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2021届高考物理人教版一轮创新教学案：热点专题1 第3讲 运动图象 追及相遇问题
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第3讲 运动图象 追及相遇问题
热点概述 (1)本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式出现。(2)理解匀变速直线运动的xt图象和vt图象，并加以区分和应用。(3)掌握追及、相遇问题的特点及类型，并能解决与生活相联系的实际问题。
热点一 运动图象
1．位移—时间(xt)图象
(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并非物体运动的轨迹。
(2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表位移为正方向，t轴下方代表位移为负方向。
(3)位移—时间图线上每一点切线的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
2．位置坐标(yx)图象
表示物体平面位置的坐标图，图线表示物体在平面内实际运动轨迹的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移。
3．速度—时间(vt)图象
(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，只能描述物体做直线运动的情况。
(2)速度—时间图线上每一点的切线斜率表示物体该时刻的加速度。
(3)速度—时间图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移。图线与t轴上方所围“面积”表示正向位移，与t轴下方所围“面积”表示负向位移。
4．加速度—时间(at)图象
(1)加速度—时间图象反映了做直线运动的物体的加速度随时间变化的规律。
(2)加速度—时间图线上每一点的切线斜率表示物体该时刻的加速度变化快慢。
(3)加速度—时间图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的速度变化量。图线与t轴上方所围“面积”表示速度变化量为正，与t轴下方所围“面积”表示速度变化量为负。
[例1] 甲、乙两物体均做直线运动，它们在某段时间内的位移x随时间t变化的图象如图所示，则在0～t1时间内，下列判断正确的是( )
A．甲物体做加速运动
B．甲、乙两物体运动方向相同
C．甲的平均速度比乙的平均速度大
D．甲、乙两物体的平均速度大小相等
解析 xt图线的切线斜率表示物体的速度，由题图可知，甲、乙两物体的速度均逐渐减小，甲沿x轴正方向运动，乙沿x轴负方向运动，A、B均错误；因两物体的位移大小均为x＝x2－x1，时间均为t1，故其平均速度大小均为＝，D正确，C错误。
答案 D
[例2] (多选)如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，下列说法正确的是( )
A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等
D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
解析 位置坐标图象显示的是物体的运动轨迹，从题图可以看出甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个分队的初、末位置相同，位移相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动时间的大小关系，故无法比较三个分队平均速度的大小关系，C错误。
答案 AB
[例3] 如图所示为甲、乙两质点做直线运动的速度—时间图象，则下列说法中正确的是( )
A．在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等
B．甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同
C．甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度
D．在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点
解析 因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度沿正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度沿负方向，两个加速度不相同，故B错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于＝，乙质点在0～t2时间内的平均速度等于＝，故C错误；由题图可知甲、乙两质点的速度均为正值，则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D错误。
答案 A
[例4] 光滑的水平面上有一物体在外力作用下做直线运动，物体的加速度随时间变化的关系如图所示。已知t＝0时物体的速度为1 m/s，以此时的速度方向为正方向。下列说法中正确的是( )
A．0～1 s内物体做匀加速直线运动
B．t＝1 s时物体的速度为3 m/s
C．t＝1 s时物体开始反向运动
D．t＝3 s时物体离出发点最远
解析 由题图可知，0～1 s内物体的加速度均匀增加，物体做变加速直线运动，故A错误；加速度—时间图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量，则1 s内速度的变化量为Δv＝×2×1 m/s＝1 m/s，由于初速度为v0＝1 m/s，所以t＝1 s时物体的速度为2 m/s，故B错误；0～1 s内物体沿正向加速运动，1 s末后加速度反向，物体由于v>0继续沿原方向运动，故C错误；0～3 s内速度的变化量Δv′＝×2×1 m/s－1×2 m/s＝－1 m/s，则3 s末物体的速度为0,0～3 s内物体一直沿正向运动，t＝3 s时物体离出发点最远，故D正确。
答案 D
1．运动图象的识别
根据图象中横坐标、纵坐标所代表的物理量判断是哪种图象，这是解读图象信息的前提。
2．图象信息的解读
相同的图线在不同种类的图象中含义截然不同，如xt图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻相遇；vt图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻速度相等。vt图象的面积表示位移，而at图象的面积表示速度变化量。
[例5] 一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始运动的质点的t图象(x为位移)，可以推知( )
A．质点做匀减速运动
B．加速度的大小是1 m/s2
C．t＝2 s时的速度是1 m/s
D．t＝2 s时的位移是3 m
解析 由题图可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2>0，因此质点做匀加速运动，故A错误，B正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，求出速度是3 m/s，故C错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移是4 m，故D错误。
答案 B
t图象、v2x图象等非常规图象，关键是由已知运动学公式推导出横坐标、纵坐标两个物理量间的函数关系，再与图象比较，或者由图象写出两个量的函数关系式，变形后再与已知公式比较，得出斜率、截距、面积等所代表的物理意义。
1．[教材母题] (人教版必修1 P41·T5)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它相对于出发点的位移。如图为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的xt图象。通过分析回答以下问题。
(1)汽车最远距离出发点多少米？
(2)汽车在哪段时间没有行驶？
(3)汽车在哪段时间驶离出发点，在哪段时间驶向出发点？
[变式子题] 一辆汽车在教练场沿着平直道路行驶，如图为该车的vt图象，下列分析正确的是( )
A．汽车离出发点最远的距离为750 m
B．汽车在10～20 s时间内静止
C．汽车只在20～40 s时间内驶离出发点
D．汽车在40 s末回到出发点
答案 A
解析 由图可知，汽车先匀加速运动，后匀速运动，再匀减速运动，在0～40 s时间内，速度均为正方向，所以汽车一直向远离出发点的方向运动，B、C、D均错误；由vt图象与t轴所围面积表示位移得，汽车离出发点的最远距离s＝×(10＋40)×30 m＝750 m，A正确。
