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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.5椭 圆第2课时
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第2课时 直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m>0
C.0
解析 方法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
方法二 由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴5k2＋m－1≥0，
∴m≥1且m≠5.
2.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
弦长及中点弦问题
命题点1 弦长问题
例1 斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
答案 C
解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
命题点2 中点弦问题
例2 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.
答案 x＋2y－3＝0
解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，
∴＝2，解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率).
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
跟踪训练1 (1)已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，则直线l的方程为________.
答案 x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
解析 由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
若直线l斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意.
若l斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立.
设C(x1，y1)，D(x2，y2).
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|CD|＝|x1－x2|
＝
＝.
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±.
∴直线l方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
(2)(2019·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M ，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵AB的中点为M ，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.
∵PF∥l，∴kPF＝kl＝－＝.
∵＋＝1，＋＝1.
∴＋＝0，
∴＋＝0，可得2bc＝a2，
∴4c2(a2－c2)＝a4，化为4e4－4e2＋1＝0，
解得e2＝，
又∵0
例3 (2019·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率.
解 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，2b＝4，＝，
又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0).
设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，
代入y＝kx＋2得yP＝，
进而直线OP的斜率为＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，
化简得k2＝，从而k＝±.
所以，直线PB的斜率为或－.
思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
跟踪训练2 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程.
解 (1)由题意知，△F1B1B2为等边三角形，
则即解得
故椭圆C的方程为＋3y2＝1.
(2)易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
Δ＝8(k2＋1)>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是( )
A.至多为1 B.2 C.1 D.0
答案 B
解析 由题意知，>2，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故所求交点个数是2.
2.直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是( )
A.2 B. C.4 D.不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，
则弦长为＝＝，
当y＝－时，弦长最大为.
3.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立解得交点坐标为(0，－2)，，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，
∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，
故选B.
4.已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案 B
解析 设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故弦所在直线的斜率为－.故选B.
5.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 kAB＝＝，kOM＝－1，
由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.
6.(2019·南昌模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
则＝－1，＝－1，
由题意知，＝－1，
过点与原点的直线的斜率为，
即＝，
∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
方法二 由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
可得AB中点P的坐标为，
∴kOP＝＝，∴＝.
7.直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________.
答案 相交
解析 由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为__________.
答案 ＋＝1
解析 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，
可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c.①
又 ＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9.设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________.
答案 1
解析 ∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，
∴2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
10.(2020·湖北部分重点中学联考)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为________.
答案
解析 设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k.
由|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝2a，
得2a＝5k，|AF2|＝2k.
在△ABF2中，cos∠BAF2＝＝，
又在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，
所以2c＝k，故离心率e＝＝.
11.已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为________.
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，代入椭圆方程化简，得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解，
因此x1＝，y1＝，
由－k代替x1，y1中的k，得
x2＝，y2＝，
所以＝.
故直线AB的斜率为.
12.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程.
解 (1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因为F1(－1，0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
则＝或－，
所以直线BF2的方程为x－6y－＝0或x＋6y－＝0.
13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点.若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设直线y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，知G点坐标为，
因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得0
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0.(*)
因为△ABF1的重心为G，
所以故
代入(*)式得＋＝0，
所以＝－＝－，即a2＝3b2，
所以椭圆C的离心率e＝.
15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为( )
A. B. C. D.2
答案 B
解析 由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
将点代入椭圆方程，可得＋＝1，
解得a＝，b＝1，
即椭圆的方程为＋y2＝1，设B(x2，y2)，
则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，
令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xc＝，
所以S△OCD＝··＝，
又点B为椭圆在第一象限上的点，
所以x2>0，y2>0，＋y＝1，
即有＝＝＋≥2＝，
即S△OCD≥，当且仅当＝y＝，
即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.
16.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.
解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1.
由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.
又|AB|＝＝·，
O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△AOB＝·|AB|·d＝×××＝.
直线与椭圆的位置关系
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m>0
C.0
解析 方法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
方法二 由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴5k2＋m－1≥0，
∴m≥1且m≠5.
2.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
弦长及中点弦问题
命题点1 弦长问题
例1 斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
答案 C
解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
命题点2 中点弦问题
例2 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.
答案 x＋2y－3＝0
解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，
∴＝2，解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率).
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
跟踪训练1 (1)已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，则直线l的方程为________.
答案 x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
解析 由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
若直线l斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意.
若l斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立.
设C(x1，y1)，D(x2，y2).
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|CD|＝|x1－x2|
＝
＝.
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±.
∴直线l方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
(2)(2019·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M ，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵AB的中点为M ，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.
∵PF∥l，∴kPF＝kl＝－＝.
∵＋＝1，＋＝1.
∴＋＝0，
∴＋＝0，可得2bc＝a2，
∴4c2(a2－c2)＝a4，化为4e4－4e2＋1＝0，
解得e2＝，
又∵0
例3 (2019·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率.
解 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，2b＝4，＝，
又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0).
设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，
代入y＝kx＋2得yP＝，
进而直线OP的斜率为＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，
化简得k2＝，从而k＝±.
所以，直线PB的斜率为或－.
思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
跟踪训练2 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程.
解 (1)由题意知，△F1B1B2为等边三角形，
则即解得
故椭圆C的方程为＋3y2＝1.
(2)易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
Δ＝8(k2＋1)>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是( )
A.至多为1 B.2 C.1 D.0
答案 B
解析 由题意知，>2，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故所求交点个数是2.
2.直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是( )
A.2 B. C.4 D.不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，
则弦长为＝＝，
当y＝－时，弦长最大为.
3.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立解得交点坐标为(0，－2)，，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，
∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，
故选B.
4.已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案 B
解析 设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故弦所在直线的斜率为－.故选B.
5.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 kAB＝＝，kOM＝－1，
由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.
6.(2019·南昌模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
则＝－1，＝－1，
由题意知，＝－1，
过点与原点的直线的斜率为，
即＝，
∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
方法二 由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
可得AB中点P的坐标为，
∴kOP＝＝，∴＝.
7.直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________.
答案 相交
解析 由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为__________.
答案 ＋＝1
解析 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，
可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c.①
又 ＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9.设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________.
答案 1
解析 ∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，
∴2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
10.(2020·湖北部分重点中学联考)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为________.
答案
解析 设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k.
由|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝2a，
得2a＝5k，|AF2|＝2k.
在△ABF2中，cos∠BAF2＝＝，
又在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，
所以2c＝k，故离心率e＝＝.
11.已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为________.
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，代入椭圆方程化简，得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解，
因此x1＝，y1＝，
由－k代替x1，y1中的k，得
x2＝，y2＝，
所以＝.
故直线AB的斜率为.
12.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程.
解 (1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因为F1(－1，0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
则＝或－，
所以直线BF2的方程为x－6y－＝0或x＋6y－＝0.
13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点.若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设直线y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，知G点坐标为，
因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得0
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0.(*)
因为△ABF1的重心为G，
所以故
代入(*)式得＋＝0，
所以＝－＝－，即a2＝3b2，
所以椭圆C的离心率e＝.
15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为( )
A. B. C. D.2
答案 B
解析 由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
将点代入椭圆方程，可得＋＝1，
解得a＝，b＝1，
即椭圆的方程为＋y2＝1，设B(x2，y2)，
则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，
令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xc＝，
所以S△OCD＝··＝，
又点B为椭圆在第一象限上的点，
所以x2>0，y2>0，＋y＝1，
即有＝＝＋≥2＝，
即S△OCD≥，当且仅当＝y＝，
即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.
16.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.
解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1.
由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.
又|AB|＝＝·，
O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△AOB＝·|AB|·d＝×××＝.
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