2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.5椭　圆第2课时

第2课时　直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A.m>1 B.m>0
C.00，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.


1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A.至多为1 B.2 C.1 D.0
答案　B
解析　由题意知，>2，即b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　kAB＝＝，kOM＝－1，
由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.
6.(2019·南昌模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
则＝－1，＝－1，
由题意知，＝－1，
过点与原点的直线的斜率为，
即＝，
∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
方法二　由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
可得AB中点P的坐标为，
∴kOP＝＝，∴＝.
7.直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________.
答案　相交
解析　由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为__________.
答案　＋＝1
解析　∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，
可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c.①
又 ＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9.设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________.
答案　1
解析　∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，
∴2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
10.(2020·湖北部分重点中学联考)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为________.
答案　
解析　设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k.
由|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝2a，
得2a＝5k，|AF2|＝2k.
在△ABF2中，cos∠BAF2＝＝，
又在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，
所以2c＝k，故离心率e＝＝.
11.已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为________.
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，代入椭圆方程化简，得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解，
因此x1＝，y1＝，
由－k代替x1，y1中的k，得
x2＝，y2＝，
所以＝.
故直线AB的斜率为.
12.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程.
解　(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因为F1(－1，0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
则＝或－，
所以直线BF2的方程为x－6y－＝0或x＋6y－＝0.


13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点.若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设直线y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，知G点坐标为，
因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得00)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.2
答案　B
解析　由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
将点代入椭圆方程，可得＋＝1，
解得a＝，b＝1，
即椭圆的方程为＋y2＝1，设B(x2，y2)，
则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，
令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xc＝，
所以S△OCD＝··＝，
又点B为椭圆在第一象限上的点，
所以x2>0，y2>0，＋y＝1，
即有＝＝＋≥2＝，
即S△OCD≥，当且仅当＝y＝，
即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.
16.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.
解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2