2.(多选)如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(xt)图象。由图可知( )
A．在t1时刻，a车追上b车
B．在t2时刻，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
答案 BC
解析 由xt图象可以看出，在t1时刻，b车追上a车，A错误；在t2时刻，b车xt图象的斜率为负值，表示b车速度沿负方向，而a车的速度始终沿正方向，B正确；从t1时刻到t2时刻，图线b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b车的速率先减小至零后增大，C正确，D错误。
3．(2019·山西吕梁高三期末)司机驾驶汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况刹车直到停止运动，从司机发现情况到停止运动这段时间内汽车的t图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．从司机发现情况开始至汽车停止所用时间为5.5 s
B．汽车刹车过程的加速度大小为2.0 m/s2
C．汽车刹车过程的加速度大小为4.0 m/s2
D．从司机发现情况开始至刹车停止，汽车的总位移为30 m
答案 C
解析 通过图象可知，第一阶段在司机反应时间0.5 s内，汽车做匀速直线运动，第二阶段司机刹车，汽车做匀减速直线运动到停止，根据匀变速直线运动规律x＝v0t＋at2，得到＝v0＋at，可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，B错误，C正确；减速所用时间t减＝＝2.5 s，故从司机发现情况开始到汽车停止所用的时间为3 s，A错误；全程位移为x＝v0t匀＋t减＝17.5 m，D错误。
4.一辆汽车做直线运动，其v2x图象如图所示。关于汽车的运动，下列说法错误的是( )
A．汽车的初速度为4 m/s
B．汽车的加速度大小为0.5 m/s2
C．汽车第4 s末的速度为2 m/s
D．汽车前10 s内的位移为15 m
答案 D
解析 由图象知，x＝0时，v0＝4 m/s，A正确；由v2－v＝2ax，得v2＝v＋2ax，v2x图象的斜率k＝2a，得a＝－0.5 m/s2，B正确；由v＝v0＋at，得汽车第4 s末的速度为2 m/s，C正确；由v＝v0＋at知，汽车经过8 s停下来，由图象知v＝0时汽车的位移为16 m，则汽车前10 s内的位移为16 m，D错误。
热点二 追及相遇问题
讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在同一时刻能否到达同一位置。
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定大于或等于前者速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
2．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。
(2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。
3．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”
(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
4．追及、相遇问题的常见情景
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情景：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相遇，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若A追不上B，则当vA＝vB时，xA－xB
[例1] (多选)如图所示，为甲、乙两个物体同时从同一地点出发、沿同一直线运动的速度—时间图象。下列说法正确的是( )
A．在0～2.0 s内，甲的加速度小于乙的加速度
B．在2.0 s时，乙在甲前面
C．在0～6.0 s内，甲和乙的位移相同
D．在0～6.0 s内，甲和乙相遇一次
解析 速度—时间图象的斜率的绝对值表示物体加速度的大小，则0～2.0 s内，物体甲的加速度大于物体乙的加速度，A错误；根据速度—时间图象与时间轴围成的面积表示物体的位移，可知0～2.0 s的时间内，物体甲的位移大小为6 m，物体乙的位移大小为10 m，显然2.0 s时物体乙处在物体甲的前方，B正确；0～6.0 s的时间内，物体甲的位移大小为24 m，物体乙的位移大小为18 m,6.0 s时物体甲在物体乙的前方，C错误；由图象结合以上分析可知在0～2.0 s的时间内，物体乙在前面，后来一直有v甲>v乙，则相遇后物体甲一直在物体乙的前面，故0～6.0 s内物体甲和物体乙相遇一次，D正确。
答案 BD
用运动图象解答追及和相遇问题的思路
特别提醒：vt图象中能反映运动的位移，但不能反映初始位置，做题时要特别关注两物体初始位置的关系。
[例2] 一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速运动，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析 (1)解法一：物理分析法
汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝＝2 s，Δx＝v自t1－at＝6 m。
解法二：相对运动法
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s
末速度v＝v汽末－v自＝0
加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2
所以两车相距最远时经历的时间为
t1＝＝2 s
此时汽车的位移为Δx＝＝－6 m
负号表示汽车在后，故最大距离为6 m。
注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。
解法三：极值法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距Δx，则
Δx＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m，所以经过t1＝2 s，两车相距最远，此时距离为Δx＝6 m。
解法四：图象法
自行车和汽车的vt图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二：由前面画出的vt图象可以看出，在t1时刻之后，当由两图线和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以
t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
答案 (1)2 s 6 m
(2)4 s 12 m/s
1.在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车。两辆车刹车时的vt图象如图，下列说法正确的是( )
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．t＝24 s时两车的速度均为8 m/s
C．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定等于48 m
D．若两车发生碰撞，则可能是在刹车24 s以后的某时刻发生相撞
答案 B
解析 甲车的加速度大小a1＝||＝ m/s2＝ m/s2，乙车的加速度大小a2＝||＝ m/s2＝ m/s2，则甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；t＝24 s时两车的速度均为v＝v0－a1t＝16 m/s－×24 m/s＝8 m/s，故B正确；0～24 s内，甲车的位移x1＝×24 m＝288 m，乙车的位移x2＝×24 m＝336 m，两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m，若两车在t＝24 s时刻相撞，则开始刹车时两辆车的间距等于48 m，若两车在t＝24 s时刻之前相撞，开始刹车时两辆车的间距小于48 m，故C错误；若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能再相撞，故D错误。
2．(多选)如图所示为A、B两质点在同一直线上运动的位置—时间(xt)图象。A质点的图象为直线，B质点的图象为过原点的抛物线，两图象交点C、D的坐标如图所示。下列说法正确的是( )
