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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.6双曲线
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§9.6 双曲线
最新考纲
考情考向分析
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.知道双曲线的简单几何性质.
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.
1.双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,00时，e＝(亦称等轴双曲线)；当0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
题组二 教材改编
2.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B.5 C. D.2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，
即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A.x±y＝0
B.x±y＝0
C.x±2y＝0
D.2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5.已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为________.
答案 －＝1或－＝1
解析 由题意知a＝4，e＝＝2，
∴c＝8，
∴b2＝c2－a2＝64－16＝48.
因为双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
6.P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案 17
解析 由题意知a＝4，b＝9，
c＝＝，
由于|PF1|＝9
∴|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为____.
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是______.
答案 12
解析 由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，
∴|PF2|＋|QF2|－4＝4，
∴|PF2|＋|QF2|＝8.
∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝＝＝.
双曲线的标准方程
1.(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1或－＝1
C.－＝1 D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
3.经过点P(－3,2)和点Q(－6，－7)的双曲线方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴解得
∴双曲线方程为－＝1.
4.过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程.
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.
注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论.
②常见双曲线设法
(i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(iii)已知渐近线为±＝0的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例2 (1)(2019·包头青山区模拟)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 由已知，取顶点，渐近线3y－mx＝0，则顶点到渐近线的距离为＝，解得m＝4.
(2)(2020·湖北八市重点高中联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在曲线C上，若△PAB中，∠PBA＝∠PAB＋，则双曲线C的渐近线方程为_______.
答案 y＝±x
解析 如图，过B作BM⊥x轴，
∵∠PBA＝∠PAB＋，则∠PAB＝∠PBM，
∴∠PAB＋∠PBx＝，即kPA·kPB＝1.
设P(x，y)，又A(－a,0)，B(a,0)，·＝1，∴x2－y2＝a2，
∴a＝b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
思维升华 求双曲线的渐近线的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
命题点2 离心率
例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A. B.1 C. D.2
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D.2
答案 B
解析 ∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 A
解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①
将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，
所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.
(4)(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若＝，·＝0，则C的离心率为________.
答案 2
解析 因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以＝，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
思维升华 求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练2 (1)(2019·陕西汉中模拟)若双曲线x2－＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是( )
A.2 B. C.1 D.4
答案 D
解析 双曲线x2－＝1(m>0)的焦点设为(c,0)，
当双曲线方程为－＝1时，
渐近线方程设为bx－ay＝0，可得焦点到渐近线的距离
d＝＝b，
故由题意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
1.(2020·衡水质检)对于实数m，“1
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若方程＋＝1表示双曲线，
则(m－1)(m－2)<0，得1
A. B.
C. D.－1
答案 B
解析 因为a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac，即c2－a2＝ac，
e2－1＝e，所以e2－e－1＝0，
因为e∈(1，＋∞)，所以e＝.
3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±y＝0 D.2x±y＝0
答案 C
解析 ∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
4.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1,3) B.(－1，)
C.(0,3) D.(0，)
答案 A
解析 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，
解得－m2
得m2＋n＋3m2－n＝4，
即m2＝1，所以－1
A.x2－5y2＝1 B.5y2－x2＝1
C.5x2－y2＝1 D.y2－5x2＝1
答案 C
解析 因为抛物线的焦点为(1,0)，
所以解得
所以双曲线方程为5x2－＝1.
6.(2019·全国100所名校冲刺卷)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)，O为坐标原点，以其实轴为直径的⊙O与一渐近线相交于两点，其中一点为P，过P且与⊙O相切的直线与x轴交于点A，若|OA|＝，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.3x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±3y＝0
答案 D
解析 根据双曲线的几何意义知c＝，所以a＝3，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±3y＝0.
7.(2019·全国Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A. B. C.2 D.3
答案 A
解析 不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，
所以|OF|＝.
又tan∠POF＝＝，所以等腰△POF的高h＝×＝，
所以S△PFO＝××＝.
8.(2019·成都模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，又点N .若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.
