2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第8章经典微课堂规范答题系列3：立体几何
展开[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，立体几何解答题主要出现在18题或19题的位置上，解答题一般有两个问题，第一个问题重点考查线、面的平行、垂直关系，第二个问题，有三个热点题型：一是考查空间几何体的体积；二是考查点面距离；三是与平行、垂直有关的存在性问题．
[典例示范] (本题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥EBB1C1C的体积②.
[信息提取] 看到①想到线面垂直的判定定理及其几何体中与BE有关的垂直关系；
看到②想到四棱锥的底面形状和如何求高．
[规范解答] (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1…………1分
BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. ……………………………………………………2分
又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1. ………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知∠BEB1＝90°. ……………………………………………………………………5分
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，…………………………………………………6分
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，…………………………………………………………7分
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6. ………………………………………………………8分
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. ………………………………………………………………………………………………………………………………10分
所以四棱锥EBB1C1C的体积
V＝×3×6×3＝18. ………………………………………………………………………………12分
[易错防范]
易错点 | 防范措施 |
证明时书写步骤不规范，缺少BE⊂平面ABB1A1及B1C1∩EC1＝C1等必要条件 | 严格按照线面垂直的判定定理及性质定理的要求书写 |
得不到AE＝AB＝3这个结论，而是凭感觉直接使用这个结论 | 在计算过程中，需要用到的结论，都需要通过推理得到 |
[通性通法] 证明线面垂直的方法较多，常用的有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理等．体积的计算是高考的重点与热点，其方法灵活多样，而直接求解、分割、补形、等积变换是常见方法．
[规范特训] (2019·石家庄模拟)如图，已知三棱锥PABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比．
[解] (1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，
由余弦定理可得PC＝2，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，
又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC，
∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)设三棱锥FACE的高为h1，三棱锥PABC的高为h，
则VFACE＝×S△ACE×h1
＝×S△ABC××h×
＝×S△ABC×h×
＝×VPABC.
∴三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比为1∶2.