A．A、B相遇两次
B．t1～t2时间段内B质点的平均速度与A质点匀速运动的速度相等
C．两质点速度相等的时刻一定在t1～t2时间段内的中间时刻
D．A在B前面且离B最远时，B的位置坐标为
答案 ABC
解析 xt图象的图线交点表示同一时刻到达同一位置，即相遇，故A正确；由图象可知，t1～t2时间段内，A质点做匀速直线运动，平均速度总等于瞬时速度，两质点的位置变化相同，则平均速度相等，故B正确；B质点的xt图象为过原点的抛物线，所以B质点做匀加速直线运动，B质点在t1～t2时间段内的平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，故C正确；当A、B速度相等时，即t1～t2时间段内的中间时刻，A在B前面且离B最远，此时A的位置坐标为，B的位置坐标小于，故D错误。
3．(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的vt图象如图所示。下列判断正确的是( )
A．乙车启动时，甲车在其前方50 m处
B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
C．乙车启动10 s后正好追上甲车
D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇
答案 ABD
解析 根据速度时间图象中图线与时间轴所包围的面积表示位移可知，乙在t＝10 s时启动，此时甲的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙车前方50 m处，故A正确；当两车的速度相等时相距最远，最远距离为xmax＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故B正确；两车位移相等时相遇，由图可知，乙车启动10 s后位移小于甲车的位移，还没有追上甲车，故C错误；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以两车不可能再相遇，D正确。
4．(2020·四川省遂宁市高三零模)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常离不开手机。然而开车使用手机是一种分心驾驶的行为，极易引发交通事故。如图所示，一辆出租车在平直公路上以v1＝15 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝33.5 m处有一电动三轮车，正以v2＝6 m/s速度匀速行驶，而出租车司机此时正低头看手机，t1＝2.5 s后才发现危险，司机立刻采取紧急制动措施，再经t2＝0.5 s后汽车以a＝5 m/s2的加速度大小开始做匀减速直线运动。
(1)当出租车开始减速时出租车与三轮车间的距离是多少？
(2)通过计算判断三轮车是否被撞。若不会相撞，求二者间的最小距离。若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
答案 (1)6.5 m (2)会相撞 1 s
解析 (1)在t＝t1＋t2＝3 s时间内二者均做匀速直线运动
汽车运动的位移：x1＝v1t＝45 m
三轮车运动的位移：x2＝v2t＝18 m
二者的间距：Δx＝x0－(x1－x2)＝6.5 m。
(2)设汽车减速经时间t3与三轮车速度相同，有：
v2＝v1－at3
解得：t3＝1.8 s
在该段时间内汽车的位移：
x3＝t3＝18.9 m
在该段时间内三轮车的位移：
x4＝v2t3＝10.8 m
二者的间距：
Δx′＝Δx－(x3－x4)＝－1.6 m<0
可知两车在共速前已经相撞，设汽车减速经时间t4与三轮车相撞。在该段时间内汽车的位移：
x5＝v1t4－at
在该段时间内三轮车的位移：
x6＝v2t4
由位移关系有：x5＝x6＋Δx
解得：t4＝1 s。
课时作业
1．(2019·浙江选考)一辆汽车沿平直道路行驶，其vt图象如图所示。在t＝0到t＝40 s这段时间内，汽车的位移是( )
A．0 B．30 m
C．750 m D．1200 m
答案 C
解析 在vt图象中图线与时间轴围成的面积表示位移，故汽车在0～40 s内的位移为x＝×(10＋40)×30 m＝750 m，C正确。
2.(多选)在足球比赛中，跑位技术相当重要。如图所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度—时间图象，则在这段时间内，该球员( )
A．运动方向不变
B．运动的加速度方向不变
C．先做加速运动后做减速运动
D．运动的加速度先减小后增大
答案 AC
解析 因vt图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，故A、C正确，B、D错误。
3.(2019·四平市第一高级中学高考模拟)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上行驶，其位移—时间图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．0～4 s内，乙车做匀速直线运动
B．2 s末，甲、乙两车相遇
C．2 s末，甲车的速度小于乙车的速度
D．0～4 s内，甲、乙两车的平均速度相同
答案 AB
解析 根据位移—时间图象的纵坐标表示位置，斜率表示速度，由图可知乙的图线为倾斜直线，则乙沿正方向做匀速直线运动，故A正确；由图象可知2 s末两车的位置相同，即两车相遇，故B正确；由位移—时间图线的斜率表示瞬时速度，可得2 s末v乙＝ m/s＝5 m/s，甲在0～2 s的平均速度＝ m/s＝5 m/s，而在0～2 s内甲的速度逐渐增大，故2 s末甲的速度大于乙的速度，C错误；由平均速度的定义＝，可得0～4 s内甲、乙两车的平均速度的大小均为5 m/s，但甲沿负方向运动，乙沿正方向运动，故平均速度的方向不相同，D错误。
4.(2019·山东省实验、淄博实验、烟台一中、莱芜一中四校联合一模)一物体做匀加速直线运动，从某位置开始通过传感器收集位移和速度等数据信息，然后输入计算机自动生成了物体运动的xv图象，如图所示。以下说法正确的是( )
A．物体运动的初速度为1 m/s
B．物体运动的加速度为2 m/s2
C．物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的位移大小为1 m
D．物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的运动时间为2 s
答案 B
解析 物体做匀加速直线运动，则有v2－v＝2ax，由图可知，当v＝0时，x＝－1 m，代入上式得：－v＝－2a，当x＝0时，v＝2 m/s，代入上式得：4－v＝0，解得：v0＝2 m/s，a＝2 m/s2，故A错误，B正确；物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的位移大小为x＝＝ m＝3 m，故C错误；物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的运动时间为t＝＝ s＝1 s，故D错误。
5.(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 vt图象中图线与t轴所包围的面积代表运动的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助于面积可知在t1时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；图线的斜率表示加速度，所以甲的加速度先减小后增大，乙的加速度也是先减小后增大，故C错误，D正确。
6.(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
答案 CD
解析 根据位移图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，A错误；从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，B错误；从t1到t2时间内，两车都是从x1位置走到x2位置，两车走过的路程相等，C正确；根据位移图象的斜率等于速度可知，从t1到t2时间内的某时刻，有甲图线的切线与乙图线平行、斜率相同，两车速度相等，D正确。