B.
C.(1，)∪(，＋∞)
D.∪(，＋∞)
答案 D
解析 由双曲线的定义可得，|MF2|－|MF1|＝2a.
由题意，双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，
即双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF1|＋|MN|>4b－2a，
而|MF1|＋|MN|≥|F1N|，
从而|F1N|>4b－2a，即>4b－2a，
整理得，32－＋4>0，
即>0.
所以<或>2.
又e＝，所以1.
9.(2019·安徽江淮十校联考)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)渐近线上一点，则其离心率是________.
答案
解析 因为点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)渐近线上一点，
所以，渐近线方程为y＝2x，所以＝2，
因此，e＝＝＝.
10.(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________.
答案 3
解析 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
11.(2019·衡水调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，若双曲线C有两条渐近线与圆Ω：x2＋y2＝2交于M，N，P，Q四个点，且矩形MNPQ的面积为b，则双曲线C的离心率为________.
答案 2
解析 由题意得2a＝2，则a＝1，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，设第一象限的交点为N(x0，y0)，
则解得x＝.
又矩形MNPQ的面积为2x0·2y0＝4x0y0＝＝b，
解得b＝，
故c＝＝2，
所以双曲线C的离心率为2.
12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点.若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.
答案
解析 设c为半焦距，则F(c,0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得
13.(2020·黄山模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 依题意知，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域由不等式组确定，又点(2,1)在“右”区域内，所以1<，即>，因此双曲线的离心率e＝∈.
14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
答案 2
解析 由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．
15.(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，
∴|EF|＝＝b，
∵＝(＋)，
∴E为PF的中点，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，
设F′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为△PFF′的中位线，
则|PF′|＝2|OE|＝2a，可设P的坐标为(m，n)，
则有n2＝4cm，
由抛物线的定义可得|PF′|＝m＋c＝2a，
m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，
又|OP|＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，
化简可得，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
由于e>1，解得e＝.
16.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________.
答案 (－2,2)
解析 如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，
∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵|AF|＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小.
由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，
∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2).
最新考纲
考情考向分析
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.知道双曲线的简单几何性质.
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.
1.双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
题组二 教材改编
2.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B.5 C. D.2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，
即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A.x±y＝0
B.x±y＝0
C.x±2y＝0
D.2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5.已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为________.
答案 －＝1或－＝1
解析 由题意知a＝4，e＝＝2，
∴c＝8，
∴b2＝c2－a2＝64－16＝48.
因为双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
6.P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案 17
解析 由题意知a＝4，b＝9，
c＝＝，
由于|PF1|＝9
∴|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为____.
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是______.
答案 12
解析 由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，
∴|PF2|＋|QF2|－4＝4，
∴|PF2|＋|QF2|＝8.
∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝＝＝.
双曲线的标准方程
1.(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1或－＝1
C.－＝1 D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
3.经过点P(－3,2)和点Q(－6，－7)的双曲线方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴解得
∴双曲线方程为－＝1.
4.过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程.
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.
注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论.
②常见双曲线设法
(i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(iii)已知渐近线为±＝0的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例2 (1)(2019·包头青山区模拟)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 由已知，取顶点，渐近线3y－mx＝0，则顶点到渐近线的距离为＝，解得m＝4.
(2)(2020·湖北八市重点高中联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在曲线C上，若△PAB中，∠PBA＝∠PAB＋，则双曲线C的渐近线方程为_______.
答案 y＝±x
解析 如图，过B作BM⊥x轴，
∵∠PBA＝∠PAB＋，则∠PAB＝∠PBM，
∴∠PAB＋∠PBx＝，即kPA·kPB＝1.
设P(x，y)，又A(－a,0)，B(a,0)，·＝1，∴x2－y2＝a2，
∴a＝b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
思维升华 求双曲线的渐近线的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
命题点2 离心率
例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A. B.1 C. D.2
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D.2
答案 B
解析 ∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 A
解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①
将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，
所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.
