔt可知,阴影面积表示t1~t2时间内物体的速度变化量,选项C错误;题图丁中,由x=v0t+at2可得=v0+at,由图象可知a= m/s2=5 m/s2,v0=-5 m/s,则a=10 m/s2; 则t=3 s时物体的速度为v3=v0+at3=25 m/s,选项D正确.
    拓展点2 图象信息提取问题

    有些图象问题的分析和解决,要充分挖掘图象的隐含信息(比如图象的斜率、截距、包围面积及特殊点坐标等)才能顺利解题.

    例4 (2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月联合调研)甲、乙两辆汽车在同一平直公路上行驶,在t=0时刻两车正好相遇,在之后一段时间0~t2内两车速度—时间图象(v-t图象)如图7所示,则在0~t2这段时间内有关两车的运动,下列说法正确的是(  )

    图7
    A.甲、乙两辆车运动方向相反
    B.在t1时刻甲、乙两车再次相遇
    C.乙车在0~t2时间内的平均速度小于
    D.在t1~t2时间内乙车在甲车前方
    答案 C
    解析 由题图可知,二者速度均为正值,即二者均向正方向运动,故甲、乙两辆车运动方向相同,故选项A错误;由题图可知,在0~t1时间内,二者位移不相等,即在t1时刻甲、乙两车没有相遇,在该时刻二者速度相等,二者之间的距离是最大的,故选项B错误;若乙车在0~t2时间内做匀变速运动,则平均速度为,如图所示,

    由v-t图象与t轴所围面积代表位移可知,匀变速运动的位移较大,故乙车在这段时间内的平均速度小于,故选项C正确;由于甲的初速度大于乙的初速度,所以开始时甲车在乙车前面,由v-t图象与t轴所围面积代表位移可知,在0~t2时间内甲的位移大于乙的位移,故整个过程中甲车一直在乙车前面,故选项D错误.

    1.分析思路
    可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
    (1)一个临界条件:速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点;
    (2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系,通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.
    2.临界法
    寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.
    3.函数法
    设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇.
    4.图象法
    (1)若用位移图象求解,分别作出两个物体的位移图象,如果两个物体的位移图象相交,则说明两物体相遇.
    (2)若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.
    5.特别提醒
    若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
    例5 甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶,甲车在前,速度为v1=8 m/s,乙车在后,速度为v2=16 m/s,当两车相距x0=8 m时,甲车因故开始刹车,加速度大小为a1=2 m/s2,为避免相撞,乙车立即开始刹车,则乙车的加速度至少为多大?
    答案 6 m/s2
    解析 方法一 临界法
    设两车减速后速度相同时为v,所用时间为t,乙车的加速度大小为a2,则v1-a1t=v2-a2t=v,t=t-x0,解得t=2 s,a2=6 m/s2,即t=2 s时,两车恰好未相撞,显然此后到停止运动前,甲的速度始终大于乙的速度,故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.
    方法二 函数法
    甲运动的位移x甲=v1t-a1t2,乙运动的位移x乙=v2t-a2t2
    避免相撞的条件为x乙-x甲≤x0
    即(a2-a1)t2+(v1-v2)t+x0≥0
    代入数据有(a2-2)t2-16t+16≥0
    由数学知识得,不等式成立的条件是162-4×16(a2-2)≤0,且a2-2>0
    解得a2≥6 m/s2.
    变式3 (2019·山东烟台市期末)甲、乙两辆汽车在平直的高速公路上行驶,某时刻两车正好并排行驶,从该时刻起两车的速度-时间图象如图8所示,则下列说法正确的是(  )