7．(2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图象如图所示。已知两车在t＝3 s 时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 由题中vt图象得a甲＝10 m/s2，a乙＝5 m/s2，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x甲＝a甲t2＝×10×32 m＝45 m，x乙＝v0t＋a乙t2＝10×3 m＋×5×32 m＝52.5 m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5 m，B项正确；t＝1 s时，x甲′＝a甲·t′2＝5 m，x乙′＝v0t′＋a乙t′2＝12.5 m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5 m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1 s，故A、C两项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40 m，故D项正确。
8．(多选)一质点以一定的初速度从A点开始向相距8 m的B点做直线运动，运动过程中其速度的二次方v2与位移x之间的关系图线如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点做加速度增大的变加速度运动
B．质点做匀加速运动，其加速度大小为2 m/s2
C．质点运动的初速度大小为2 m/s
D．质点从A点运动到B点所用的时间为8 s
答案 BC
解析 根据v2＝v＋2ax可知，2a＝＝4，则a＝2 m/s2，v＝×36＝4，v0＝2 m/s，可知质点做匀加速直线运动，B、C正确，A错误；由图可知，质点在B点的速度v＝6 m/s，质点从A点运动到B点所用的时间为t＝＝ s＝2 s，D错误。
9．(2020·河南省洛阳市尖子生联考)某质点做匀变速直线运动，运动的时间为t，位移为x，该质点的t图象如图所示，下列说法错误的是( )
A．质点的加速度大小为
B．t＝0时，质点的初速度大小为c
C．t＝0到t＝b这段时间质点的平均速度为0
D．t＝0到t＝b这段时间质点的路程为
答案 D
解析 根据匀变速直线运动位移时间公式x＝v0t＋at2得：＝v0＋at，根据数学知识可得：t图象的斜率k＝a＝－，得加速度为a＝(－)，加速度大小为，初速度为v0＝c，故A、B正确；t＝0到t＝b这段时间质点的位移为x＝v0t＋at2＝c·b＋·－·b2＝0，则平均速度为0，故C正确；t＝0到速度为零这段时间质点通过的路程为s1＝＝＝bc，用时t1＝＝＝b，则从t＝0到t＝b这段时间质点的路程s>bc，故D错误。故选D。
10．(2019·陕西高考模拟)A、B两小车在同一直线上运动，它们运动的位移s随时间t变化的关系如图所示，已知A车的st图象为抛物线的一部分，第7 s末图象处于最高点，B车的图象为直线，则下列说法正确的是( )
A．A车的初速度为7 m/s
B．A车的加速度大小为2 m/s2
C．A车减速过程运动的位移大小为50 m
D．10 s末两车相遇时，B车的速度较大
答案 B
解析 由题知A车做匀变速直线运动，设A车的初速度为v0，加速度大小为a，由图可知t＝7 s时，A车的速度为零，由运动学公式可得v7＝v0－7a＝0，根据图象和运动学公式可知，t＝10 s时，A车的的位移为x10＝40 m，x10＝v0t－at2＝10v0－50a，联立解得a＝2 m/s2，v0＝14 m/s，故B正确，A错误；A车减速过程运动的位移大小为x7＝t′＝×7 m＝49 m，故C错误；由st图线的斜率等于速度可得，10 s末两车相遇时，B车的速度大小为vB＝＝4 m/s，A车的速度为vA＝v0－at＝－6 m/s，故A车的速度较大，D错误。
11．(2020·江西省南昌市高三上学期摸底考试)甲、乙两车在平直公路上行驶，t＝0时刻两车处于同一位置，其速度—时间图象如图所示，两图象交点处的坐标及切线如图，则( )
A．t＝8 s末，甲、乙两车相遇
B．甲、乙两图象交点t＝2 s末，甲车的加速度大于乙车的加速度
C．在0～2 s内，甲车的位移小于乙车的位移
D．在2～8 s内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度
答案 C
解析 在vt图象中，图象和时间轴所围面积表示位移，则由题可得，t＝8 s末甲的位移大于乙的位移，甲在乙的前方，故A错误；在t＝2 s末，乙车的加速度a乙＝＝ m/s2＝－5 m/s2，甲车的加速度a甲＝＝ m/s2＝5 m/s2，即甲车的加速度大小等于乙车的加速度大小，故B错误；在vt图象中，图象和时间轴所围面积表示位移，则在0～2 s内，甲车的位移小于乙车的位移，故C正确；在2～8 s内，甲的位移大于乙的位移，由＝知，甲车的平均速度大于乙车的平均速度，故D错误。
12．(2019·荆门市第一中学高考模拟)甲、乙两物体在同一直线上，沿同方向的运动。其运动的速度—时间图象如图所示，由图可知( )
A．0～10 s的时间内，甲、乙两物体间的距离逐渐增大，t＝20 s时两物体相遇
B．0～10 s的时间内，甲、乙两物体间的距离逐渐减小，t＝10 s时两物体相遇
C．t＝20 s后甲物体运动的加速度和速度都反向，所以两物体相遇只能发生在20 s之后
D．无法判断甲、乙两物体在何时相遇
答案 D
解析 由于初始时甲、乙的位置关系不确定，无法判断0～10 s的时间内甲、乙之间的距离变化情况以及何时相遇，A、B错误，D正确；t＝20 s后甲运动的加速度不变，速度方向发生变化，C错误。
13. (多选)甲、乙两车沿平行靠近的平直轨道同向行驶。t＝0时刻，两车同时开始刹车，其vt图象如图所示。已知在刹车后的运动过程中两车发生了相遇，下列说法正确的是( )
A．开始刹车时，一定是乙车在前，甲车在后
B．两车刹车时的距离一定不大于100 m
C．两车一定是在t＝20 s时相遇
D．两车一定相遇两次
答案 AB
解析 甲车的加速度a1＝ m/s2＝－1 m/s2，乙车的加速度a2＝ m/s2＝－0.5 m/s2，两车速度相等经历的时间为20 s，此时甲车的位移x1＝v1t＋a1t2＝25×20 m－×1×202 m＝300 m，乙车的位移x2＝v2t＋a2t2＝15×20 m－×0.5×202 m＝200 m，因为两车要相遇，则两车刹车时的距离小于或等于x1－x2＝100 m，因甲车的初速度更大，故在开始刹车时，一定是乙车在前，甲车在后，故A、B正确；只有两车刹车时的距离等于100 m时，两车才是在t＝20 s时相遇，若两车刹车时的距离小于100 m，则两车在t＝20 s之前相遇，C错误；若两车刹车时的距离等于100 m，则t＝20 s后，乙车的速度大于甲车的速度，且乙车在前，甲车在后，故两车将不会再相遇，D错误。
14．(2019·江西省新余市四模)(多选)A、B、C、D四个物体在同一条直线上做直线运动，A物体的xt、B物体的vt、C物体和D物体的at图象依次如图所示，规定水平向右为正，已知物体在t＝0时的速度均为零，且此时C物体在D物体的左边1.75 m处，则( )
A．其中0～4 s内物体运动位移最大的是B物体
B．其中0～4 s内物体运动位移最大的是C物体
C．t＝2.5 s时C物体追上D物体
D．t＝3.5 s时C物体追上D物体
答案 BD
解析 0～4 s内物体A、B的位移为零，物体C一直向右运动，物体D在0～1 s内加速，在1～2 s内减速到零，然后2～3 s内反向加速，3～4 s内减速到零回到出发点，故0～4 s内物体运动位移最大的是C物体，B正确，A错误；0～3 s内C的位移xC1＝3×at2＝1.5×1×12 m＝1.5 m,3～3.5 s内C的位移xC2＝1×1×0.5 m－×1×0.52 m＝0.375 m，则0～3.5 s内C向右的位移xC＝1.5 m＋0.375 m＝1.875 m，同理在0～3.5 s内D的位移xD＝2××1×12 m－×1×12 m－(1×1×0.5－×1×0.52)m＝0.125 m，因开始时C物体在D物体的左边1.75 m处，则t＝3.5 s时C物体追上D物体，D正确，C错误。
15．(2020·山东菏泽高三上学期期中)2019年6月，某地由于连续暴雨而引发一处泥石流。如图所示，一汽车正以8 m/s的速度向坡底A点运动，当距A点8 m时，司机突然发现山坡上距坡底80 m处的泥石流正以8 m/s的速度、0.5 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，司机立即刹车减速，减速时的加速度大小为4 m/s2，速度减为零后立即反向加速躲避泥石流。假设泥石流到达坡底后速率不变，继续沿水平地面做匀速直线运动。求：
(1)泥石流到达坡底的速度和时间；
(2)汽车的加速度至少多大司机才能脱离危险。
答案 (1)12 m/s 8 s (2)1 m/s2
解析 (1)由运动学公式v2－v＝2ax可得：
泥石流到达坡底的速度
v＝＝ m/s＝12 m/s
泥石流到达坡底的时间
t1＝＝ s＝8 s。
(2)设汽车减速到零所用的时间为t2，则
t2＝＝ s＝2 s
汽车减速运动过程的位移大小
x1＝＝ m＝8 m
设泥石流在水平段运动的时间为t时恰好追赶上汽车，此时，汽车和泥石流的速度相等，则汽车加速运动的时间为t＋6 s。设汽车加速运动的加速度为a2，则