(4)(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若＝，·＝0，则C的离心率为________.
答案 2
解析 因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以＝，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
思维升华 求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练2 (1)(2019·陕西汉中模拟)若双曲线x2－＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是( )
A.2 B. C.1 D.4
答案 D
解析 双曲线x2－＝1(m>0)的焦点设为(c,0)，
当双曲线方程为－＝1时，
渐近线方程设为bx－ay＝0，可得焦点到渐近线的距离
d＝＝b，
故由题意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
1.(2020·衡水质检)对于实数m，“1
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若方程＋＝1表示双曲线，
则(m－1)(m－2)<0，得1
A. B.
C. D.－1
答案 B
解析 因为a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac，即c2－a2＝ac，
e2－1＝e，所以e2－e－1＝0，
因为e∈(1，＋∞)，所以e＝.
3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±y＝0 D.2x±y＝0
答案 C
解析 ∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
4.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1,3) B.(－1，)
C.(0,3) D.(0，)
答案 A
解析 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，
解得－m2
得m2＋n＋3m2－n＝4，
即m2＝1，所以－1
A.x2－5y2＝1 B.5y2－x2＝1
C.5x2－y2＝1 D.y2－5x2＝1
答案 C
解析 因为抛物线的焦点为(1,0)，
所以解得
所以双曲线方程为5x2－＝1.
6.(2019·全国100所名校冲刺卷)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)，O为坐标原点，以其实轴为直径的⊙O与一渐近线相交于两点，其中一点为P，过P且与⊙O相切的直线与x轴交于点A，若|OA|＝，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.3x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±3y＝0
答案 D
解析 根据双曲线的几何意义知c＝，所以a＝3，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±3y＝0.
7.(2019·全国Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A. B. C.2 D.3
答案 A
解析 不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，
所以|OF|＝.
又tan∠POF＝＝，所以等腰△POF的高h＝×＝，
所以S△PFO＝××＝.
8.(2019·成都模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，又点N .若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.
B.
C.(1，)∪(，＋∞)
D.∪(，＋∞)
答案 D
解析 由双曲线的定义可得，|MF2|－|MF1|＝2a.
由题意，双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，
即双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF1|＋|MN|>4b－2a，
而|MF1|＋|MN|≥|F1N|，
从而|F1N|>4b－2a，即>4b－2a，
整理得，32－＋4>0，
即>0.
所以<或>2.
又e＝，所以1
9.(2019·安徽江淮十校联考)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)渐近线上一点，则其离心率是________.
答案
解析 因为点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)渐近线上一点，
所以，渐近线方程为y＝2x，所以＝2，
因此，e＝＝＝.
10.(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________.
答案 3
解析 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
11.(2019·衡水调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，若双曲线C有两条渐近线与圆Ω：x2＋y2＝2交于M，N，P，Q四个点，且矩形MNPQ的面积为b，则双曲线C的离心率为________.
答案 2
解析 由题意得2a＝2，则a＝1，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，设第一象限的交点为N(x0，y0)，
则解得x＝.
又矩形MNPQ的面积为2x0·2y0＝4x0y0＝＝b，
解得b＝，
故c＝＝2，
所以双曲线C的离心率为2.
12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点.若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.
答案
解析 设c为半焦距，则F(c,0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得
13.(2020·黄山模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 依题意知，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域由不等式组确定，又点(2,1)在“右”区域内，所以1<，即>，因此双曲线的离心率e＝∈.
14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
答案 2
解析 由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．
15.(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，
∴|EF|＝＝b，
∵＝(＋)，
∴E为PF的中点，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，
设F′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为△PFF′的中位线，
则|PF′|＝2|OE|＝2a，可设P的坐标为(m，n)，
则有n2＝4cm，
由抛物线的定义可得|PF′|＝m＋c＝2a，
m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，
又|OP|＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，
化简可得，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
由于e>1，解得e＝.
16.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________.
答案 (－2,2)
解析 如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，
∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵|AF|＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小.
由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，
∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2).
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