    图8
    A.t0时刻两车相遇
    B.0~t1时间内,甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小且方向相同
    C.0~t0时间内,甲车的平均速度小于乙车的平均速度
    D.t1时刻甲、乙两车一定再次相遇,之后甲车将一直在乙车前方
    答案 C
    解析 根据速度-时间图象与时间轴所围的“面积”表示位移,知0~t0时间内乙车的位移比甲车的大,则t0时刻两车没有相遇,故A错误;0~t1时间内,甲、乙两车图象斜率的绝对值均逐渐减小,则它们的加速度大小均逐渐减小,甲图象切线斜率为正,乙图象切线斜率为负,则加速度方向相反,故B错误;0~t0时间内甲车的位移比乙车的小,则甲车的平均速度小于乙车的平均速度,故C正确;0~t1时间内,甲车的位移比乙车的大,则甲、乙两车没有在t1时刻相遇,之后甲车的速度比乙车的大,则甲车将一直在乙车前方,故D错误.


    1.(2019·山东潍坊市第二次模拟)甲、乙两辆货车在平直公路上从同一位置同向行驶,两车的v-t图象如图1所示,则在0~4 s时间内(  )

    图1
    A.甲车做曲线运动
    B.乙车一直在甲车的后方
    C.甲车的平均速度小于6 m/s
    D.乙车位移的大小为8 m
    答案 C
    解析 由题图可知,甲车做加速度减小的减速直线运动,乙车做匀加速直线运动,故选项A错误;开始时乙的速度小于甲的速度,由图线与时间轴所围“面积”代表位移可知,开始一段时间内乙车在甲车后方,但是在0~4 s内,通过“面积”分析可知乙车位移大于甲车位移,即乙车没有一直在甲车的后方,故选项B错误;若甲车一直做匀减速直线运动,则图象如图所示:

    则平均速度为:v== m/s=6 m/s,但是通过图形面积可知,甲车的实际位移小于匀减速的位移,故甲车实际的平均速度小于6 m/s,故选项C正确;由图形的“面积”代表位移可知,乙车的位移为:x=×(2+10)×4 m=24 m,故选项D错误.
    2.(多选)(2019·河北唐山市第一次模拟)如图2所示的x-t图象反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系,已知乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于10 s处,则0~10 s过程中(  )

    图2
    A.甲车的速度大小为4.0 m/s
    B.乙车的平均速度大小为4.0 m/s
    C.甲车的位移大小为40 m
    D.乙车的位移大小为80 m
    答案 ACD
    解析 甲车做匀速直线运动,速度v甲== m/s=4 m/s,在0~10 s内位移为:x甲=v甲t=4×10 m=40 m,故A、C正确;乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于10 s处,则t=10 s时,速度为零,根据逆向思维法,乙车匀减速到速度为0的减速过程,其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动,则根据位移与时间关系x=at2,结合图象有:x0=at2=a·
    (10 s)2,20 m=at=a·(5 s)2,解得:a=1.6 m/s2,x0=80 m,则平均速度大小为:乙== m/s=8 m/s,故B错误,D正确.
    3.(2019·山东日照市上学期期末)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动,其加速度随时间变化的关系图线如图3所示.下列说法正确的是(  )

    图3
    A.物体运动的最大速度是4 m/s
    B.t=4 s时物体回到出发点
    C.t=4 s时物体开始反向运动
    D.t=1 s时和t=3 s时物体的瞬时速度相同
    答案 D
    解析 图象与时间轴所围“面积”表示速度变化量,由题图可知,物体运动的最大速度为vmax=×2×2 m/s=2 m/s,A错误;0~1 s物体做加速度增大的加速运动,1~2 s物体做加速度减小的加速运动,2~3 s物体做加速度反向增大的减速运动,3~4 s,物体做加速度反向减小的减速运动,根据对称性可知,物体在4 s末时速度减为零,4 s后物体又重复前面的运动,故B、C错误;由B、C项分析可知,t=1 s时和t=3 s时物体的瞬时速度相同,故D正确.
    4.(2020·辽宁沈阳市第一次质检)如图4为一个质点做直线运动的v-t图象,该质点在前2 s内向西运动,则该质点(  )

