2021版高考数学苏教版一轮教师用书：2.4函数性质的综合问题

第四节　函数性质的综合问题

考点1　函数的单调性与奇偶性

　函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．

(1)(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)

(2)(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－2,2]　　　　　　 B．[－1,1]

C．[0,4]   D．[1,3]

(1)C　(2)D　[(1)∵f(x)是定义域为R的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．

∴f＝f(－log34)＝f(log34)．

又∵log34＞log33＝1，且1＞2＞2＞0，

∴log34＞2＞2＞0.

∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(2)＞f(2)＞f(log34)＝f.故选C.

(2)∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.

故由－1≤f(x－2)≤1，

得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．

又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，

∴－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3.]

[逆向问题]　设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)

A．[－3,3]　　　　　　 B．[－2,4]

C．[－1,5]   D．[0,6]

B　[因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，

所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，

由函数f(x)在[－6,0]上为增函数，得f(x)在(0,6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.]

(1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x1＜x2(或x1＞x2)求解．

　1.已知函数f(x)满足以下两个条件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0；②对定义域内任意x有f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是(　　)

A．f(x)＝2x   B．f(x)＝1－|x|

C．f(x)＝－x3   D．f(x)＝ln(x2＋3)

C　[由条件①可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A、D选项，由条件②可知，f(x)为奇函数，则可排除B选项，故选C.]

2．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)

A．f(1)＜f＜f

B．f＜f(1)＜f

C．f＜f＜f(1)

D．f＜f(1)＜f

B　[∵函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，

∴函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，

∴f(1)＝f(3)，f＜f(3)＜f，

即f＜f(1)＜f.]

3．(2019·滨州模拟)设奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－1,0)∪(0,1)

D　[∵奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，∴函数f(x)的图象关于原点对称，且过点(1,0)和(－1,0)，且f(x)在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f(x)的大致图象如图所示．∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈(－1,0)∪(0,1)．]

考点2　函数的周期性与奇偶性

　已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．

　(2019·福州质量检测)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2 017)＋f(2 018)＝________.

－2　[依题意，f(－x)＝－f(x)，f＝f，所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(2 017)＝f(1)＝－1，f(2 018)＝f(2)＝f＝f＝f(1)＝－1，所以f(2 017)＋f(2 018)＝－2.]

　解奇偶性、周期性的综合性问题的2个关键点

(1)利用奇偶性和已知等式求周期．

(2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．

　1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 018)＝________.

－2　[因为f(x)＝－f，所以f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．

所以f(x)是以3为周期的周期函数．

则f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.]

2．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________．

(－∞，2)　[∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即a＜2.]

考点3　单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题

　函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

　[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

A．－50　　　B．0  C．2　　　D．50

C　[法一：(直接法)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(1－x)＝－f(x－1)．

由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)是周期为4的周期函数．

由f(x)为奇函数得f(0)＝0.

又∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.

又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)

＝0×12＋f(49)＋f(50)

＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.

法二：(特例法)

由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.]

(1)函数的奇偶性与对称性的关系

①若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则其函数图象关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f(x)＝f(－x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．

②若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则其函数图象关于点(a，b)对称；当a＝0，b＝0时得出f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．

(2)函数的对称性与周期性的关系

①若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.

②若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b－a|.

③若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b－a|.

(3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系

其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．

[教师备选例题]

(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是(　　)

A．增函数　　　　　　　 B．减函数

C．先增后减的函数   D．先减后增的函数

(2)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，有下列命题：

①函数f(x)的图象关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称；

②函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)；

③函数f(x)在区间(－2 018,2 018)上恰有1 008个极值点；

④若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.

其中真命题的个数为(　　)

A．1　　　　B．2  C．3　　　D．4

(1)D　(2)C　[(1)根据题意，因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.又因为f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，所以函数f(x)在[0,1]上是增函数，所以函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，所以f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.

(2)①正确，∵定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝f(x)，即f(x－8)＝f(x)，∴f(x)是以8为周期的周期函数，8k(k∈Z且k≠0)也是其周期．又f(x)为R上的连续奇函数，由f(x－4)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x－4)，得f(x)＝f(4－x)，

∴函数f(x)的一条对称轴为x＝＝2.

又8k(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期，

∴f(x)＝f(x＋8k)＝f(4－x)，

 ∴函数的对称轴为x＝＝4k＋2(k∈Z且k≠0)．

综上，函数f(x)的图象关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称，故①正确；

②错误，作图如下：

由图可知，函数f(x)的单调递减区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)，故②错误；

③正确，由图可知，f(x)在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016,2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016,2 018)上没有极值点，故在区间(－2 018,2 018)上有1 008个极值点，③正确；

④正确，由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知， 关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．

综上所述，①③④正确，故选C.]

　1.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　)

A．0   B．m

C．2m   D．4m

B　[函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝2，可得f(x)的图象关于点(0,1)对称，函数y＝，即y＝1＋的图象关于点(0,1)对称，∴函数y＝与y＝f(x)图象的交点也关于(0,1)对称，关于(0,1)对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为2.

当交点不在对称轴上时，m为偶数，

∴ (xi＋yi)＝xi＋yi＝0×＋2×＝m；

当有交点在对称轴上时，m为奇数，则 (xi＋yi)＝xi＋yi＝0×＋0＋2×＋1＝m.

综上， (xi＋yi)＝m.]

2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A．f(－25)＜f(11)＜f(80)

B．f(80)＜f(11)＜f(－25)

C．f(11)＜f(80)＜f(－25)

D．f(－25)＜f(80)＜f(11)

D　[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]

数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.

【例1】　设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

2　[显然函数f(x)的定义域为R，

f(x)＝＝1＋，

设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，

∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]

【素养提升练习】　已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　)

A．－1　　 　B．0　　 　C．1　　 　D．2

D　[设g(x)＝ln(－3x)，易知函数的定义域为R，关于原点对称，

∵g(x)＋g(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＝ln(－3x)(＋3x)＝ln 1＝0，

∴g(x)为奇函数，

∴g(lg 2)＋g＝g(lg 2)＋g(－lg 2)＝0，

又∵f(x)＝g(x)＋1，

∴f(lg 2)＋f＝g(lg 2)＋1＋g＋1＝2.]

(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.

(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

【例2】　已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　)

A．3   B．2 

C．1   D．0

C　[因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(－2 017)＝－f(2 017)，

因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，

所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．

又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，

∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，

f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.

故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.]

【素养提升练习】　(2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.

　[∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，

∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，

∴f＝，∴f＝.]

已知函数f(x)是定义在R上的函数．

(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．

【例3】　函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________．

4　[因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，

所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，

所以f(x)是R上的奇函数，

则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.

所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，

所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，

所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.]

【素养提升练习】　已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(　　)

A．0   B．m

C．2m   D．4m

B　[∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，

故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，

故函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点也关于直线x＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，xi＝×2＝m，当f(x)过点(1,4)时，xi＝×2＋1＝m.

综上，xi＝m.]