v＝a2(t＋6 s)
vt＝(t＋6 s)
代入数据解得：a2＝1 m/s2。
第3讲 运动图象 追及相遇问题
热点概述 (1)本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式出现。(2)理解匀变速直线运动的xt图象和vt图象，并加以区分和应用。(3)掌握追及、相遇问题的特点及类型，并能解决与生活相联系的实际问题。
热点一 运动图象
1．位移—时间(xt)图象
(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并非物体运动的轨迹。
(2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表位移为正方向，t轴下方代表位移为负方向。
(3)位移—时间图线上每一点切线的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
2．位置坐标(yx)图象
表示物体平面位置的坐标图，图线表示物体在平面内实际运动轨迹的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移。
3．速度—时间(vt)图象
(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，只能描述物体做直线运动的情况。
(2)速度—时间图线上每一点的切线斜率表示物体该时刻的加速度。
(3)速度—时间图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移。图线与t轴上方所围“面积”表示正向位移，与t轴下方所围“面积”表示负向位移。
4．加速度—时间(at)图象
(1)加速度—时间图象反映了做直线运动的物体的加速度随时间变化的规律。
(2)加速度—时间图线上每一点的切线斜率表示物体该时刻的加速度变化快慢。
(3)加速度—时间图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的速度变化量。图线与t轴上方所围“面积”表示速度变化量为正，与t轴下方所围“面积”表示速度变化量为负。
[例1] 甲、乙两物体均做直线运动，它们在某段时间内的位移x随时间t变化的图象如图所示，则在0～t1时间内，下列判断正确的是( )
A．甲物体做加速运动
B．甲、乙两物体运动方向相同
C．甲的平均速度比乙的平均速度大
D．甲、乙两物体的平均速度大小相等
解析 xt图线的切线斜率表示物体的速度，由题图可知，甲、乙两物体的速度均逐渐减小，甲沿x轴正方向运动，乙沿x轴负方向运动，A、B均错误；因两物体的位移大小均为x＝x2－x1，时间均为t1，故其平均速度大小均为＝，D正确，C错误。
答案 D
[例2] (多选)如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，下列说法正确的是( )
A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等
D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
解析 位置坐标图象显示的是物体的运动轨迹，从题图可以看出甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个分队的初、末位置相同，位移相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动时间的大小关系，故无法比较三个分队平均速度的大小关系，C错误。
答案 AB
[例3] 如图所示为甲、乙两质点做直线运动的速度—时间图象，则下列说法中正确的是( )
A．在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等
B．甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同
C．甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度
D．在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点
解析 因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度沿正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度沿负方向，两个加速度不相同，故B错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于＝，乙质点在0～t2时间内的平均速度等于＝，故C错误；由题图可知甲、乙两质点的速度均为正值，则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D错误。
答案 A
[例4] 光滑的水平面上有一物体在外力作用下做直线运动，物体的加速度随时间变化的关系如图所示。已知t＝0时物体的速度为1 m/s，以此时的速度方向为正方向。下列说法中正确的是( )
A．0～1 s内物体做匀加速直线运动
B．t＝1 s时物体的速度为3 m/s
C．t＝1 s时物体开始反向运动
D．t＝3 s时物体离出发点最远
解析 由题图可知，0～1 s内物体的加速度均匀增加，物体做变加速直线运动，故A错误；加速度—时间图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量，则1 s内速度的变化量为Δv＝×2×1 m/s＝1 m/s，由于初速度为v0＝1 m/s，所以t＝1 s时物体的速度为2 m/s，故B错误；0～1 s内物体沿正向加速运动，1 s末后加速度反向，物体由于v>0继续沿原方向运动，故C错误；0～3 s内速度的变化量Δv′＝×2×1 m/s－1×2 m/s＝－1 m/s，则3 s末物体的速度为0,0～3 s内物体一直沿正向运动，t＝3 s时物体离出发点最远，故D正确。
答案 D
1．运动图象的识别
根据图象中横坐标、纵坐标所代表的物理量判断是哪种图象，这是解读图象信息的前提。
2．图象信息的解读
相同的图线在不同种类的图象中含义截然不同，如xt图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻相遇；vt图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻速度相等。vt图象的面积表示位移，而at图象的面积表示速度变化量。
[例5] 一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始运动的质点的t图象(x为位移)，可以推知( )
A．质点做匀减速运动
B．加速度的大小是1 m/s2
C．t＝2 s时的速度是1 m/s
D．t＝2 s时的位移是3 m
解析 由题图可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2>0，因此质点做匀加速运动，故A错误，B正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，求出速度是3 m/s，故C错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移是4 m，故D错误。
答案 B
t图象、v2x图象等非常规图象，关键是由已知运动学公式推导出横坐标、纵坐标两个物理量间的函数关系，再与图象比较，或者由图象写出两个量的函数关系式，变形后再与已知公式比较，得出斜率、截距、面积等所代表的物理意义。
1．[教材母题] (人教版必修1 P41·T5)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它相对于出发点的位移。如图为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的xt图象。通过分析回答以下问题。
(1)汽车最远距离出发点多少米？
(2)汽车在哪段时间没有行驶？
(3)汽车在哪段时间驶离出发点，在哪段时间驶向出发点？
[变式子题] 一辆汽车在教练场沿着平直道路行驶，如图为该车的vt图象，下列分析正确的是( )
A．汽车离出发点最远的距离为750 m
B．汽车在10～20 s时间内静止
C．汽车只在20～40 s时间内驶离出发点
D．汽车在40 s末回到出发点
答案 A
解析 由图可知，汽车先匀加速运动，后匀速运动，再匀减速运动，在0～40 s时间内，速度均为正方向，所以汽车一直向远离出发点的方向运动，B、C、D均错误；由vt图象与t轴所围面积表示位移得，汽车离出发点的最远距离s＝×(10＋40)×30 m＝750 m，A正确。
2.(多选)如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(xt)图象。由图可知( )