    图4
    A.在前2 s内加速度方向也向西
    B.在前4 s内加速度方向始终向东
    C.在4~6 s内加速度方向始终向东
    D.在0~6 s内加速度方向始终不变
    答案 B
    解析 由题意结合图象可知向西为负方向,向东为正方向,该质点在前2 s内向西减速运动,则该段时间加速度向东,而2~4 s向东做加速运动,则加速度方向仍然向东,故选项A错误,B正确;由题图图象可知质点在4~5 s内向东做减速运动,而5~6 s内向西做加速运动,所以在4~6 s这段时间内加速度方向一直向西,故选项C错误;由上面分析可知,在0~4 s内加速度方向向东,在4~6 s内加速度方向向西,即在6 s内加速度方向发生变化,故选项D错误.

    5.(2019·安徽合肥市第一次质检)甲、乙两物体由同一点沿同一条直线运动,它们的v-t图象如图5所示,则在0~4 s内(  )

    图5
    A.两物体始终同向运动
    B.2 s末两物体相距最远
    C.两物体平均速度相等
    D.4 s末两物体相遇
    答案 A
    解析 0~4 s内,甲、乙两物体的v-t图象均在横轴的上方,速度均为正,故两物体始终同向运动,A正确;由题意可知,甲、乙两物体同时同地沿同向运动,在0~4 s内,甲在前,乙在后,甲的速度大于乙的速度,两物体距离越来越大,在4 s时速度相同,此时两物体距离最远,B、D错误;0~4 s内,由图象可知,甲的位移大于乙的位移,即x甲>x乙,根据=,两物体的平均速度甲>乙,故C错误.
    6.(2019·贵州省部分重点中学质量评测卷(四))甲、乙两物体从同一地点出发沿同一直线运动,它们的位移—时间图象如图6所示,则(  )

    图6
    A.前3 s内甲、乙的平均速度相等
    B.3 s末时甲、乙两物体的速度相同
    C.前3 s内甲、乙的运动方向始终相同
    D.前3 s内甲、乙两物体的最大距离为1 m
    答案 A
    解析 因为乙物体的位移—时间图象是过坐标原点的直线,所以乙物体做匀速直线运动,甲物体的位移—时间图象是曲线,所以甲物体做的是变速直线运动.因为两物体同时同地出发,开始时甲的速度大于乙的速度,在第3 s末两图线相交,则位移相等,所以前3 s内甲、乙的平均速度相等,故A正确;由题图可知,3 s末时甲、乙两物体的速度方向相反,故B错误;由题图可知,甲在位移达到3 m时速度减小为零,然后反方向运动,故C错误;由题图可知,前3 s内甲、乙两物体的最大距离大于1 m,故D错误.
    7.(2019·河北邢台市期中)有四个物体A、B、C、D,物体A、B从同一地点沿同一方向运动的x-t图象如图7甲所示,物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图象如图乙所示.根据图象做出的以下判断中正确的是(  )

    图7
    A.物体A和B均做匀变速直线运动
    B.在0~3 s的时间内,物体A、B的间距逐渐减小
    C.t=3 s时,物体C、D的速度相同
    D.在0~3 s的时间内,物体C与D的间距逐渐减小
    答案 C
    解析 x-t图象的斜率表示速度,由题图甲看出,物体A和B位移—时间图线都是倾斜的直线,斜率都不变,则速度都不变,说明两物体都做匀速直线运动,故A错误;由题图甲看出,在0~3 s的时间内,物体A的速度大于B的速度,所以物体A、B的间距逐渐增大,故B错误;由题图乙可以看出C、D两物体的图线在t=3 s时交于一点,所以在t=3 s时,C、D的速度一定相同,故C正确;由题图乙看出,前3 s内,D的速度较大,C、D间距离增大,3 s后C的速度较大,两者距离减小,t=3 s时,物体C与物体D之间有最大间距,故D错误.

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