2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案含解析北师大版

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

基础知识整合

1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2半径r1，r2，d＝|O1O2|)

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．直线与圆的位置关系的常用结论

(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形．

(2)弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝.

3．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：

①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)两圆相交时公共弦的方程

设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①

圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②

若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.

(3)两个圆系方程

①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；

②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．

1．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　)

A． B．2

C． D．2

答案　D

解析　直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，所以所求弦长为2×＝2.

2．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)

A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0

C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0

答案　D

解析　∵P(1，)在圆Q：x2＋y2－4x＝0上，∴切线方程为x－y＋2＝0.

3．(2019·温州十校联考)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(　　)

A．相离 B．相切

C．相交 D．以上三个选项均有可能

答案　C

解析　直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．故选C．

4．(2019·山东省实验中学模拟)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是(　　)

A．相离 B．相交

C．内切 D．外切

答案　B

解析　易得圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5<2＋4＝r1＋r2，又|C1C2|>4－2，所以两圆相交．

5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．

答案　x－y＋2＝0

解析　将两圆方程相减，得4x－4y＋12＝4，即x－y＋2＝0.

6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________．

答案　x－y－3＝0

解析　∵C(1,0)，∴直线CP的斜率为－1，即直线AB的斜率为1，∴直线AB的方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.

核心考向突破

考向一　直线与圆的位置关系

例1　(1)(2019·安徽黄山模拟)若曲线x2＋y2－6x＝0(y>0)与直线y＝k(x＋2)有公共点，则k的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

答案　C

解析　∵x2＋y2－6x＝0(y>0)可化为(x－3)2＋y2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点)，它与直线y＝k(x＋2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线y＝k(x＋2)的距离d≤3，且k>0，∴≤3，且k>0，解得0<k≤.故选C．

(2)(2019·深圳模拟)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相切 B．相交

C．相离 D．不确定

答案　B

解析　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1，故直线ax＋by＝1与圆O相交．故选B．

判断直线与圆的位置关系常见的两种方法

(1)代数法：

(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交，d＝r⇔相切，d>r⇔相离．

[即时训练]　1.(2019·福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么(　　)

A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切

C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离

答案　C

解析　∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2<r2.因圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0)，故由题意得OP⊥m，又kOP＝，∴km＝－，∵直线l的斜率为kl＝－＝km，圆心O到直线l的距离d＝>＝r，∴m∥l，l与圆相离．故选C．

2．(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是(　　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上情况都有可能

答案　C

解析　由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝>2，所以c2>a2＋b2，在△ABC中，cosC＝<0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．

角度1　圆的切线问题

例2　已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

解　由题意，得圆心C(1,2)，半径r＝2.

(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，

∴点P在圆C上．

又kPC＝＝－1，

∴切线的斜率k＝－＝1，

∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.

(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，

∴点M在圆C外部，

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.

又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，

即此时满足题意，所以直线x－3＝0是圆的切线．

当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，

则圆心C到切线的距离为d＝＝r＝2，解得k＝.

∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.

∵|MC|＝＝，

∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.

圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

[即时训练]　3.(2019·安徽江南十校第二次联考)已知两个定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P(x，y)到点A的距离是它到点B距离的2倍．

(1)求P点的轨迹E；

(2)若过点C(1,1)作轨迹E的切线，求此切线的方程．

解　(1)设动点P(x，y)，则|PA|＝2|PB|，坐标代入得 ＝2，

化简得(x－3)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹E是以(3,0)为圆心，以2为半径的圆．

(2)当切线斜率存在时，设l：y－1＝k(x－1)是圆E的切线，则有＝2⇒k＝；当切线斜率不存在时，l：x＝1恰好与圆E切于点(1,0)．

综上，得切线方程为x＝1或3x－4y＋1＝0.

角度2　圆的弦长问题

例3　(1)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　)

A．5x＋12y＋20＝0

B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0

C．5x－12y＋20＝0

D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0

答案　B

解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.

(2)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.

答案　4

解析　由题意可知直线l过定点(－3，)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线AB的距离为d＝＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝＝3，解得m＝－，所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.

求直线被圆截得的弦长的常用方法

(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝2＋d2.

(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝·

或|AB|＝|y1－y2|

＝·(k≠0)．

[即时训练]　4.(2019·天津南开中学模拟)若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)

A． B．1

C． D．

答案　B

解析　因为a2＋b2＝c2，所以圆心O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝<1，所以直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为2＝2×＝1，故选B．

5．(2019·湖南株洲二模)设直线l：3x＋4y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B两点，且|AB|＝6，则a的值是________．

答案　10或－30

解析　由垂径定理，得d＝＝＝4，所以圆心到直线的距离为4，得＝4，

解得a＝10或a＝－30.

考向三　两圆的位置关系

例4　(1)(2019·河北衡水模拟)圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　C

解析　圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3.故选C．

(2)(2019·河南新乡二模)若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6，则圆D的半径为(　　)

A．5 B．2

C．2 D．2

答案　D

解析　由得2x－6y＝4－R2，因为公共弦长为6，所以直线2x－6y＝4－R2经过圆C的圆心(0,4)，即2×0－6×4＝4－R2，则R2＝28，所以圆D的半径为2.故选D．

(1)判断两圆位置关系的方法

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．

(2)两圆公共弦长的求法

先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．

[即时训练]　6.(2019·重庆模拟)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)

A．3 B．4

C．2 D．8

答案　B

解析　由题意知O1(0,0)与O2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得<|m|<3.再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2＝5＋20＝25，∴m＝±5，∴×5＝2×，解得|AB|＝4.故选B．

7．(2019·江苏镇江联考)已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________．

答案　(x＋3)2＋(y＋3)2＝18

解析　设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

其圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)．

∵x2＋y2＋10x＋10y＝0可化简为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，∴其圆心为(－5，－5)，半径为5.

∵两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50内，

∴两圆内切，∴

解得a＝－3，b＝－3，r＝3，

∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.

(2019·江西联考)当曲线y＝与直线kx－y－2k＋4＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是(　　)

A.  B.(，]

C.(，1  D.

答案　C

解析　整理y＝，得x2＋y2＝4(y≥0)，所以该曲线是以原点为圆心，2为半径的圆在x轴及x轴上方的部分.

∵直线kx－y－2k＋4＝0可化为y－4＝k(x－2)，

∴直线过定点A(2,4)且斜率为k，

如图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(－2,0).由图可知，当kAD<k≤kAB时，直线与半圆有两个相异的交点.当直线与半圆相切时，满足＝2，解得k＝，即kAD＝.又直线AB的斜率kAB＝＝1，∴直线kx－y－2k＋4＝0的斜率k的取值范围是(，1].故选C.

答题启示

“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.

对点训练

(2019·湖北武汉模拟)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)

A.[1－2，1＋2]  B.[1－，3]

C.[－1,1＋2]  D.[1－2，3]

答案　D

解析　∵y＝3－，∴1≤y≤3，

∴(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，

即曲线y＝3－表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆.直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，表示两曲线至少有一个公共点.

当直线y＝x＋b过点(0,3)时，b＝3；当直线y＝x＋b与圆y＝3－相切时，由点到直线的距离公式，得2＝，∴|b－1|＝2.

结合图形知b＝1－2.∴1－2≤b≤3.故选D.