A．在t1时刻，a车追上b车
B．在t2时刻，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
答案 BC
解析 由xt图象可以看出，在t1时刻，b车追上a车，A错误；在t2时刻，b车xt图象的斜率为负值，表示b车速度沿负方向，而a车的速度始终沿正方向，B正确；从t1时刻到t2时刻，图线b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b车的速率先减小至零后增大，C正确，D错误。
3．(2019·山西吕梁高三期末)司机驾驶汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况刹车直到停止运动，从司机发现情况到停止运动这段时间内汽车的t图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．从司机发现情况开始至汽车停止所用时间为5.5 s
B．汽车刹车过程的加速度大小为2.0 m/s2
C．汽车刹车过程的加速度大小为4.0 m/s2
D．从司机发现情况开始至刹车停止，汽车的总位移为30 m
答案 C
解析 通过图象可知，第一阶段在司机反应时间0.5 s内，汽车做匀速直线运动，第二阶段司机刹车，汽车做匀减速直线运动到停止，根据匀变速直线运动规律x＝v0t＋at2，得到＝v0＋at，可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，B错误，C正确；减速所用时间t减＝＝2.5 s，故从司机发现情况开始到汽车停止所用的时间为3 s，A错误；全程位移为x＝v0t匀＋t减＝17.5 m，D错误。
4.一辆汽车做直线运动，其v2x图象如图所示。关于汽车的运动，下列说法错误的是( )
A．汽车的初速度为4 m/s
B．汽车的加速度大小为0.5 m/s2
C．汽车第4 s末的速度为2 m/s
D．汽车前10 s内的位移为15 m
答案 D
解析 由图象知，x＝0时，v0＝4 m/s，A正确；由v2－v＝2ax，得v2＝v＋2ax，v2x图象的斜率k＝2a，得a＝－0.5 m/s2，B正确；由v＝v0＋at，得汽车第4 s末的速度为2 m/s，C正确；由v＝v0＋at知，汽车经过8 s停下来，由图象知v＝0时汽车的位移为16 m，则汽车前10 s内的位移为16 m，D错误。
热点二 追及相遇问题
讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在同一时刻能否到达同一位置。
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定大于或等于前者速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
2．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。
(2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。
3．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”
(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
4．追及、相遇问题的常见情景
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情景：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相遇，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若A追不上B，则当vA＝vB时，xA－xB
[例1] (多选)如图所示，为甲、乙两个物体同时从同一地点出发、沿同一直线运动的速度—时间图象。下列说法正确的是( )
A．在0～2.0 s内，甲的加速度小于乙的加速度
B．在2.0 s时，乙在甲前面
C．在0～6.0 s内，甲和乙的位移相同
D．在0～6.0 s内，甲和乙相遇一次
解析 速度—时间图象的斜率的绝对值表示物体加速度的大小，则0～2.0 s内，物体甲的加速度大于物体乙的加速度，A错误；根据速度—时间图象与时间轴围成的面积表示物体的位移，可知0～2.0 s的时间内，物体甲的位移大小为6 m，物体乙的位移大小为10 m，显然2.0 s时物体乙处在物体甲的前方，B正确；0～6.0 s的时间内，物体甲的位移大小为24 m，物体乙的位移大小为18 m,6.0 s时物体甲在物体乙的前方，C错误；由图象结合以上分析可知在0～2.0 s的时间内，物体乙在前面，后来一直有v甲>v乙，则相遇后物体甲一直在物体乙的前面，故0～6.0 s内物体甲和物体乙相遇一次，D正确。
答案 BD
用运动图象解答追及和相遇问题的思路
特别提醒：vt图象中能反映运动的位移，但不能反映初始位置，做题时要特别关注两物体初始位置的关系。
[例2] 一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速运动，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析 (1)解法一：物理分析法
汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝＝2 s，Δx＝v自t1－at＝6 m。
解法二：相对运动法
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s
末速度v＝v汽末－v自＝0
加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2
所以两车相距最远时经历的时间为
t1＝＝2 s
此时汽车的位移为Δx＝＝－6 m
负号表示汽车在后，故最大距离为6 m。
注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。
解法三：极值法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距Δx，则
Δx＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m，所以经过t1＝2 s，两车相距最远，此时距离为Δx＝6 m。
解法四：图象法
自行车和汽车的vt图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二：由前面画出的vt图象可以看出，在t1时刻之后，当由两图线和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以
t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
答案 (1)2 s 6 m
(2)4 s 12 m/s
1.在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车。两辆车刹车时的vt图象如图，下列说法正确的是( )
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．t＝24 s时两车的速度均为8 m/s
C．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定等于48 m
D．若两车发生碰撞，则可能是在刹车24 s以后的某时刻发生相撞
答案 B
解析 甲车的加速度大小a1＝||＝ m/s2＝ m/s2，乙车的加速度大小a2＝||＝ m/s2＝ m/s2，则甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；t＝24 s时两车的速度均为v＝v0－a1t＝16 m/s－×24 m/s＝8 m/s，故B正确；0～24 s内，甲车的位移x1＝×24 m＝288 m，乙车的位移x2＝×24 m＝336 m，两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m，若两车在t＝24 s时刻相撞，则开始刹车时两辆车的间距等于48 m，若两车在t＝24 s时刻之前相撞，开始刹车时两辆车的间距小于48 m，故C错误；若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能再相撞，故D错误。
2．(多选)如图所示为A、B两质点在同一直线上运动的位置—时间(xt)图象。A质点的图象为直线，B质点的图象为过原点的抛物线，两图象交点C、D的坐标如图所示。下列说法正确的是( )
A．A、B相遇两次
B．t1～t2时间段内B质点的平均速度与A质点匀速运动的速度相等
C．两质点速度相等的时刻一定在t1～t2时间段内的中间时刻
D．A在B前面且离B最远时，B的位置坐标为
答案 ABC
解析 xt图象的图线交点表示同一时刻到达同一位置，即相遇，故A正确；由图象可知，t1～t2时间段内，A质点做匀速直线运动，平均速度总等于瞬时速度，两质点的位置变化相同，则平均速度相等，故B正确；B质点的xt图象为过原点的抛物线，所以B质点做匀加速直线运动，B质点在t1～t2时间段内的平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，故C正确；当A、B速度相等时，即t1～t2时间段内的中间时刻，A在B前面且离B最远，此时A的位置坐标为，B的位置坐标小于，故D错误。
3．(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的vt图象如图所示。下列判断正确的是( )
A．乙车启动时，甲车在其前方50 m处
B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
C．乙车启动10 s后正好追上甲车
D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇
答案 ABD
解析 根据速度时间图象中图线与时间轴所包围的面积表示位移可知，乙在t＝10 s时启动，此时甲的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙车前方50 m处，故A正确；当两车的速度相等时相距最远，最远距离为xmax＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故B正确；两车位移相等时相遇，由图可知，乙车启动10 s后位移小于甲车的位移，还没有追上甲车，故C错误；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以两车不可能再相遇，D正确。
4．(2020·四川省遂宁市高三零模)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常离不开手机。然而开车使用手机是一种分心驾驶的行为，极易引发交通事故。如图所示，一辆出租车在平直公路上以v1＝15 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝33.5 m处有一电动三轮车，正以v2＝6 m/s速度匀速行驶，而出租车司机此时正低头看手机，t1＝2.5 s后才发现危险，司机立刻采取紧急制动措施，再经t2＝0.5 s后汽车以a＝5 m/s2的加速度大小开始做匀减速直线运动。
(1)当出租车开始减速时出租车与三轮车间的距离是多少？
(2)通过计算判断三轮车是否被撞。若不会相撞，求二者间的最小距离。若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
答案 (1)6.5 m (2)会相撞 1 s
解析 (1)在t＝t1＋t2＝3 s时间内二者均做匀速直线运动
汽车运动的位移：x1＝v1t＝45 m
三轮车运动的位移：x2＝v2t＝18 m
二者的间距：Δx＝x0－(x1－x2)＝6.5 m。
(2)设汽车减速经时间t3与三轮车速度相同，有：
v2＝v1－at3
解得：t3＝1.8 s
在该段时间内汽车的位移：
x3＝t3＝18.9 m
在该段时间内三轮车的位移：
x4＝v2t3＝10.8 m
二者的间距：
Δx′＝Δx－(x3－x4)＝－1.6 m<0
可知两车在共速前已经相撞，设汽车减速经时间t4与三轮车相撞。在该段时间内汽车的位移：
x5＝v1t4－at
在该段时间内三轮车的位移：
x6＝v2t4
由位移关系有：x5＝x6＋Δx
解得：t4＝1 s。
课时作业
1．(2019·浙江选考)一辆汽车沿平直道路行驶，其vt图象如图所示。在t＝0到t＝40 s这段时间内，汽车的位移是( )
A．0 B．30 m
C．750 m D．1200 m
答案 C
解析 在vt图象中图线与时间轴围成的面积表示位移，故汽车在0～40 s内的位移为x＝×(10＋40)×30 m＝750 m，C正确。
2.(多选)在足球比赛中，跑位技术相当重要。如图所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度—时间图象，则在这段时间内，该球员( )
A．运动方向不变
B．运动的加速度方向不变
C．先做加速运动后做减速运动
D．运动的加速度先减小后增大
答案 AC
解析 因vt图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，故A、C正确，B、D错误。
3.(2019·四平市第一高级中学高考模拟)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上行驶，其位移—时间图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．0～4 s内，乙车做匀速直线运动
B．2 s末，甲、乙两车相遇
C．2 s末，甲车的速度小于乙车的速度
D．0～4 s内，甲、乙两车的平均速度相同
答案 AB
解析 根据位移—时间图象的纵坐标表示位置，斜率表示速度，由图可知乙的图线为倾斜直线，则乙沿正方向做匀速直线运动，故A正确；由图象可知2 s末两车的位置相同，即两车相遇，故B正确；由位移—时间图线的斜率表示瞬时速度，可得2 s末v乙＝ m/s＝5 m/s，甲在0～2 s的平均速度＝ m/s＝5 m/s，而在0～2 s内甲的速度逐渐增大，故2 s末甲的速度大于乙的速度，C错误；由平均速度的定义＝，可得0～4 s内甲、乙两车的平均速度的大小均为5 m/s，但甲沿负方向运动，乙沿正方向运动，故平均速度的方向不相同，D错误。
4.(2019·山东省实验、淄博实验、烟台一中、莱芜一中四校联合一模)一物体做匀加速直线运动，从某位置开始通过传感器收集位移和速度等数据信息，然后输入计算机自动生成了物体运动的xv图象，如图所示。以下说法正确的是( )
A．物体运动的初速度为1 m/s
B．物体运动的加速度为2 m/s2
C．物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的位移大小为1 m
D．物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的运动时间为2 s
答案 B
解析 物体做匀加速直线运动，则有v2－v＝2ax，由图可知，当v＝0时，x＝－1 m，代入上式得：－v＝－2a，当x＝0时，v＝2 m/s，代入上式得：4－v＝0，解得：v0＝2 m/s，a＝2 m/s2，故A错误，B正确；物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的位移大小为x＝＝ m＝3 m，故C错误；物体速度由2 m/s增加到4 m/s的过程中，物体的运动时间为t＝＝ s＝1 s，故D错误。
5.(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 vt图象中图线与t轴所包围的面积代表运动的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助于面积可知在t1时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；图线的斜率表示加速度，所以甲的加速度先减小后增大，乙的加速度也是先减小后增大，故C错误，D正确。
6.(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
答案 CD
解析 根据位移图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，A错误；从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，B错误；从t1到t2时间内，两车都是从x1位置走到x2位置，两车走过的路程相等，C正确；根据位移图象的斜率等于速度可知，从t1到t2时间内的某时刻，有甲图线的切线与乙图线平行、斜率相同，两车速度相等，D正确。
7．(2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图象如图所示。已知两车在t＝3 s 时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 由题中vt图象得a甲＝10 m/s2，a乙＝5 m/s2，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x甲＝a甲t2＝×10×32 m＝45 m，x乙＝v0t＋a乙t2＝10×3 m＋×5×32 m＝52.5 m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5 m，B项正确；t＝1 s时，x甲′＝a甲·t′2＝5 m，x乙′＝v0t′＋a乙t′2＝12.5 m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5 m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1 s，故A、C两项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40 m，故D项正确。
8．(多选)一质点以一定的初速度从A点开始向相距8 m的B点做直线运动，运动过程中其速度的二次方v2与位移x之间的关系图线如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点做加速度增大的变加速度运动
B．质点做匀加速运动，其加速度大小为2 m/s2
C．质点运动的初速度大小为2 m/s
D．质点从A点运动到B点所用的时间为8 s
答案 BC
解析 根据v2＝v＋2ax可知，2a＝＝4，则a＝2 m/s2，v＝×36＝4，v0＝2 m/s，可知质点做匀加速直线运动，B、C正确，A错误；由图可知，质点在B点的速度v＝6 m/s，质点从A点运动到B点所用的时间为t＝＝ s＝2 s，D错误。
9．(2020·河南省洛阳市尖子生联考)某质点做匀变速直线运动，运动的时间为t，位移为x，该质点的t图象如图所示，下列说法错误的是( )
A．质点的加速度大小为
B．t＝0时，质点的初速度大小为c
C．t＝0到t＝b这段时间质点的平均速度为0
D．t＝0到t＝b这段时间质点的路程为
答案 D
解析 根据匀变速直线运动位移时间公式x＝v0t＋at2得：＝v0＋at，根据数学知识可得：t图象的斜率k＝a＝－，得加速度为a＝(－)，加速度大小为，初速度为v0＝c，故A、B正确；t＝0到t＝b这段时间质点的位移为x＝v0t＋at2＝c·b＋·－·b2＝0，则平均速度为0，故C正确；t＝0到速度为零这段时间质点通过的路程为s1＝＝＝bc，用时t1＝＝＝b，则从t＝0到t＝b这段时间质点的路程s>bc，故D错误。故选D。
10．(2019·陕西高考模拟)A、B两小车在同一直线上运动，它们运动的位移s随时间t变化的关系如图所示，已知A车的st图象为抛物线的一部分，第7 s末图象处于最高点，B车的图象为直线，则下列说法正确的是( )
A．A车的初速度为7 m/s
B．A车的加速度大小为2 m/s2
C．A车减速过程运动的位移大小为50 m
D．10 s末两车相遇时，B车的速度较大
答案 B
解析 由题知A车做匀变速直线运动，设A车的初速度为v0，加速度大小为a，由图可知t＝7 s时，A车的速度为零，由运动学公式可得v7＝v0－7a＝0，根据图象和运动学公式可知，t＝10 s时，A车的的位移为x10＝40 m，x10＝v0t－at2＝10v0－50a，联立解得a＝2 m/s2，v0＝14 m/s，故B正确，A错误；A车减速过程运动的位移大小为x7＝t′＝×7 m＝49 m，故C错误；由st图线的斜率等于速度可得，10 s末两车相遇时，B车的速度大小为vB＝＝4 m/s，A车的速度为vA＝v0－at＝－6 m/s，故A车的速度较大，D错误。
11．(2020·江西省南昌市高三上学期摸底考试)甲、乙两车在平直公路上行驶，t＝0时刻两车处于同一位置，其速度—时间图象如图所示，两图象交点处的坐标及切线如图，则( )
A．t＝8 s末，甲、乙两车相遇
B．甲、乙两图象交点t＝2 s末，甲车的加速度大于乙车的加速度
C．在0～2 s内，甲车的位移小于乙车的位移
D．在2～8 s内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度
答案 C
解析 在vt图象中，图象和时间轴所围面积表示位移，则由题可得，t＝8 s末甲的位移大于乙的位移，甲在乙的前方，故A错误；在t＝2 s末，乙车的加速度a乙＝＝ m/s2＝－5 m/s2，甲车的加速度a甲＝＝ m/s2＝5 m/s2，即甲车的加速度大小等于乙车的加速度大小，故B错误；在vt图象中，图象和时间轴所围面积表示位移，则在0～2 s内，甲车的位移小于乙车的位移，故C正确；在2～8 s内，甲的位移大于乙的位移，由＝知，甲车的平均速度大于乙车的平均速度，故D错误。
12．(2019·荆门市第一中学高考模拟)甲、乙两物体在同一直线上，沿同方向的运动。其运动的速度—时间图象如图所示，由图可知( )
A．0～10 s的时间内，甲、乙两物体间的距离逐渐增大，t＝20 s时两物体相遇
B．0～10 s的时间内，甲、乙两物体间的距离逐渐减小，t＝10 s时两物体相遇
C．t＝20 s后甲物体运动的加速度和速度都反向，所以两物体相遇只能发生在20 s之后
D．无法判断甲、乙两物体在何时相遇
答案 D
解析 由于初始时甲、乙的位置关系不确定，无法判断0～10 s的时间内甲、乙之间的距离变化情况以及何时相遇，A、B错误，D正确；t＝20 s后甲运动的加速度不变，速度方向发生变化，C错误。
13. (多选)甲、乙两车沿平行靠近的平直轨道同向行驶。t＝0时刻，两车同时开始刹车，其vt图象如图所示。已知在刹车后的运动过程中两车发生了相遇，下列说法正确的是( )
A．开始刹车时，一定是乙车在前，甲车在后
B．两车刹车时的距离一定不大于100 m
C．两车一定是在t＝20 s时相遇
D．两车一定相遇两次
答案 AB
解析 甲车的加速度a1＝ m/s2＝－1 m/s2，乙车的加速度a2＝ m/s2＝－0.5 m/s2，两车速度相等经历的时间为20 s，此时甲车的位移x1＝v1t＋a1t2＝25×20 m－×1×202 m＝300 m，乙车的位移x2＝v2t＋a2t2＝15×20 m－×0.5×202 m＝200 m，因为两车要相遇，则两车刹车时的距离小于或等于x1－x2＝100 m，因甲车的初速度更大，故在开始刹车时，一定是乙车在前，甲车在后，故A、B正确；只有两车刹车时的距离等于100 m时，两车才是在t＝20 s时相遇，若两车刹车时的距离小于100 m，则两车在t＝20 s之前相遇，C错误；若两车刹车时的距离等于100 m，则t＝20 s后，乙车的速度大于甲车的速度，且乙车在前，甲车在后，故两车将不会再相遇，D错误。
14．(2019·江西省新余市四模)(多选)A、B、C、D四个物体在同一条直线上做直线运动，A物体的xt、B物体的vt、C物体和D物体的at图象依次如图所示，规定水平向右为正，已知物体在t＝0时的速度均为零，且此时C物体在D物体的左边1.75 m处，则( )
A．其中0～4 s内物体运动位移最大的是B物体
B．其中0～4 s内物体运动位移最大的是C物体
C．t＝2.5 s时C物体追上D物体
D．t＝3.5 s时C物体追上D物体
答案 BD
解析 0～4 s内物体A、B的位移为零，物体C一直向右运动，物体D在0～1 s内加速，在1～2 s内减速到零，然后2～3 s内反向加速，3～4 s内减速到零回到出发点，故0～4 s内物体运动位移最大的是C物体，B正确，A错误；0～3 s内C的位移xC1＝3×at2＝1.5×1×12 m＝1.5 m,3～3.5 s内C的位移xC2＝1×1×0.5 m－×1×0.52 m＝0.375 m，则0～3.5 s内C向右的位移xC＝1.5 m＋0.375 m＝1.875 m，同理在0～3.5 s内D的位移xD＝2××1×12 m－×1×12 m－(1×1×0.5－×1×0.52)m＝0.125 m，因开始时C物体在D物体的左边1.75 m处，则t＝3.5 s时C物体追上D物体，D正确，C错误。
15．(2020·山东菏泽高三上学期期中)2019年6月，某地由于连续暴雨而引发一处泥石流。如图所示，一汽车正以8 m/s的速度向坡底A点运动，当距A点8 m时，司机突然发现山坡上距坡底80 m处的泥石流正以8 m/s的速度、0.5 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，司机立即刹车减速，减速时的加速度大小为4 m/s2，速度减为零后立即反向加速躲避泥石流。假设泥石流到达坡底后速率不变，继续沿水平地面做匀速直线运动。求：
(1)泥石流到达坡底的速度和时间；
(2)汽车的加速度至少多大司机才能脱离危险。
答案 (1)12 m/s 8 s (2)1 m/s2
解析 (1)由运动学公式v2－v＝2ax可得：
泥石流到达坡底的速度
v＝＝ m/s＝12 m/s
泥石流到达坡底的时间
t1＝＝ s＝8 s。
(2)设汽车减速到零所用的时间为t2，则
t2＝＝ s＝2 s
汽车减速运动过程的位移大小
x1＝＝ m＝8 m
设泥石流在水平段运动的时间为t时恰好追赶上汽车，此时，汽车和泥石流的速度相等，则汽车加速运动的时间为t＋6 s。设汽车加速运动的加速度为a2，则
v＝a2(t＋6 s)
vt＝(t＋6 s)
代入数据解得：a2＝1 m/s2。
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